最新人教版高中数学必修4第一章《三角函数模型的简单应用》教学设计.docx
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最新人教版高中数学必修4第一章《三角函数模型的简单应用》教学设计
教学设计
1．6三角函数模型的简单应用
教学分析
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．
三角函数模型的简单应用的设置目的，在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习．本节教材通过4个例题，循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用，在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性，同时又关注到三角函数性质（特别是周期性）的应用．
通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题，培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力；培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．由于实际问题常常涉及一些复杂数据，因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据，包括建立有关数据的散点图，根据散点图进行函数拟合等．
三维目标
1．能正确分析收集到的数据，选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律．将实际问题抽象为三角函数有关的简单函数模型．
2．通过切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，及数学与日常生活和其他学科的联系．认识数学知识在生产、生活实际中所发挥的作用．体会和感受数学思想的内涵及数学本质，逐步提高创新意识和实践能力．
3．通过函数拟合得到具体的函数模型，提高数学建模能力．并在探究中激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神，培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神．
重点难点
教学重点：
分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型，用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题．
教学难点：
将某些实际问题抽象为三角函数的模型，并调动相关学科的知识来解决问题．
课时安排
2课时
第1课时
作者：
雷泽刚
1．内容和内容解析
（1）内容：
人教社普通高中课程标准实验教科书A版必修（4）第一章第六节《三角函数模型的简单应用》第一课时
（2）内容分析：
本节内容是在前面学习了三角函数的概念、性质与图象之后，专门设置了三角函数模型的应用，其目的是为了加强用三角函数模型来刻画周期变化规律的实际问题，以提高学生解决实际问题的能力．根据教材的安排，本节内容的4个例题共分两个课时，本节课是第一课时，考虑到例1是围绕根据图象建立三角函数解析式，例3是将实际问题抽象出三角函数的模型问题，为系统展示三角函数的应用广泛性和真实性，选择了例1、例3作为示例．
2．目标和目标解析
（1）目标：
了解数学建模的思想及其内涵，理解将实际问题抽象为三角函数模型问题的过程，掌握三角函数性质及其图象的简单应用，使学生学会由图象求解析式的方法；体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；培养学生的建模、探究问题、解决问题的能力．
（2）目标解析：
①通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；②体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；体会三角函数是描述周期变化现象的一种重要函数模型；③切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其他学科的联系，从而激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索、勤于思考的精神；④体会和感受高中数学思想的内涵及数学本质，培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．
3．教学问题诊断分析
