概率论与数理统计猴博士Word文档格式.doc
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124=π4
四、条件概率
公式：
P（B|A）=P（AB）P（A）
解释：
事件A：
掷一次骰子，朝上点数大于3
事件B：
掷一次骰子，朝上点数是6
P（B|A）：
掷一次骰子，已知朝上点数大于3，朝上点数是6的概率
P（AB）：
掷一次骰子，朝上点数是6的概率
P（A）：
掷一次骰子，朝上点数大于3的概率
小明概率论考试得80分以上的概率是80%，得60分以上的概率是85%，已知这次考试小明概率论没挂，那么小明得80分以上的概率是多少？
小明得60分以上
小明得80分以上
小明得60分以上时，小明得80分以上的概率
小明得80分以上的概率
P（B|A）=P（AB）P（A）=80％85％=1617
某地区今年会发生洪水的概率是80%，今明两年至少有一年会
发生洪水的概率是85%，假如今年没有发生洪水，那么明年发生洪水
的概率是多少？
今年没有发生洪水
明年发生洪水
今年没有发生洪水的情况下，明年发洪水的概率
今年没有发生洪水，明年发生洪水的概率
P（B|A）=P（AB）P（A）=85％-80％1-80％=5％20％=14
五、全概率公式
A、B…等个体均可能发生某事，则P（发生某事）=P（A出现）·
P（A发生某事）+P（B出现）·
P（B发生某事）…
某高速公路上客车中有20%是高速客车，80%是普通客车，假设高速客车发生故障的概率是0.002，普通客车发生故障的概率是0.01。
求该高速公路上有客车发生故障的概率。
P（有客车发生故障）
=P（高速车出现）·
P（高速车故障）+P（普通车出现）·
P（普通车故障）
=20%×
0.002+80%×
0.01
=0.0084
猴博士公司有猴博士与傻狍子两个员工，老板要抽其中一个考核，抽中猴博士与傻狍子的概率都是50%，猴博士考核通过的概率是100%，傻狍子考核通过的概率是1%，那么抽中的员工通过考核的概率是多少？
P（抽中的员工通过考核）
=P（猴博士出现）·
P（猴博士通过）+P（傻狍子出现）·
P（傻狍子通过）
=50％×
100％+50％×
1％
=50.5％
六、贝叶斯公式
A、B…等个体均可能发生某事，则
P（已知有个体发生某事时，是A发生的）=P（A出现）·
P（A发生某事）P（发生某事）
求该高速公路上有客车发生故障时，故障的是高速客车的概率。
P（有客车发生故障）
P（已知有客车发生故障，是高速客车发生的）
=P（高速客车出现）·
P（高速客车故障）P（有客车故障）
=20％·
0.0020.0084
=121
猴博士公司有猴博士与傻狍子两个员工，老板要抽其中一个
考核，抽中猴博士与傻狍子的概率都是50%，猴博士考核通过的概率
是100%，傻狍子考核通过的概率是1%，求抽中的员工通过考核时，
被抽中的员工是傻狍子的概率。
P（抽中的员工通过考核）
P（已知有员工通过考核，是傻狍子通过的）
=P（傻狍子出现）·
P（傻狍子通过）P（抽中的员工通过考核）
=50％·
1％50.5％
=1101
概率论第二课
七、已知FX（x）与fX（x）中的一项，求另一项
fX（x）=FX′（x）FX（x）=-∞xfX（x）dx
设X的分布函数FX（x）=0，x<
1lnx，1≤x<
e1，x≥e，求X的密度函数fX（x）。
fX（x）=FX′（x）=0'
，x<
1（lnx）'
，1≤x<
e1'
，x≥e⇒0，x<
11x，1≤x<
e0，x≥e⇒1x，1≤x<
e0，其他
设X的密度函数fX（x）=-12x+1，0≤x≤20，其他，求X的分布
函数FX（x）。
当x>
2时，FX（x）=-∞xfX（x）dx=1
