邻补角对顶角及垂直.docx
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邻补角对顶角及垂直
邻补角、对顶角及垂线
知识结构
模块一：
邻补角的意义和性质
知识精讲
1、平面上两条不重合直线的位置关系
相交：
两条直线有一个交点；
平行：
两条直线没有交点．
2、邻补角的意义
两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．
3、邻补角的性质
互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．
例题解析
【例1】
A
B
C
D
E
F
O
如图，三条直线AB、CD、EF相交于一点O，问一共可以构成多少对邻补角，并把他们写出来．
【例2】判断：
（1）平面内两条直线的位置关系，不是相交就是平行；（）
（2）平面内两条直线有交点，则这两条直线相交；（）
（3）有一条边是公共边的两个角互为邻补角．（）
（4）有两个角互为补角，并且有一条公共边，那么他们互为邻补角．（）
A
B
C
D
E
F
O
【例3】如图，∠AOD的邻补角是__________．
【例4】如图，OC平分∠AOB，∠AOD=2∠BOD，∠COD=28°，求∠AOC的大小．
A
B
C
D
O
【例5】如图，直线a、b相交，∠1=40°，求∠2，∠3，∠4的度数．
a
b
1
2
3
4
【例6】如图所示，AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠AOC=120°，求∠BOD，
∠AOE的度数．
【例7】同一平面上的任意三条直线，可以有__________个交点．
模块二：
对顶角的意义和性质
知识精讲
1、对顶角的意义
两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关
系的两个角叫做互为对顶角．
2、对顶角的性质
对顶角相等．
例题解析
【例8】下列说法中，正确的是（）
A．有公共的顶点，且方向相反的两个角是对顶角
B．有公共顶点，且又相等的两个角是对顶角
C．由两条直线相交所成的角是对顶角
D．角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角
【例9】
A
B
C
D
E
F
O
如图，三条直线AB、CD、EF相交于一点O，问一共可以构成多少对对顶角，并把他们写出来．
【例10】判断：
（1）有公共顶点，且度数相等的两个角是对顶角．（）
（2）相等的两个角是对顶角．（）
【例11】若∠1与∠2是对顶角，∠3与∠2互余，且∠3=60°，那么∠1=__________．
若∠1与∠2是对顶角，且∠1与∠2互余，则∠1=__________，∠2=__________．
【例12】
如图，直线AB、CD交于点O，则
（1）若∠1+∠3=68度，则∠1=__________．
（2）若∠2：
∠3=4：
1，则∠2=__________．
（3）若∠2-∠1=100度，则∠3=__________．
【例13】如图
（1）所示，两条直线AB与CD相交成几对对顶角？
（2）如图
（2）所示，三条直线AB、CD、EF相交呢？
（3）试猜想n条直线相交会成多少对对顶角？
模块三：
垂线（段）的意义和性质
知识精讲
1、垂线的意义
如果两条直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
2、垂直的符号
记作：
“⊥”，读作：
“垂直于”，如：
，读作“AB垂直于CD”．
注：
垂直是特殊的相交．
3、垂直公理：
在平面内，过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只能作一条．简记为：
过一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直
4、中垂线
过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线．
5、垂线段的性质
联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
6、点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离．如果一个点在直线
上，那么就说这个点到直线
的距离为零．
例题解析
A
B
C
D
【例14】判断：
（1）经过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直．（）
（2）两条直线的交点叫垂足．（）
（3）线段和射线没有垂线．（）
（4）两条直线不是平行就是互相垂直．（）
（5）直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离．（）
【例15】如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，那么点B到线段CD的距离是线段__________的长度；线段CD的长度是点C到线段__________的距离；线段AC是点___________到线段__________的距离．
【例16】
A
B
C
D
l
l
l
l
下列选项中，哪个是直线l的垂线（）
【例17】如图，
，垂足为C，AC=4，BC=3，那么点A与BC的距离为______．
A
B
C
D
【例18】
A
B
C
D
E
O
如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，
，则
_________．
【例19】作图题：
1、已知直线AB和点C，过点C做AB的垂线；
2、作线段MN的中垂线．
【例20】
A
B
公路
B两厂在公路同侧，拟在公路边建一货场C，若由B厂独家兴建，并考虑B厂的利益，则要求货物离B厂最近，请在图10中作出此时货场C的位置，并说出这样做的道理．
【例21】如图，已知OA⊥OB，OC⊥OD，
比
大
，则
的
A
B
C
D
O
度数为_______．
【例22】如图，一棵小树生长时与地面成80°角，它的主根深入泥土，如果主根和小树在同一条直线上，那么∠2等于多少度?