本节课是三角函数的应用，数学问题的载体都是具有实际意义与生活背景的，本节课的两个问题是具有一定的广泛性和真实性的，如何引导学生从生活中的实际来抽出三角函数的模型，以及对应的数量关系是本节课成败的关键所在．在问题1的探究中，学生已掌握了三角函数的概念与性质，理解y＝Asin（ωx＋φ）的图象及变换，因此在求解析式中对A、ω的求解应该不是问题，但是对φ，b的求解就容易出错，因为φ的值不唯一，b的变化是针对整体图象的移动，有别于前面的图象平移，所以在处理此问题时一定要重点引导，加以区别强调；为了体现数学的实用性，即由图象求得解析式后，解析式有什么用，在这里我拓展了第三小题“求出11时的近似温度”．在问题2的探究中，其实际问题的背景比较复杂，需要学生具备一定的综合性知识以及理解水平，对“太阳高度角”的理解可能比较费劲，我借助《几何画板》来展示形成过程，问题就可以迎刃而解了．
4．教学支持条件分析
为了有效实现教学目标，达到理想的教学效果，学生必须有一定的知识储备，尤其在地理方面的知识，如“太阳高度角”、南北回归线的纬度等；另外因为是解决实际问题，所以在处理数据时，需要借助计算机或计算器；最后就是为了体现问题的真实性与广泛性，有条件的学校可以提供网络链接，让学生真实感受到数学问题的背景的存在．
5.教学过程设计
教学过程
学生活动
设计意图
问题探究课本例1（略）．
【问题拓展】能否由此推算出11时的近似温度？
【问题启示】
1.从数学角度
2.从生活角度
和谐的人文环境——人性化的管理理念打造出和谐、舒适的人居环境
作为沿海开放城市，青岛人秉承“打造优美环境，构建宜人之居”的理念，在城市规划、生态环境、居民住宅等方面得到全面发展，先后被评为中国优秀旅游城市、国家园林城市、国家环境保护模范城市、中国人居环境奖、全国文明城市等荣誉称号．青岛是中国最适宜人类创业、居住的城市之一．为了创建舒适、人性化的环境，青岛市还专门出台《青岛市城市建筑规划管理办法》来加强城市建筑的规划与管理，例如《管理办法》规定在青岛盖新楼时，所盖新楼的第一层的正午的太阳光全年不得被前面的楼房遮挡，以保证新旧楼的采光与通风．
【问题提出】
依照《管理办法》规定，如果要在青岛地区的一幢高为h0米的楼房北面盖一新楼，你知道这两楼之间的间距应不小于多少米吗？
【问题探究】
分析1：
两楼之间的距离由什么的长短来决定？
分析2：
一栋楼房正午的影长是由什么来决定？
（楼高和太阳高度角）
分析3：
某地正午的太阳高度角是否恒定？
它都与哪些元素有关系，有什么样的关系？
相关链接：
地球表面某地正午太阳高度角为θ（太阳高度角是指太阳光的入射方向和地平面之间的夹角），δ为此时太阳直射纬度，φ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是θ＝90°－|φ－δ|.其中当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值．
验证对比：
——《青岛市城市建筑规划管理办法》中房屋建设间距的日照间距系数与本题结果对比．
【问题拓展】某公司所盖大楼的对面是一座6层高的幼儿园，按照日照采光分析计算，这栋新建楼房只能建12层高，而开发公司擅自加盖至20层，因此必须强行拆除，试根据今天所学知识：
（设该公司所在地区的纬度为北纬30°，假设楼层高3米）
（1）估计幼儿园与所建大楼的间距．
（2）假如不强行拆除，幼儿园的哪些楼层的正午太阳光会被所盖大楼遮挡．
【问题启示】
1.从数学角度
2.从生活角度
【课堂总结】引导学生归纳：
（1）已知函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b图象，如何求其解析式；
（2）如何由解析式研究函数性质；
（3）解三角应用题的一般步骤.
学生根据函数解析式令x＝11即可求出
符合正弦函数
适宜人类居住
（影子）
（楼高和太阳高度角）
太阳高度角与该地的纬度值和当时太阳直射纬度有关
根据探究结果解决问题
通过反思整理，让学生感受到数学与生活的问题确实是息息相关的，让学生感受到学习数学的乐趣．
从不同的生活背景资料抽象出不同的问题，用不同的问题来构建不同的数学模型，更加体现数学知识应用的广泛性．
实际问题解决有时候是需要综合应用多学科知识的，更有利于培养学生的综合素质，锻炼学生分析、解决问题的能力．
结合实际，举一反三，让学生学以致用，让学生感受到成功的情感体验．
围绕拆楼这事件提出相关问题，让学生学以致用，真正感受到数学无穷的魅力所在；
通过对本题的反思整理，让学生感受如何从一个复杂的背景知识抽取基本的数学关系．
通过课堂的整理、总结与反思，让学生体验、感受“建模”的过程，收获数学、地理、人文等各科知识，使学生的思想得到升华.
6．目标检测设计
练习：
如图所示为函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b（|φ|<）的部分图象．求出函数的解析式．
研究课题：
根据你所掌握的地理知识，结合今天所学，利用相关资源，写一篇关于当地某小区的住户正午能否享受太阳照射的“阳光”报告.
通过图象写解析式，让学生在练习中巩固与提高．
设计一道开放性的研究性课题，旨在引导学生全方位，多角度的思考问题，诱发学生创造性的想象和推理.