当0≤x≤2时，FX（x）=-∞xfX（x）dx=-x24+x
当x<
0时，FX（x）=-∞xfX（x）dx=-∞x0dx=0
FX（x）=0，x<
0-x24+x，0≤x≤21，x>
2
八、已知FX（x）与fX（x）中的一种，求P
P（a<
X<
b）=FX（b）-FX（a）=abfX（x）dx
设X的分布函数FX（x）=0，x<
e1，x≥e，求概率Px2<
4
P（x2<
4）=P（-2<
2）
=FX
（2）-FX（-2）
=ln2-0
=ln2
设X的密度函数fX（x）=-12x+1，0≤x≤20，其他，求概率P（-1<
P（-1<
2）=-12fX（x）dx
=-10fX（x）dx+02fX（x）dx
=-100dx+02（-12x+1）dx
=0+1
=1
九、FX（x）或fX（x）含未知数，求未知数
FX（-∞）=0，FX（+∞）=1，F上（分段点）=F下（分段点）
-∞+∞fX（x）dx=1
设X的分布函数FX（x）=0，x≤0a+be-λx，x>
0（λ>
0），求a和b。
FX（+∞）=1⇒a+be-λ·
（+∞）=1
⇒a+be-∞=1⇒a+be+∞=1⇒a=1
F上（0）=F下（0）⇒0=a+be-λ·
（0）⇒0=a+be0⇒a+b=0
a=1a+b=0⇒a=1b=-1
设X的密度函数fX（x）=ax+1，0≤x≤20，其他，求常数a。
-∞+∞fX（x）dx=1
⇒-∞0fX（x）dx+02fX（x）dx+2+∞fX（x）dx=1
⇒-∞00dx+02ax+1dx+2+∞0dx=1
⇒0+2a+2+0=1
解得a=-12
十、求分布律
从编号为1、2、3、4、5、6的6只球中任取3只，用X表示从中取出的最大号码，求其分布律。
X可能的取值为3，4，5，6
P（X=3）=C22C11C30C63=120
P（X=4）=C32C11C20C63=320
P（X=5）=C42C11C10C63=310
P（X=6）=C52C11C63=12
分布列：
十一、已知含有未知数的分布列，求未知数
已知分布列如下，求k的值。
120+320+310+k=1
解得k=12
概率论第三课
十二、已知X分布列，求Y分布列
已知X的分布列，求Y=X2+1的分布列。
X
-2
P
0.4
0.3
①根据X的所有取值，计算Y的所有取值
Y=-22+1=5
Y=02+1=1
Y=22+1=5
②将表格里X那一列对应换成Y
Y
5
1
化简一下：
0.7
已知X的分布列，求Y=2X-1的分布列。
3
6
120
320
310
12
Y=2×
3-1=5
4-1=7
5-1=9
6-1=11
7
9
11
也可以表示成：
Y~5791112032031012
十三、已知FXx，求FYy
设X的分布函数为FXx=0，x≤0x2，0<
11，x≥1，求Y=2X的分布
函数。
①写出X=?
Y=2X⇒X=Y2
②用?
y替换FXx中的x，结果为FX（?
y）
FXy2=0，y2≤0y22，0<
y2<
11，y2≥1
③判断?
y中是否有负号
若无，则FY（y）=FX（?
若有，则FY（y）=1-FX（?
FY（y）=FXy2=0，y≤0y24，0<
21，y≥2
11，x≥1，求Y=-X的分布
①写出X=?
Y=-X⇒X=-Y
FX（-y）=0，-y≤0（-y）2，0<
-y<
11，-y≥1
③判断?
FY（y）=1-FX（-y）=1，y≥01-y2，-1<
00，y≤-1
十四、已知fXx，求fYy
设X的密度函数为fXx=1，0<
10，其他，求Y=2X的密度函数。
Y=2X⇒X=Y2
y替换fXx中的x，结果为fX?
y
fXy2=1，0<
20，其他
③令fY=（?
y）'
·
fX（?
fY=y2'
fXy2=12·
fXy2=12，0<
20，其他
④判断?