【例23】
A
B
C
D
E
F
O
如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，OB平分∠DOF，
∠COF=
∠BOD．求∠AOC、∠EOD、∠COE的度数．
【例24】
A
B
C
D
E
O
如图，
与
是邻补角，OD、OE分别是
与
的平分线，试判断OD与OE的位置关系，并说明理由．
模块四：
综合运用
例题解析
【例25】下列结论不正确的是（）
A．互为邻补角的两个角的平分线所成的角为90°
B．相等的两个角是对顶角是对顶角
C．两直线相交，若有一个交角为90°，则这四个角中任取两个角都互为补角
D．同角的余角相等
【例26】
A
B
C
D
E
F
如图，AB与CD为直线，图中共有对顶角（）．
A．1对B．2对C．3对D．4对
【例27】
A
B
D
如图，运动会上，甲、乙两名同学测得小明的跳远成绩分别为DA=4.5米，DB=4.15米，则小明的跳远成绩应该为______米．
【例28】如图所示，已知AB、CD相交于O点，OE⊥AB，∠EOC=28°，则
A
B
C
D
E
O
28
∠AOD=_______．
【例29】
A
B
C
D
E
O
如图，直线AD和BE相交于O点，OC⊥AD，∠COE=70°，求∠AOB的度数．
【例30】如图，已知AB、CD、EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，
A
B
C
D
E
F
G
O
∠FOD＝28°，求∠COE、∠AOE、∠AOG的度数．
【例31】已知直线AB、CD、EF相交于点O，∠1：
∠3=3：
1，∠2=20°，求∠DOE的度数．
A
B
C
D
E
F
1
2
O
3
【例32】如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，且∠AOC=∠AOD－80°，
A
B
C
D
E
O
求∠AOE的度数．
随堂检测
【习题1】下列语句中正确的是（）
A．过直线AB的中点且和AB垂直的直线叫做中垂线
B．过线段CD的中点且和CD垂直的直线叫做CD的中垂线
C．和直线AB相交且过A点的直线是AB的中垂线
D．和线段AB相交且成90度的直线是AB的中垂线
【习题2】下列图中，∠1与∠2是对顶角的是（）
ABCD
【习题3】如图5，直线a，b相交，∠1=40°，则∠2=_______，∠3=_______，∠4=_______．
a
b
1
2
3
4
【习题4】
如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠BOE的对顶角是______，∠COF的邻补角是____，若∠AOE=30°，那么∠BOE=_______，∠BOF=_______
【习题5】
如图7，直线AB、CD相交于点O，∠COE=90°，∠AOC=30°，∠FOB=90°，则∠EOF=________．
【习题6】如图所示，AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠AOC=120°，
求BOD，∠AOE的度数．
【习题7】如图所示，直线a，b，c两两相交，∠1=2∠3，∠2=65°，求∠4的度数．
b
a
c
2
3
1
4
【习题8】如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠AOE=40°，∠BOC=2∠AOC，
A
B
C
D
E
F
O
求∠DOF．
【习题9】
A
B
C
D
E
F
2
1
O
如图，已知∠2与∠BOD是邻补角，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，
∠2∶∠1=4∶1，求∠AOF的度数．
【习题10】已知点O是直线AB上一点，OC，OD是两条射线，且∠AOC=∠BOD，则∠AOC与∠BOD是对顶角吗?
为什么?
课后作业
【作业1】判断：
（1）两个角开口相反且有公共点，则他们是对顶角（）
（2）∠A与∠B互为邻补角，所以他们相等（）
（3）∠1和∠2相等，并且他们有一条边在同一直线上，那么∠1=∠2=90°（）
（4）同一平面内，两条不相交的直线，一定不会垂直（）
（5）经过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直（）
（6）同一平面内，点到直线的各条线段中，垂线段最短（）
（7）邻补角一定是补角，补角不一定是邻补角（）
【作业2】如图所示AB，CD相交于点O，EO⊥AB于O，FO⊥CD于O，∠EOD与∠FOB的大小关系是（）
A．∠EOD比∠FOB大
B．∠EOD比∠FOB小
C．∠EOD与∠FOB相等
D．∠EOD与∠FOB大小关系不确定
【作业3】
如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，C，D是分别位于公路AB两侧的加油站．设汽车行驶到公路AB上点M的位置时，距离加油站C最近；行驶到点N的位置时，距离加油站D最近，请在图中的公路上分别画出点M，N的位置并说明理由．
【作业4】如图，AOB为直线，∠AOD：
∠DOB=3：
1，OD平分∠COB．
（1）求∠AOC的度数；
（2）判断AB与OC的位置关系．
【作业5】若两个角互为邻补角，则它们的角平分线所夹的角为_________度．
【作业6】作图：
已知线段AB及线段外一点P．
（1）过点P作线段AB的垂线；
（2）
A
B
P
画线段AB的垂直平分线．
【作业7】
起跳线
如图所示，这是某位同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是多少?
（比例尺为1:
100）
【作业8】
a
b
c
1
2
3
4
5
如图所示，直线、b、c相交，∠1=60°，∠2=
∠4，求∠3、∠5的度数．
【作业9】如图，OD⊥OC，且
，那么
=________，
=_______．
A
B
C
D
O
1
2
3
【作业10】
A
B
C
D
E
F
G
O
如图，直线AB、CD、EF交于点O，
是它的余角的2倍，
，且有
，求
的度数．
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