数列极限的几种计算方Word文档下载推荐.docx
《数列极限的几种计算方Word文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列极限的几种计算方Word文档下载推荐.docx（28页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
解lim2limn
n「n3n4n「3]4q
nn2
（11）
lim25--6飞
n1nn2
（11\
lim1342
nnn2
3利用数列的一些特征计算数列极限
注3此种方法也就是直接将数列进行化简，从而计算出数列极限•方法只适用于
些特殊的数列，不具有一般性.
fn1、1
分析观察数列，可以看出数列极限为lim=—1—，通项a」=―1—，由
（i—1）如，（n—1）xn
---，所以括号中的式子可用裂项相消法计算，以此可以解出数列极限
（n-1）nn-1n
4利用夹逼准则计算数列极限
设liman，limg均存在，且lima“二A,limg二A，若数列｛cn｝满足an_cn—bn，则有
n^^n^^n_^c11111111
limcn=A.
n_j:
注4利用夹逼准则求极限的关键是：
将原数列适当地放大和缩小，使得放大后和缩
小后的两个新数列的极限值相等，贝U原数列的极限值存在且等于新数列的极限值.
1111
例题4计算数歹U极限lim—^=2+/2+/2=+，'
'
十』2:
f&
n2+1Jn2+2Jn2+3Jn2+n丿
分析括号里的数列极限不能用上面的方法，但是，数列可以放大和缩小，所以关
键是找到极限值相等的数列｛an｝与｛bn｝，进而可以用夹逼准则来计算数列极限
5利用“单调有界数列必有极限”准则求解数列极限
（a）如果数列｛an｝单调增加且有上界，即存在数M,使得a^Mn=1,2….那么liman
**n^ic
存在且不大于M.
（b）如果数列｛an｝单调递减且下界，即存在数m,使得an_mn=1,2…，那么lima.存在且不小于m.
注5递推数列极限的计算是数列极限计算中的一大类问题.而“单调有界准则”是判别递推数列极限是否存在最常用的一种方法，它不用借助其它数列而是直接利用所给数列自身的单调性和有界性来判别极限的存在性.
例题5计算数列极限人-2,x2-•2•.2,…,xn=2xn,求limxn
分析
（1）通过观察可以看出x,:
:
x2…x^即数列｛xn｝单调增加；
（2）X1：
2,X2「WE—W2=2，…,Xn二-.2•Xn'
厂2=2,即数列｛xn｝有上界.
所以，由单调有界准则知，数列极限存在，设lim=a，然后计算出常数a即为数列极限.
解由单调有界准则知，数列极限存在，设lim焉二a,
VXn=逗:
x4
所以给等式两边取极限得
］叫&
jm广2也，
也即a二庞―a,解出a=2或a=T.
又由于Xn0,所以取a=2.
例题6设捲=丄,yi=1,Xn=族川」,丄J丄+丄,证明数列｛焉｝,｛y.｝收敛,2yn2Mn」yn」丿
且有相同的极限•
分析因数列｛Xn｝与数列｛yn｝之间有大小关系，所以只要明确两者之间的关系，利
用夹逼准则，就可证明两个数列极限均存在，进而证明两个极限相等
又：
Xn二JX^iyndjXn-iXn」二Xn"
数列仇｝单调递减，且有0：
：
为=1
且有1二力”：
yn，
于是1二力疳y2疳…”：
yn疳x.：
…：
捲=1.
2
所以数列｛Xn｝单调递减有下界，数列｛Yn｝单调增加有上界;
由单调有界准则知两个数列的极限均存在
设limxn=a,limyn二b.n^^n^c
于是有a=ab,^-11,求出a=b.b2（ab丿
即两个数列有相等的极限.
6利用多项式型极限性质求得数列极限
多项式型极限:
0,kcl
k亠k-1IIi
..a°
n+dn+…+azn+aka。
.
lim;
乙，k=丨.
nYb。
n+dn+…十bjn+bb。
kl
解由上面的性质可知
此题的极限属于k=l型
7利用数列与子列的关系计算数列极限
定理若数列｛xn｝收敛于a，则它的任何子列｛xn｝也收敛于a,
即limxn=a=limxn=a.
n_jn厂k
注6此定理经常被用来判断一个数列的发散，即若数列有两个子列极限不相等,则数列必定发散.
例题8证明数列｛sin—｝发散.
