八年级123章复习.docx

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八年级123章复习

一、三角形知识要点

【1】构成三角形的条件

①任意两边之和大于第三边。

②三角形的第三边大于两边之差小于两边之和。

③三角形的两小边之和大于最大边。

④等腰三角形的两腰之和大于底边

【例题1】

（1）已知三角形的三边分别为3,1-2x，6，则x的取值范围是

（2）已知三角形的两边为4和7，则第三边a的取值范围是，

周长c的取值范围是

（3）等腰三角形的周长为10，则底边a的取值范围是

（4）以长为13cm、10cm、5cm、7cm的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数是（   ）

A1个   B）个   C3个   D4个 

（5）如果将长度为 a—2，a＋5和a＋2的三条线段首尾顺次相接要以得到的一个三角形，那么a的取值范围是

（6）已知一个三角形两边分别为4和7，则第三边上的中线的范围是_________

【2】三角形的常见“四心”

1、内心：

是三角形三条（或两条）角平分线的交点，它到三边的距离相等，

到三角形三边的距离相等的点有四个（内一外三）

①锐角三角形的外心在三角形内部，

②钝角三角形的外心在三角形外部，

③直角三角形的外心在三角形的斜边中点上

2、外心：

是三角形三边（或两边）中垂线的交点，它到三顶点的距离相等

三角形的中线把三角形的面积两等分。

重心把中线分成1;2两部分

3、重心：

是三角形三边（或两边）中线的交点，

4、垂心：

是三角形三边高（或所在直线）的交点，

①锐角三角形的高都在内部，交点在内部

②直角三角形的高两条在边上，一条在内部，两条在边上。

交点是直角顶点

③钝角三角形的高一条在内部，两条在外部，交点在外部

等边三角形的四心合一，正多边形的中心和内心，外心重合，等腰三角形的外心和内心都在底边的中垂线上

【3】三角形面积的求法

1、公式：

①

底×高②

周长×内心到一边的距离③

水平宽×铅垂高（

BD×AE）④皮克定理

（a代表三角形内的格点个数，b代表三角形边上格点个数）

2、割补

3、位置关系：

如同底或等底或同高或等高

注：

①等边三角形的面积=

（a代表边长）

②在遇到求高时，要想到利用面积法或底x高=底x高

【例题2】

（1）如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（　　）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定

（2）下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（     ）

（2）直角三角形两个锐角的平分线夹角等于度

（3）如图，△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC，∠ACB，则∠BIC=120，BM、CM分别平分∠ABC，∠ACB的外角，则∠M=______．

（4）如图，∠ECF=90°，线段AB的端点分别在CE和CF上，BD平分∠CBA，并与∠CAB的外角平分线AG所在的直线交于一点D，则∠D=度

（3）题图（4）题图

（5）如图，在△ABC中，∠A+∠F=220，延长BC到点D，∠ABC的平分线与∠FCD的平分线相交于点A1，∠A1BC的平分线与A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，∠AnBC的平分线与∠AnCD的平分线相交于点An+1，则An+1的度数为

（6）如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=200°，∠ABC与∠DCB的角平分线交于D1，∠D1BC与∠D1CB的角平分线交于点D2，依次类推，∠D4BC与∠D4CB的角平分线交于点D5，则∠D5的度数是度Dn=度

（5）题图（6）题图

（7）如图,△ABC的面积等于25cm2,AE=ED,BD=2DC.则△AEF与△BDE的面积之和等于___cm2,四边形CDEF的面积等于___cm2.

（8）设△ABC的面积为1,如图①,将边BC、AC分别2等分,BE1、AD1相交于点O,△AOB的面积记为S1;如图②将边BC、AC分别3等分,BE1、AD1相交于点O,△AOB的面积记为S2;…,依此类推,则Sn可表示为（用含n的代数式表示,其中n为正整数）

（9）如图，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ADC=40°，

∠AEC=35°，则∠ABC的度数为

（10）如右图，木工师傅做完门框后，为了防止变形，常常像图中所示 那样钉上两条斜拉的木条（图中的AB、CD），这样做的数学道理是                

（9）题图（10）题图

【4】多边形的内角和及外角

①三角形的外角：

三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和

②多边形的内角和=（n-2）×180°，外角和恒等于360°

③n边形的总对角线条数公式

【例题3】

（1）一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，则多边形的边数为及这个外角的度数。

（2）一个多边形的内角和去掉一个内角的度数总和为1350°，则多边形的边数为

（3）一个多边形剪去一个角后内角和为1800°，则此多边形的边数为。

（4）一个正多边形的每一个内角都为144°，则这个多边形的边数为

（5）一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1m，然后，原地逆时针方向旋转角a（0°＜α＜180°）．被称为一次操作．若五次操作后，发现赛车回到出发点，则角α为

