八年级123章复习Word文档格式.docx
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3、重心:
是三角形三边(或两边)中线的交点,
4、垂心:
是三角形三边高(或所在直线)的交点,
①锐角三角形的高都在内部,交点在内部
②直角三角形的高两条在边上,一条在内部,两条在边上。
交点是直角顶点
③钝角三角形的高一条在内部,两条在外部,交点在外部
等边三角形的四心合一,正多边形的中心和内心,外心重合,等腰三角形的外心和内心都在底边的中垂线上
【3】三角形面积的求法
1、公式:
①
底×
高②
周长×
内心到一边的距离③
水平宽×
铅垂高(
BD×
AE)④皮克定理
(a代表三角形内的格点个数,b代表三角形边上格点个数)
2、割补
3、位置关系:
如同底或等底或同高或等高
注:
①等边三角形的面积=
(a代表边长)
②在遇到求高时,要想到利用面积法或底x高=底x高
【例题2】
(1)如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是( )
A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定
(2)下面四个图形中,线段BE是△ABC的高的图是(
(2)直角三角形两个锐角的平分线夹角等于度
(3)如图,△ABC中,BI、CI分别平分∠ABC,∠ACB,则∠BIC=120,BM、CM分别平分∠ABC,∠ACB的外角,则∠M=______.
(4)如图,∠ECF=90°
,线段AB的端点分别在CE和CF上,BD平分∠CBA,并与∠CAB的外角平分线AG所在的直线交于一点D,则∠D=度
(3)题图(4)题图
(5)如图,在△ABC中,∠A+∠F=220,延长BC到点D,∠ABC的平分线与∠FCD的平分线相交于点A1,∠A1BC的平分线与A1CD的平分线相交于点A2,依此类推,∠AnBC的平分线与∠AnCD的平分线相交于点An+1,则An+1的度数为
(6)如图,在四边形ABCD中,∠A+∠D=200°
,∠ABC与∠DCB的角平分线交于D1,∠D1BC与∠D1CB的角平分线交于点D2,依次类推,∠D4BC与∠D4CB的角平分线交于点D5,则∠D5的度数是度Dn=度
(5)题图(6)题图
(7)如图,△ABC的面积等于25cm2,AE=ED,BD=2DC.则△AEF与△BDE的面积之和等于___cm2,四边形CDEF的面积等于___cm2.
(8)设△ABC的面积为1,如图①,将边BC、AC分别2等分,BE1、AD1相交于点O,△AOB的面积记为S1;
如图②将边BC、AC分别3等分,BE1、AD1相交于点O,△AOB的面积记为S2;
…,依此类推,则Sn可表示为(用含n的代数式表示,其中n为正整数)
(9)如图,∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E,∠ADC=40°
,
∠AEC=35°
,则∠ABC的度数为
(10)如右图,木工师傅做完门框后,为了防止变形,常常像图中所示
那样钉上两条斜拉的木条(图中的AB、CD),这样做的数学道理是
(9)题图(10)题图
【4】多边形的内角和及外角
①三角形的外角:
三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和
②多边形的内角和=(n-2)×
180°
,外角和恒等于360°
③n边形的总对角线条数公式
【例题3】
(1)一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°
,则多边形的边数为及这个外角的度数。
(2)一个多边形的内角和去掉一个内角的度数总和为1350°
,则多边形的边数为
(3)一个多边形剪去一个角后内角和为1800°
,则此多边形的边数为。
(4)一个正多边形的每一个内角都为144°
,则这个多边形的边数为
(5)一名模型赛车手遥控一辆赛车,先前进1m,然后,原地逆时针方向旋转角a(0°
<α<180°
).被称为一次操作.若五次操作后,发现赛车回到出发点,则角α为
(6)如果在一个顶点周围用两个正方形和n个正三角形恰好可以进行平面镶嵌,则n的值是
A.3
B.4
C.5
D.6
(7)学校要铺设一个活动场地,供选用的地砖有边长相等的正多边形,为了美观,要求至少用两种不同形状的地砖铺设,同学们设计了四种方案:
①正三角形,正四边形;
②正三角形,正六边形;
③正五边形,正八边形;
④正三角形,正四边形,正六边形,你认为以上可行的方案有
(8)
一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示,若∠3=50°
,则
∠1+∠2=
(9)如图,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的和为
(8)题图(9)题图
【5】特殊三角形的性质与判定
一、等腰三角形
1、性质
①等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)
②等腰三角形的“三线合一”