若无，则fY（y）=fY
若有，则fY（y）=-fY
fY（y）=fY=12，0<
概率论第四课
十五、符合均匀分布，求概率
P=满足要求长度总长度
设X在[2,5]上服从均匀分布，求X的取值大于3的概率。
总长度：
大于3的长度：
PX的取值大于3=23
设X在[2,5]上服从均匀分布，求X的取值小于3的概率。
小于3的长度：
PX的取值小于3=13
十六、符合泊松分布，求概率
P（X=x）=λxx!
e-λ
某电话交换台每分钟接到的呼叫数服从参数为5的泊松分布。
求在一分钟内呼叫次数不超过6次的概率。
X表示一分钟内接到呼叫的次数
P（X≤6）=P（X=0）+P（X=1）+P（X=2）+P（X=3）+P（X=4）+P（X=5）+P（X=6）
=500!
e-5+511!
e-5+522!
e-5+533!
e-5+544!
e-5+555!
e-5+566!
e-5
=0.7622
十七、符合二项分布，求概率
P（X=x）=CnxPx（1-P）n-x
重复投5次硬币，求正面朝上次数为3次的概率。
x=3n=5P（正面朝上）=12
P（X=3）=C53123（1-12）5-3=516
在二红一绿三个球中有放回地摸3次，求摸到红球次数为2次
的概率。
x=2n=3P（摸到红球）=23
P（X=2）=C32232（1-23）3-2=49
十八、符合指数分布，求概率
f（x）=λe-λx，x>
00，x≤0Pa1<
a2=a1a2f（x）dxPX<
a=-∞af（x）dxPX>
a=a+∞fxdx
某种电子元件的使用寿命X（单位:
小时）服从λ=12000的指数
分布。
求：
（1）一个元件能正常使用1000小时以上的概率；
（2）一个元件能正常使用1000小时到2000小时之间的概率。
X的密度函数为f（x）=12000e-x2000，x>
00，x≤0
（1）P（X>
1000）=1000+∞f（x）dx=1000+∞12000e-x2000dx=e-0.5
（2）P（1000<
2000）=10002000f（x）dx=1000200012000e-x2000dx
=-e-1+e-0.5
十九、符合正态分布，求概率
Pa<
b=Φb-μσ-Φa-μσPX<
a=Φa-μσPX>
b=1-Φb-μσ
设随机变量X服从正态分布N（1.5,4），求：
（1）P（1.5<
3.5）；
（2）P（X<
3.5）。
[其中：
Φ（0）=0.5，Φ（0.75）=0.7734，Φ
（1）=0.8413，Φ（2.25）=0.9878]
μ=1.5，σ=4=2
3.5）=Φ（3.5-1.52）-Φ（1.5-1.52）=Φ
（1）-Φ（0）=0.3413
（2）P（X<
3.5）=Φ（3.5-1.52）=Φ
（1）=0.8413
二十、正态分布图像
①图像关于μ对称
②面积表示概率，总面积为1
③σ越小，图像越陡
常见分布的其他表示方法
均匀分布U[a,b]
二项分布B[n,p]
指数分布E（λ）
正态分布Nμ,σ2
例：
①X在[2,5]上服从均匀分布，求X的取值大于3的概率。
即X~U[2,5]，求X的取值大于3的概率。
②某种电子元件的使用寿X（单位:
小时）服从λ=12000的指数分布…
即某种电子元件的使用寿命X（单位:
小时）服从X~E（12000）…
概率论第五课
二十一、已知二维离散型分布律，求?
?