教学设计说明
数学源于生活，应用于生活．本课的设计思路是：
以“情景—探究—建构”的教学模式为指导，通过“宜居”这一生活话题搭建平台，并从中提炼数学知识，完成从感性认识逐步上升为以抽象概括为主的理性认识，然后指导生活实践．
在整个设计过程中，始终体现以学生为中心的教学理念，在学生已有的认知基础上进行设问和引导，关注学生的认知过程，为增强学生学习兴趣，在设计之初精心安排“青岛”这一背景，围绕“自然环境”与“人文环境”引出两个数学问题，让学生在探究问题的过程中既学习了数学知识，又培养了人文素养，提高了综合素质；在思维拓展中，围绕当地房屋建设以及拆楼事件提出相关问题，让学生学以致用，真正感受到数学无穷的魅力所在；在课后反馈中，设计一道开放性的研究性课题，旨在引导学生全方位，多角度的思考问题，启发学生创造性的想象和推理，以上种种正好体现出新课程的新理念．
第2课时
作者：
高洪武
教学目标
巩固已知三角函数，求给定自变量对应的函数值；
已知三角函数值，求相应自变量的值；
利用图象解三角不等式；
利用二分法求相应方程的近似解；
培养学生数学应用意识，提高学生利用信息技术处理一些实际计算的能力．
教学重点
用三角函数模型刻画潮汐变化规律，用函数思想解决具有周期变化的实际问题．
教学难点
对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型．
教学媒体
几何画板
教学流程
↓
↓
↓
↓
教学过程
1．情景展示，新课导入
【师】经过前面的学习，大家知道，在现实世界中存在着大量的周期性变化的现象，而要定量地去刻画这些现象，我们通常需要借助于三角函数这一重要的数学模型．这节课我们将来学习三角函数模型的简单应用．
（教师板书课题：
§1.6三角函数模型的简单应用）
【师】请看这样一副画面：
这是我们所熟悉的温州市区著名景点——江心屿（图1），江心屿上面有座峙庙——江心峙（图2），旁边这位人物是（稍微停顿）温州南宋时期著名状元诗人——王十朋（图3）．（学生不是很熟悉，已经淡忘了）他在江心峙中题了一副非常知名的对联．（学生又想起来了）
（呈现对联）上联是：
云朝朝朝朝朝朝朝朝散；下联是：
朝长长长长长长长长消．（师生齐朗诵，课堂气氛活跃）．
【师】在这里，诗人王十朋巧妙地运用了叠字诗展现了瓯江潮水涨落的壮阔画面，当然他对瓯江潮水的描述也是感性的．今天我们将从数学的视角理性地研究有关瓯江潮水涨落的一些实际问题．
2．问题提出，探究解决
【师】老师想问大家一个问题：
若干年后，如果在座的各位有机会当上船长的话，当你的船只要到某个港口去，你作为船长，你希望知道关于那个港口的一些什么情况？
【生】水深情况．
【师】是的，我们要到一个陌生的港口时，是非常想得到一张有关那个港口的水深与时间的对应关系数值表．那么这张表格是如何产生的呢？
请同学们看下面这个问题．
问题探究1：
下面是瓯江江心屿码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表：
时间
0.00
3.00
6.00
9.00
12.00
15.00
18.00
21.00
24.00
水深/米
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
【师】请同学们仔细观察表格中的数据，你能够从中得到一些什么信息？
【生】（思考中）发现水深的最大值是7.5米，最小值是2.5米．
【师】水的深度变化有什么特点吗？
【生】水的深度开始由5.0米增加到7.5米，后逐渐减少一直减少到2.5米，又开始逐渐变深，增加到7.5米后，又开始减少．
【师】大家发现，水深变化并不是杂乱无章，而是呈现一种周期性变化规律，为了更加直观明了地观察出这种周期性变化规律，我们需要做什么工作呢？
【生】需要画图．
【师】非常好，下面大家拿出一张白纸，以时间为横坐标，以水深为纵坐标建立平面直角坐标系，将上面表格中的数据对应点描在平面直角坐标系中．
（学生活动：
作图）
【师】（电脑呈现作图结果）大家可以发现如果我们用平滑的曲线将上面所描各点连起来，得到的图象形状，跟我们前面所学过哪个函数类型非常的图象？
【生】跟三角函数模型y＝Asin（ωx＋φ）＋b很像．（师板书）
【师】下面你们能把刚才同学所给的这个函数模型给求出来吗？
（学生活动，求解析式）
【生】由图得A＝＝2.5，b＝5，T＝＝12，ω＝，φ＝0，
∴y＝2.5sin＋5.