2、判定
①两边相等的三角形是等腰三角形
②两角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)
二、等边三角形
1、性质:
①等边三角形的三边相等,三个角都等于60°
②三线合一
2、判定
①三边或三角相等的三角形是等边三角形
②有一个角是60°
的等腰三角形是等边三角形
三、直角三角形
1.性质
①直角三角形两个锐角互余
②直角三角形中,30°
的锐角所对的直角边等于斜边的一半
2.判定
有一个角是90°
的三角形是直角三角形
【6】角平分线、线段的垂直平分线
一、角平分线
1,性质:
∵OC平分∠AOB,PF⊥OB,PE⊥OA
∴PE=PF
2、判定:
∵PF⊥OB,PE⊥OAPE=PF
∴OC平分∠AOB
二、线段的垂直平分线
1、性质∵CD垂直平分AB
∴AC=BC
2、判定∵AC=BC,AD=BD
∴点C在AB的垂直平分线
点D在AB的垂直平分线
∴CD垂直平分AB
【例题4】
(1)等腰三角形的一边为4,一边为9,则它的周长为
(2)等腰三角形的周长为16,且边长为整数,则腰与底边分别为
A、5,6
B、6,4
C、7,2
D、以上三种情况都有可能
(3)△ABC中,AB=AC,AB边的中垂线与直线AC所成的角为50度,则∠B=
A.70B.20或70C.40或70D.20或40
(4)在等腰△ABC中,AB=AC,一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分,则这个等腰三角形的底边长为
(5)已知等腰三角形的三边分别5,2x+1,3x-4,则这个三角形的周长为
(6)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°
,则它的顶角是
(7)等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于(
)
A、顶角
B、底角
C、顶角的一半
D、底角的一半
(8)在等腰三角形ABC中,∠A与∠B度数之比为5∶2,则∠A的度数是(
A、100°
B、75°
C、150°
D、75°
或100°
(9)如图,AD∥BC,∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P,作PE⊥AB于点E.若PE=2,则两平行线AD与BC间的距离为______.
(10)如图,在△ABC中,D,E是BC边上的点,BD=AB,CE=AC,又
∠DAE=
∠BAC,则∠BAC的度数是
(11)如图,把矩形ABCD沿EF折叠,使点C落在点A处,点D落在点G处,若∠CFE=60,且DE=1,则边BC的长为
(10)题图(12)题图
(12)在直角坐标系中有一条线段AB,其中A(0,4)B(2,0),请你在坐标轴上找一点P,使△ABP成为一个等腰三角形.你能找出个符合条件的P点,并写出其中4个P的坐标.
(13难)P为等边△ABC所在平面上一点,且△PAB,△PBC,△PCA都是等腰三角形,这样的点P有_______个.
(14)如图,已知C是线段AE上的任意一点(端点除外),分别以AC、EC为边并且在AE的同一侧作等边△ACB和等边△DCE,连接AD交CB于P,连接BE交CD于Q.给出以下结论:
①AD=BE;
②∠AOE=120°
③PQ∥AE.
④△CPQ为等边三角形;
⑤△DPC≌△EQC;
⑥CO平分∠AOE;
其中正确结论的是
(15)已知Rt△ABC中,∠C=90°
,∠A=30°
,D是AB上一个动点,
DE⊥AC,F在直线AC上,且和A关于DE对称,BC=2,当
AE=时,△BFD为直角三角形
(14)题图(15)题图
(16)如图钢架中,焊上等长的13根钢条来加固钢架,若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A,则∠A的度数是
(17)∠ABD,∠ACD的n等分线相交于点G1、G2、…,若∠A=70°
∠BDC=140°
,∠BG1C=77°
,则n=.
(18)已知点O是三角形角平分线的交点,OE⊥AC
①若AB=3,AC=2,则S△ABO:
S△ACO=
②若△ABC的周长为10,OE=2,则S△ABC=
(可以变式)
(19)如图,△ABC中,AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB
求∠A的度数
(20)如图,CA=CB,DF=DB,AE=AD,求∠A的度数.
(21)如图,在△ABC中,AB=AC,BC=BD=ED=EA,求∠A的度数.
(22)如图,在△ABC中,AB=AC,AD和BE是高,它们相交于点H,且AE=BE
求证:
AH=2BD
(23)如图所示,D点在AB上,E点在AC的延长线上,且BD=CE,连接DE交BC于点F.若F点是DE的中点,试说明AB=AC
(24)△BDE是等边三角形A在BE的延长线上,C在BD的延长线上,且AD=AC,求证:
DE+DC=AE
(25)如图:
在Rt△ABC中,∠C=90°
,∠A=22.5°
,DC=BC,DE⊥AB,求证:
AE=BE.