（6）如果在一个顶点周围用两个正方形和n个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则n的值是

A．3     B．4    C．5    D．6  

（7）学校要铺设一个活动场地，供选用的地砖有边长相等的正多边形，为了美观，要求至少用两种不同形状的地砖铺设，同学们设计了四种方案：

①正三角形，正四边形；②正三角形，正六边形；③正五边形，正八边形；④正三角形，正四边形，正六边形，你认为以上可行的方案有

（8） 一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则

∠1+∠2=

（9）如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的和为

（8）题图（9）题图

【5】特殊三角形的性质与判定

一、等腰三角形

1、性质

　①等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）

　②等腰三角形的“三线合一”

2、判定

①两边相等的三角形是等腰三角形

②两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）

二、等边三角形

1、性质：

①等边三角形的三边相等，三个角都等于60°

②三线合一

2、判定　

①三边或三角相等的三角形是等边三角形

②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

三、直角三角形

1.性质

①直角三角形两个锐角互余

②直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半

2.判定

有一个角是90°的三角形是直角三角形

【6】角平分线、线段的垂直平分线

一、角平分线

1，性质：

∵OC平分∠AOB,PF⊥OB,PE⊥OA

∴PE=PF

2、判定：

∵PF⊥OB,PE⊥OAPE=PF

∴OC平分∠AOB

二、线段的垂直平分线

1、性质∵CD垂直平分AB

∴AC=BC

2、判定∵AC=BC，AD=BD

∴点C在AB的垂直平分线

点D在AB的垂直平分线

∴CD垂直平分AB

【例题4】

（1）等腰三角形的一边为4，一边为9，则它的周长为

（2）等腰三角形的周长为16，且边长为整数，则腰与底边分别为 

  A、5，6  B、6，4  C、7，2  D、以上三种情况都有可能

（3）△ABC中,AB=AC,AB边的中垂线与直线AC所成的角为50度,则∠B=

A.70B.20或70C.40或70D.20或40

（4）在等腰△ABC中，AB=AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为

（5）已知等腰三角形的三边分别5，2x+1,3x-4，则这个三角形的周长为

（6）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则它的顶角是

（7）等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（    ） 

A、顶角    B、底角    C、顶角的一半    D、底角的一半

（8）在等腰三角形ABC中，∠A与∠B度数之比为5∶2，则∠A的度数是（    ） 

A、100°   B、75°    C、150°    D、75°或100°

（9）如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为______．

（10）如图，在△ABC中，D，E是BC边上的点，BD=AB，CE=AC，又

∠DAE=

∠BAC，则∠BAC的度数是

（11）如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若∠CFE=60，且DE=1，则边BC的长为      

（10）题图（12）题图

（12）在直角坐标系中有一条线段AB,其中A（0,4）B（2,0）,请你在坐标轴上找一点P,使△ABP成为一个等腰三角形.你能找出个符合条件的P点，并写出其中4个P的坐标.

（13难）P为等边△ABC所在平面上一点,且△PAB,△PBC,△PCA都是等腰三角形,这样的点P有_______个.

（14）如图，已知C是线段AE上的任意一点（端点除外），分别以AC、EC为边并且在AE的同一侧作等边△ACB和等边△DCE，连接AD交CB于P，连接BE交CD于Q．给出以下结论：

①AD=BE；②∠AOE=120°③PQ∥AE．

④△CPQ为等边三角形；⑤△DPC≌△EQC；⑥CO平分∠AOE；其中正确结论的是    

（15）已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，D是AB上一个动点，

DE⊥AC，F在直线AC上，且和A关于DE对称，BC=2，当

AE=时，△BFD为直角三角形

（14）题图（15）题图

（16）如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是

（17）∠ABD，∠ACD的n等分线相交于点G1、G2、…，若∠A=70°,∠BDC=140°，∠BG1C=77°，则n=．

（18）已知点O是三角形角平分线的交点，OE⊥AC

①若AB=3，AC=2，则S△ABO:

S△ACO=

②若△ABC的周长为10，OE=2，则S△ABC=

（可以变式）

（19）如图，△ABC中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 

求∠A的度数 

（20）如图,CA=CB,DF=DB,AE=AD,求∠A的度数.