4
证明取nk⑴=4k,nk⑵=8k-2.则子列｛xn（n｝收敛于0,而子列｛xn®
｝收敛于1，所以由上面定理及注意的可知
数列｛sin—｝发散.
8利用柯西收敛原理计算数列极限
定义数列｛xn｝,若对任意给的；
7,存在N>
0,使得当n,m>
N时，成立
xn-冷|<
5
则称数列g是一个基本数列.
柯西收敛原理数列X［收敛的充分必要条件是：
数列是基本数列.
sin1sin2sin3sinn
例题9证明数列Xn23厂，n_1收敛.
2222
证明-；
・0,N0,对-n,p■0,当n_N时，有
x=sin（n^+sin（n+2）+…+sin（n+P）』丄+2+…+上L丄
n4pn2*十2*七2^*P2^!
2*七2*卄|2*
所以，取N=log2（-），则由数列「xn?
收敛的柯西准则知，
Z
数列fxn?
是收敛的.
9利用压缩性条件计算数列极限
定理数列满足条件:
Xn半—Xn兰kXn-人」，0VkCl,n=2,3,…,
则数列:
Xn［收敛.
例题10已知数列耳=2®
=2=2•丄，…，证明数列厲｝极限存在，并求
2c1
2--
此极限.
15
解由假设知an彳=2•—,且an_2,易证2乞an_-，于是
an2
即数列｛an｝满足压缩性条件，所以数列极限存在.
假设极限为丨，即lima.=1，则由递推公式得
I=2+f，
解之，得到I=1•J2或I=1-、、2（舍去），
所以liman=1、、2.
n—SC
10利用两个重要极限计算数列极限
（a）
sinxlim-1.
X0X
注7使用此种方法，关键是将数列经过变形化成必要的形式，而且此种方法使用的
很普遍,特别是第二个极限要着重掌握并灵活运用.
例题11求极限lim\xsin-.
X
分析由于原式中出现sin二，立刻想到用重要极限，但是首先要对原式进行变形，
得到我们需要的形式，再进行求解.
利用重要极限得
兀
sin—
原式=limx=0.
x
例题8求极限lim1—.
ngxx丿
分析利用重要极限，关键是要极限符合1:
型.
[1解limi1-
xx
=e.
11应用函数极限与数列极限关系求极限
函数极限与数列极限关系是：
若limf（x）=A则limxn=limf（n）=A.
（1厂例题9求数列极限lim1++2.
nTnn2丿
分析这是数列极限，禾U用函数极限与数列极限的关系，要先得找到数列所对应的函数，再求函数极限，进而得到数列极限.
解数列极限对应的函数极限为limV1,对V1^7,用公式
FlXX2丿（XX2丿
bblna：
曰
ae得
11
（1丄厶）X
xln（1-2）
=exx
而limln1-4^'
-1
J■,--
12利用等价无穷小替换法求极限
其关键是找相应
注8应用这个关系可以用求函数极限的方法求某些函数的极限,的函数.
常见的一些等价无穷小量：
当->
0时，
12
sin-~x,tanx~x,arcsin-~x,arctanx~x,1-cosx~-,
ln（1x）~x,ex-1~x,：
x-1~xln：
（1x）-~：
x
定理设函数f,g,h在Uo（-0）上有定义，且有
f（x）~g（x）（x>
xJ.
（1）若limf（x）h（x）二代贝Ulimg（x）h（x）二A;
^^0^^0
例题10
⑵若lim凹
f（x）
=B,则lim卫凶=B;
fg（x）
求极限lim-
11sin（1「cos-）
nn
13
分析先将数列极限转换成函数极限，然后再利用上面的等价变换
sinx~x,1-cosx~丄x2求解.
解令原极限中的1=x，则数列极限所对应的函数极限为
li
sinx（1-cosx）
3
sinx（1-cosx）
=処
sin-（1—cos-）.
进而lim―n3—n1.
5口］2
特别的在利用等价无穷小量代换求极限时，只有对所求极限式中相乘或相除的因
式才能用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代.
例题ii求极限iimtanx-sinxT（sinx）
分析对这道题，如果用当x-；
0时，sinx~x,tanx~x,则会得到错误的结果0.