已知二维随机变量X，Y的分布律如下表：
（1）P（X=0），P（Y=2）
1，Y≤2）
（3）P（X+Y=2）
（4）X，Y的分布律
（5）Z=X+Y的分布律
解：
（1）P（X=0）=0.2+0.1+0.1=0.4
P（Y=2）=0.1+0.2=0.3
1，Y≤2）=0.2+0.1=0.3
（3）P（X+Y=2）=0.1+0.3=0.4
（4）
（5）P（Z=1）=P（X=0,Y=1）=0.2
P（Z=2）=P（X=0,Y=2）+P（X=1,Y=1）=0.1+0.3=0.4
P（Z=3）=P（X=0,Y=3）+P（X=1,Y=2）=0.1+0.2=0.3
P（Z=4）=P（X=1,Y=3）=0.1
二十二、已知二维离散型分布律，判断独立性
如果任意xi，yi均满足P（X=xi，Y=yi）=P（X=xi）·
P（Y=yi）
那么X、Y相互独立
否则X、Y不相互独立
请判断X、Y的独立性。
X、Y是相互独立的，求α、β的值。
6+
9+1
18
+
3+
2
9+
9=1
二十三、已知F（x,y），求f（x,y）
f（x,y）=
∂2Fx,y
∂x∂y
二十四、已知f（x,y），求F（x,y）
已知二维随机变量的联合密度函数f（x,y）=
21
4x2y，x2≤y≤10，其他
求F（x,y）。
已知二维随机变量的联合密度函数为：
f（x,y）=x+y，0＜x＜1，0＜y＜10，其他
，求F（x,y）。
二十五、已知F（x,y），求P
P（X≤x0，Y≤y0）=F（x0，y0）
二十六、已知f（x,y），求P
二十七、求F（x,y）或f（x,y）中含有的未知数
F（+∞,+∞）=1，F（-∞,-∞）=0，
F（x,-∞）=0，F（-∞,y）=0
-∞+∞
-∞+∞f（x,y）dxdy=1
二十八、求均匀分布的f（x,y）与P
概率论第六课
二十九、求边缘分布函数
FX（x）=F（x,+∞），FY（y）=F（+∞,y）
三十、求边缘密度函数
三十一、判断连续型二维变量的独立性
三十二、已知f（x,y），Z=X+Y，求fZ（z）
fZ（z）=-∞+∞f（x,z-x）dx
三十三、已知f（x,y），Z=XY，求fZ（z）
fZ（z）=-∞+∞f（yz,y）·
|y|dy
三十四、已知f（x,y），且X,Y相互独立，Z=max（X,Y），求FZ（z）
FZ（z）=FX（z）·
FY（z）
设随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为x3+2x，
求Z=max（X,Y）的分布函数。
三十五、已知f（x,y），且X,Y相互独立，Z=min（X,Y），求FZ（z）
FZ（z）=1-1-FX（z）·
1-FY（z）
设随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为x3+2x，
求Z=min{X,Y}的分布函数。
概率论第七课
三十六、求离散型的期望E（X）
EX=∑xipi
已知一个工厂一周获利10万元的概率为0.2，获利5万元的概率为0.3，亏损2万元的概率为0.5，该工厂一周内利润的期望是多少？
10
0.2
0.5
EX=∑xipi=10×
0.2+5×
0.3+（-2）×
0.5=2.5（万元）
三十七、求连续型的期望E（X）
EX=
-∞+∞xfx
dx
三十八、已知Y=gx，求E（Y）
离散型
EY=∑gxipi，连续型
EY=
-∞+∞gx·
fxdx
三十九、求方差D（X）
DX=∑xi-EX2·
pi→离散型
DX=EX2-E2X→连续型/离散型
DX=EX2-E2X=
3-
4
52=2
75
四十、根据EX、DX的性质进行复杂运算
四十一、EX、DX与各种分布的综合题
概率论第八课
四十二、Cov、ρXY、D相关类题目
已知A=2X+Y，B=2X-Y，X与Y相互独立，D（X）=D（Y）=1，试求Cov（A,B）。
已知D（X）=1，D（Y）=4，ρXY=-0.5，试求D（X+Y）。
四十三、利用切比雪夫不等式求概率
P[|X-E（X）|≥ε]≤D（X）ε2（ε为任意正数）
四十四、多项独立同分布，求总和怎样的概率
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