（21）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=BD=ED=EA，求∠A的度数．

（22）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD和BE是高，它们相交于点H，且AE＝BE 

求证：

AH＝2BD 

（23）如图所示,D点在AB上,E点在AC的延长线上,且BD=CE,连接DE交BC于点F.若F点是DE的中点,试说明AB=AC

（24）△BDE是等边三角形A在BE的延长线上,C在BD的延长线上,且AD=AC,求证:

DE+DC=AE

（25）如图：

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=22.5°，DC=BC，DE⊥AB，求证：

AE=BE．

【7】全等三角形

1、性质：

全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应边上的高相等，对应中线相等，对应角平分线相等，周长相等，面积相等

2、判定：

一般三角形全等判定：

SSS,SAS,ASA,AAS

直角三角形全等判定：

SSS,SAS,ASA,AAS，HL

全等三角形判定没有：

SSA,AAA,在应用全等三角形判定时，应注意‘对应’

【例题5】

（1）在平面直角坐标系中，△AOC的顶点A的坐标为（0,1），点C的坐

标为（4,3），如果要使△AOB和△AOC全等那么点B的坐标为　_____

（2）如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（　　）

　A．1个B．2个C．3个D．4个

（3）已知：

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：

（1）△BFC≌△DFC；

（2）AD=DE．

（4）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．

（1）求证：

AD=CE；

（2）求∠DFC的度数．

（5）如图，已知等边△ABC，P在AC延长线上一点，以PA为边作等边△APE，EC延长线交BP于M，连接AM，求证：

（1）BP=CE；

（2）试证明：

EM-PM=AM．

∙

【8】常添辅助线

1.遇角平分线

①截取法：

如图：

△ABC中，BC>BA，∠1=∠2，可以作在BC上截取BE=BA，连接DE

（目的是构造全等三角形）

【例题1】已知：

如图，AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB，∠DBA，CD过点E．

求证：

AB＝AC＋BD．

【例题2】已知在△ABC中,,∠BAC的角平分线交BC于D,AB+BD=AC，如果∠C=30°，请判断△ABC的形状，并说明理由

②垂直法：

如图：

已知∠ABC中，∠1=∠2，可以作PD⊥BA于D，PE⊥BC于E，（目的构造三角形全等）

【例题3】如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E,F分别为AB,AC上的点，且∠EDF+∠BAF=180°

（1）求证：

DE=DF

（2）若把最后一个条件改为AE>AF,且∠AED+∠AFD=180°，那么结论还成立吗？

【例题4】已知：

如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,且

∠B+∠D=180°,求证：

AE=AD+BE．

③延长法：

已知∠1=∠2，CD⊥BD于D，可以作延长CD交BA于D

（目的是构造全等三角形）

【例题5】已知△ABC中，∠BAC=3∠B，AD⊥CD于D，CD平分∠ACB，求证：

CB-AC=2AD

2.遇线段a=b+c常添截长或补短

【例题6】如图，已知△ABC中，AD⊥BC于D，AD=CD+AC，∠B=25°，求∠BAC的度数

3.遇中线常添延长中线到一倍

【例题6】如图点D是BC的中点，可以添延长AD到E，使DE=AD，连接BE，（目的是构造全等三角形）

【例题7】如图△ABC中D是BC的中点，E在AD上，∠BED=∠CAD，试判断线段AC与BE的数量关系，并说明理由

4.遇中垂线常连接中垂线的点和线段的两个端点

如图：

MN垂直平分线段AB，点P是MN上一点，可以作：

连接PA、PB

【例题8】：

如图△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，DE垂直平分AC，垂足为D，交BC与点E，是猜想BE与CE的数量关系，并说明理由

5.遇等腰三角形常添：

三线中的一线

【例题9】在等腰直角三角形ABC中，AC=BC，以斜边AB为一边作等边三角形ABD使C、D在AB同侧，再以CD为一边作等边三角形CDE，使点C、E在AD的异侧，若AE=1，求CD的长。

6.遇等腰三角形、等边三角形、正方形可以考虑旋转

遇大角中有一个角等于大角的一半，要考虑旋转

【例题10】在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：

当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．

（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是___；此时

=___；

（2）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想

（1）问的两个结论还成立吗？

写出你的猜想并加以证明；

（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=x，则Q=___

（用x、L表示）．

【例题11】已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H。

（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：

             ； 

（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，

（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？

如果不成立请写出理由．如果成立请证明；

（3）如果AB=5，则△MNC的周长为

【9】常见图形的常见结论

风筝图：

∠D=∠A+∠B+∠C对顶三角形：

∠E+∠F=∠G+∠H

AD是高，AE是角平分线，

∠1=

（∠C-∠B）（∠C>∠B）　∠1+∠2=2∠P　　　∠１－∠２＝２∠Ｃ

∠BOC=

（两内）∠BOC=

（两外）

∠P=

（一内一外）

【10】最值问题