解事实上当X>
0时，（tan-sinx）~-3
-x
13利用定积分定义求数列极限
应用定积分定义求数列的极限就是把数列的通项看作是某个连续函数在某个区间
上的积分和，然后通过计算定积分的值来求解数列的极限.关键是利用
lim1：
f丄
nT：
ny
在区间0,1中加入n个分点，将区间分割成n等分，令0二石：
x2…xn=1,且人二丄，
其中区间长度=丄；
然后数列｛an｝求极限就是黎曼和求极限，而黎曼和求极限就是用n
到定积分定义，所以可将极限转换成定积分进行计算
r、
+
+••*+
1+〔1+
（2）2
1+（n）2
7
i2
1+（）2
inn
n丿
1n丿
令fx二乙，由分析可得
n_i:
i兀
=arctanx=—
04
14利用泰勒展式求解数列极限
F面是一些常用函数的泰勒展式:
23n
1宀1+X咱F佥5
rn（x）=（0,1）.
（n+1y
n卅n1xrn（x）=（T）nr
（1+Bx）
其中，上面的rn（x）是泰勒余项,且lim」n（x）=0.
x2
~2
例题13求
cosx「elimx0
分析这是0型的极限，可以用洛必达法则计算，但是计算量非常大；
用泰勒展式
可以大大减小计算量，不易出错，计算方便.
解利用泰勒公式
15利用级数理论和级数收敛的必要条件求数列极限
qQ
级数收敛的必要条件：
若级数7un收敛，则limUn=0.
n_=sc
n4
应用这个结论求某些数列的极限方法是把给定的数列通项看作是某个级数的通项，
然后用级数的敛散性判别法，判定该级数收敛，此时数列的极限必为零•
级数是一个无穷序列和的形式，其部分和就是一个数列，有时为求方便可将数列极
限看做某个级数的部分和，这样可以使得计算更加简捷，更高效的得出结果•
例题14求lim—111.
5叶1n+2n+32n丿
111
分析我们知道形如an=1-•-爲…心--lnn的数列极限值是欧拉常数,有
niman=c（c是欧拉常数）.所以此题可以利用这一结论进行计算.
=”mln2n-lnn"
^na2n-入-a*
由分析可知
上式=nim「131冷12
=nmln2a2n-an
=ln2.
16用Stolz定理求解数列极限
Stolz定理：
设数列｛Xn｝与数列｛yn｝，数列｛%｝是单调增加的正无穷大量，且
limXn1—Xny（l可以是有限量，•：
与」：
）,n51-yn
贝U
lim鱼=1.
nTn
证明首先考虑l=0的情况.
由lim人1一人=0,可知-；
■0,Ni0,-nNi:
n兀%1一yn
Xn-人』V呂Wn-Yn」）
由于数列｛yn｝是正无穷大量，显然可以要求yN10,于是
Xn—XN1兰Xn—Xn」+X.」一X^+…—X^
（yn—yn」）（yn」一yn/）（yn/—yn」）d…仆’1一y^）二（yn—yNj
因为
XnXn-XN1yn-yN1X^
=»
"
T
ynyn-yN1ynyn
固定N1,又可以取到N>
n>
N:
|—|<
g,从而yn-y%
Xn
yn
yn-Yn1
yn-yN1
当a是非零有限数时，令焉=xn-ayn,于是
nm
Xn「Xn/
yn一ynJ
=lim
nSn—ynd
从而由nm
=0,得到
对于ahl二的情况，首先N,-n.N:
x^—xndy^-ynJ.
于是｛Xn｝也单调增加，且从Xn-Xn•yn-Yn可知｛X.｝是正无穷大量.将前面的结论应
用到｛匕｝,得到
lim虫=limyn_ynJ=0,
nni
nnn-1
因而
lim鱼―yn
对于a==的情况，证明方法和上面的类同.
例题15设liman二a,求极限lim印2a23a‘阿
-lim2
2_n_1
于是得到
例题16求极限
nk+1
（k为自然数）.
k
一一彳k1
limXn-Xz=limnr—yn_n
证明令Xn=1232•52•（2n1）2,yn二n3,由
Xn—Xn」（2n1）
limlim3
ni"
yn-yn」I：
n3-n-1
4n2+4n+14n2+4n+1
=lim22lim厂
n；
（n-n1）[nn（n-1）（n-1）]n；
3n-3n1
=4
3*
特别地，
（1）在Stolz定理中，若limXn1一Xn=:
不能得出lim互“：
的结论.FJ.出—ynFYn
t一n
如取Xn»
1n
n出n
（-1）（n+1）-（-1）n
二lim
n>
n-n-1
1,n=2k
，
-1,n-2k1
即极限lim不存在.