【师】这样一来我们就得到了一个近似刻画水深与时间关系的三角函数模型，为了保证所选函数的精确性，通常还需要一个检验过程（因为时间关系，老师事先已经帮大家检验过了，这里就不检验，同学们可以下去检验）有了这个模型，我们要制定一个整点时水深的近似值，就是件非常容易的事情了，下面同学算一下在4时的时候水深是多少？
（学生计算，最后教师呈现水深关于时间的数值表）
时刻
0：
00
1：
00
2：
00
3：
00
4：
00
5：
00
6：
00
7：
00
8：
00
9：
00
10：
00
11：
00
水深/米
5.000
6.250
7.165
7.500
7.165
6.250
5.000
3.754
2.835
2.500
2.835
3.750
时刻
12：
00
13：
00
14：
00
15：
00
16：
00
17：
00
18：
00
19：
00
20：
00
21：
00
22：
00
23：
00
水深/米
5.000
6.250
7.165
7.500
7.165
6.250
5.000
3.754
2.835
2.500
2.835
3.754
【师】有了水深关于时间的函数模型以后，作为船长考虑的问题还没有结束，因为船只在进出港时，每艘船只的吃水深度是不一样，下面我们就看一看把这两方面的情况都考虑进去的一个问题：
问题探究2：
一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），试问：
该船何时能够进入港口？
在港口能呆多久？
【师】货船能够进入港口所需要满足的条件是什么？
（师生一起分析）
【师】只有当“实际水深≥吃水深度＋安全间隙”时，船只才可以进去或离开港口．
怎样用数学语言将这一条件描述出来呢？
【生】2.5sin＋5≥4＋1.5，即sin≥0.2，
（师生齐分析）解三角不等式，通常我们是算去边界值，然后再确定解的范围．
【师】令sin＝0.2.
（学生活动：
操作计算器计算）≈0.2014，x≈0.3846，
【师】我们知道三角方程在实数范围内有解就有无数个，那么在[0,24]范围内，其他一些解该怎么求呢？
我们来看图象情况．（电脑呈现图象）
发现：
在[0,24]范围内，方程sin＝0.2的解一共有4个，从小到大依次记为：
xA，xB，xC，xD那么其他三个值如何求得呢？
（学生思考）
xB≈6－0.3846＝5.6154，xC≈12＋0.3846＝12.3846，xD≈12＋5.6154＝17.6154.