【7】全等三角形
全等三角形的对应边相等,对应角相等,对应边上的高相等,对应中线相等,对应角平分线相等,周长相等,面积相等
一般三角形全等判定:
SSS,SAS,ASA,AAS
直角三角形全等判定:
SSS,SAS,ASA,AAS,HL
全等三角形判定没有:
SSA,AAA,在应用全等三角形判定时,应注意‘对应’
【例题5】
(1)在平面直角坐标系中,△AOC的顶点A的坐标为(0,1),点C的坐
标为(4,3),如果要使△AOB和△AOC全等那么点B的坐标为 _____
(2)如图,在方格纸中,以AB为一边作△ABP,使之与△ABC全等,从P1,P2,P3,P4四个点中找出符合条件的点P,则点P有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
(3)已知:
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=DC,CF平分∠BCD,DF∥AB,BF的延长线交DC于点E.求证:
(1)△BFC≌△DFC;
(2)AD=DE.
(4)如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AB上,且BD=AE,AD与CE交于点F.
(1)求证:
AD=CE;
(2)求∠DFC的度数.
(5)如图,已知等边△ABC,P在AC延长线上一点,以PA为边作等边△APE,EC延长线交BP于M,连接AM,求证:
(1)BP=CE;
(2)试证明:
EM-PM=AM.
∙
【8】常添辅助线
1.遇角平分线
①截取法:
如图:
△ABC中,BC>
BA,∠1=∠2,可以作在BC上截取BE=BA,连接DE
(目的是构造全等三角形)
【例题1】已知:
如图,AC∥BD,AE,BE分别平分∠CAB,∠DBA,CD过点E.
AB=AC+BD.
【例题2】已知在△ABC中,,∠BAC的角平分线交BC于D,AB+BD=AC,如果∠C=30°
,请判断△ABC的形状,并说明理由
②垂直法:
如图:
已知∠ABC中,∠1=∠2,可以作PD⊥BA于D,PE⊥BC于E,(目的构造三角形全等)
【例题3】如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,E,F分别为AB,AC上的点,且∠EDF+∠BAF=180°
DE=DF
(2)若把最后一个条件改为AE>
AF,且∠AED+∠AFD=180°
,那么结论还成立吗?
【例题4】已知:
如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,且
∠B+∠D=180°
求证:
AE=AD+BE.
③延长法:
已知∠1=∠2,CD⊥BD于D,可以作延长CD交BA于D
(目的是构造全等三角形)
【例题5】已知△ABC中,∠BAC=3∠B,AD⊥CD于D,CD平分∠ACB,求证:
CB-AC=2AD
2.遇线段a=b+c常添截长或补短
【例题6】如图,已知△ABC中,AD⊥BC于D,AD=CD+AC,∠B=25°
,求∠BAC的度数
3.遇中线常添延长中线到一倍
【例题6】如图点D是BC的中点,可以添延长AD到E,使DE=AD,连接BE,(目的是构造全等三角形)
【例题7】如图△ABC中D是BC的中点,E在AD上,∠BED=∠CAD,试判断线段AC与BE的数量关系,并说明理由
4.遇中垂线常连接中垂线的点和线段的两个端点
MN垂直平分线段AB,点P是MN上一点,可以作:
连接PA、PB
【例题8】:
如图△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°
,DE垂直平分AC,垂足为D,交BC与点E,是猜想BE与CE的数量关系,并说明理由
5.遇等腰三角形常添:
三线中的一线
【例题9】在等腰直角三角形ABC中,AC=BC,以斜边AB为一边作等边三角形ABD使C、D在AB同侧,再以CD为一边作等边三角形CDE,使点C、E在AD的异侧,若AE=1,求CD的长。
6.遇等腰三角形、等边三角形、正方形可以考虑旋转
遇大角中有一个角等于大角的一半,要考虑旋转
【例题10】在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为△ABC外一点,且∠MDN=60°
,∠BDC=120°
,BD=DC.探究:
当M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系.
(1)如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是___;
此时
=___;
(2)如图2,点M、N边AB、AC上,且当DM≠DN时,猜想
(1)问的两个结论还成立吗?
写出你的猜想并加以证明;
(3)如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,若AN=x,则Q=___
(用x、L表示).
【例题11】已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°
,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N,AH⊥MN于点H。
(1)如图①,当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时,请你直接写出AH与AB的数量关系:
;
(2)如图②,当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,
(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗?
如果不成立请写出理由.如果成立请证明;
(3)如果AB=5,则△MNC的周长为
【9】常见图形的常见结论
风筝图:
∠D=∠A+∠B+∠C对顶三角形:
∠E+∠F=∠G+∠H
AD是高,AE是角平分线,
∠1=
(∠C-∠B)(∠C>
∠B) ∠1+∠2=2∠P ∠1-∠2=2∠C
∠BOC=
(两内)∠BOC=
(两外)
∠P=
(一内一外)
【10】最值问题