Fyn
得到
例题17利用Stolz定理，证明
123252（2n1）24
lim厂
n—cn33
（2）在Stolz定理中，若limX1「Xn不存在，不能得出lim空不存在的结论.
nYyn卅一ynFyn
如取Xn=1-23-4（-1）心n,yn二n2,
lim如二lim一23一4；
（Th.。
即lim^n.o,
nr-ynn—八nnr-yn
17利用Stiring公式求极限
Stiring公式:
n!
-2n二nne
』12n,0「n叮.
n丿」
"
+1〕
丿13丿
…1
例题18计算lim•、n|]
FU4
<
11.expIn11-解Xn「n•23
23
-I-
、,nn!
expjn11“
1123n丿丿
（n+1）
ei2n
2-nei2n
18利用无穷小量与无穷大量的关系求解极限
—1
（1）若limf（x）-：
，则lim-0.
f（x）
=oo
⑵若limf（x）=0且f（x）=0,则1imf1）
例题19求下列极限
（2）lim—IxT
解
（1）由limn2
n_.n
，故lim2=0.
（2）由lim（x-1）=0，故lim
x—1
19变量替换法求解极限
na
例题20求极限nmp
分析当n:
时，分子分母都趋于:
，不能直接用法则，但是可注意到
n2
4nh[22i；
h[2n，所以作变量替换可以求解•
令t=2n，贝q原式=lim—1lim：
10.
Ft2_1十H+1.丿
20利用拉格朗日中值定理求解极限
定理若函数f（x）满足下面条件：
（1）函数f（x）在闭区间[a,b]上连续;
（2）函数f（x）在开区间（a,b）内可导;
则在（a,b）内至少存在一点•，使得f「）=f（b）「仙
x—sinx
b—a
上式可变形为：
f（b）一f（a）=f（a，（b-a））,（0：
r：
1）.b—a
例题21求解极限lim
xsinxe—e
解令f（x）=ex，应用拉格朗日中值定理
ex-esinx=f（x）-f（sinx）=（x-sinx）f（sinx%x-sinx））,（0：
^：
1）
ex_esinx
即f（sinxr（x—sinx））,（0：
（x-sinx）
因为f（x）二ex连续，
所以limf（sinx）（x-sinx））=f（0）=1.
xsinx从而有lime1.
ix—sinx
21利用公式法求解数列极限
已知极限:
⑴lim需=1（a沁）;
（2）lim需=1;
（3）limq"
=0（q<
1）;
n_^c'
1*
anf111、
⑺lim-0;
（8）limi1-一亠亠一-lnn=c（欧拉常数）；
n#n!
Fl23n丿
三结束语
本文讨论了几种求数列极限的方法，注意发现和利用数列的特性，选择适当的方法,有时还要运用一些技巧，进行数列极限的求解。
同时，在学习数列极限的理论时只有不断总结，不断完善知识理论和结构，才能在解题思路中有所发现，有所创新.本文列举的十二种求数列极限的方法是有限的，还有更多更好的解题方法和思
路，需要我们进一步去总结.
参考文献
[1]
数学分析（上册），第四版•
北京：
高等教育出版社，2010.7
[2]
数学分析（下册），第四版.
[3]
陈纪修
於崇华金路.数学分析
（上册）
•北京：
高等教育出版社，
1999.
[4]
（下册）
.北京：
[5]
张天德
孙书荣数学分析辅导及习题精解
（华东师大第四版上册）.
延吉：
延边大学出版社，
2011.7
⑹
李素峰
.求数列极限的几种方法
•《邢台学院学报》[J],2007年02
期第92-93页.
[7]
[J],2011年02期
塔怀锁,数列极1限的几种特殊求解方法
.《北京工业职业技术学院学报》
第10卷第73-74页.
[8]葛喜芳，数列极限的几种计算方法.《北京工业职业技术学院学报》[J],2013年03期第
12卷64-65页.
[9]吴云飞裴亚萍.数列极限的计算方法与技巧•《宁波职业技术学院学报》[J]2003年01期
第2卷91-92页.
升级会员 