【师】得到了4个交点的横坐标值后，大家结合图象说说货船应该选择什么时间进港？
什么时间出港呢？
（学生讨论，交流）
【生1】货船可以在0时30分钟左右进港，早晨5时30分钟左右出港；或者是中午12时30分钟左右进港，在傍晚17时30分钟左右出港．
【生2】货船可以在0时30分钟左右进港，可以选择早晨5时30分，中午12时30分，或者傍晚17时30分左右出港．
【师】上面两位同学分别给出了两种不同的进出港时间方案，同学们说说看，哪一种情况更符合实际或者说更安全．
（学生讨论，最后确定方案1为安全方案，因为当实际水深小于安全深度时，货船尽管没有行驶，但是搁浅后船身完全可陷入淤泥，即使后来水位上涨，也很可能船身不再上浮）
【师】大家看看刚才整个过程，货船在进港，在港口停留，到后来离开港口，货船的吃水深度一直没有改变，也就是说货船的安全深度一直没有改变，但是实际情况往往是货船载满货物进港，在港口卸货，在卸货的过程中，由物理学的知识我们知道，随着船身自身重量的减小，船身会上浮，换句话说，随着货物的卸载，货船的安全深度不再向开始那样一直是一个常数，现在它也是一个关于时间的变量，而实际水深也一直在变化，这样一来当两者都在改变的时候，我们又该如何选择进出港时间呢？
请看下面问题：
问题探究3：
一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船在2：
00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
【师】题目中“必须停止卸货”，是在货船即将面临什么危险的时候呢？
（学生讨论）
【生】当实际水深快要小于或等于安全水深的时候，就必须停止卸货．
【师】那么我们先把货船安全需要满足的条件给写出来：
安全即需要：
实际水深≥安全水深
即：
2.5sin＋5≥5.5－0.3（x－2），
【师】这样的不等式大家会解吗？
【生】不会．
【师】用代数的方法不会解的时候，我们不妨从几何的角度来考虑这个问题．（电脑作图并呈现）
通过图象可以看出，当快要到P时刻的时候，货船就要停止卸货，驶向深水区．
那么P点的坐标如何求得呢？
（学生思考，讨论，交流）
【师】P点横坐标即为方程2.5sin＋5＝5.5－0.3（x－2）的解，很显然，精确解我们是无法求得，我们只能求得其近似解，同学们回忆回忆，前面我们在求方程的近似解的时候通常采用什么方法？
【生】二分法．
【师】如何用二分法求得近似解呢？
（师生共同分析）
由图得点P在[6,7]，故我们只需要算出6,6.5,7三个时刻的安全水深与实际水深的数值表就可以回答上面的问题.
时间
实际水深/米
安全水深/米
是否安全
6.0
5
4.3
安全
6.5
4.2
4.1
较安全
7.0
3.8
4.0
危险
货船应该在6时30分驶离港口．（可能有的同学有些异议，可以讨论）
【师】从这个问题可以看出，如果有时候时间控制不当，货船在卸货的过程中，就会出现货还没有卸完，不得已要暂时驶离港口，进入深水区，等水位上涨后再驶回来．这样对老板来说就会造成才力、物力上的巨大浪费．这显然不是老板愿意看到的．那该怎么来做呢？
（学生讨论）
【生】可以加快卸货速度，也就是加快安全深度下降速度．
【师】看下面这个问题：
问题探究4：
若船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：
00开始卸货，货物卸空后吃水深度为2米，为了保证进入码头后一次性卸空货物，又能安全驶离码头，那么每小时吃水深度至少要以多少米速度减少？
（学生课后探究）
3．课时小结，认识深化
（师生一起归纳）
（1）回顾我们整个探究过程，经历了这么几个阶段：
第一阶段：
收集数据——画散点图（为了更加直观形象揭示变化规律）；
第二阶段：
根据图象特征——选择适当函数类型，并求得函数类型；
第三阶段：
函数模型在实际问题中的应用．
（2）在整个探究过程，我们用到数学常见的一些思想方法：
①对实际问题处理过程是，首先是挖掘其中的数学本质，将实际问题转化为数学问题；体现了数学中的转化思想；
②在对一些数据处理的过程用到了估算的思想；
③在用代数方法解决一些问题困难时，用到了数形结合的思想；
④在方程的求解过程中，用到了算法中的“二分法”思想．
【师】这节课我们利用数学中的三角函数处理了实际生活中货船进出港问题，这只是三角函数在实际生产、生活中应用的“冰山一角”，希望大家在学习的过程中做个有心人，学会用数学的眼光去看待身边的一些自然和社会现象，同时努力去尝试用学过的数学知识处理一些实际问题．
4．作业布置，延时探究
（1）电视台的不同栏目播出的时间周期是不同的，有的每天播出，有的隔天播出，有的一个星期播出一次．请查阅当地的电视节目预告，统计不同栏目的播出周期．
（2）一个城市所在的经度和纬度是如何影响日出和日落的时间的？
收集其他有关数据，并提供理论证据支持你的结论．
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