寒假综合检测讲义Word文档格式.docx

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即面积的最大值为，此时是边长为2的正三角形．

【练习1】【2018年闵行区一模】

（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）

已知函数（其中）．

（1）若函数的最小正周期为,求的值，并求函数的单调递增区间；

（2）若，，且，求的值

（1）.

由函数的周期，解得.………………3分

∴，由得

………………6分

的单调递增区间（）．………………7分

（2）∵得………………9分

又∵，，………………11分

∴即．………………14分

【2】【解析几何专题】

【例2】【2018年浦东新区一模】

（本题满16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）

已知椭圆的左、右焦点分别为；

设点，在中，

，周长为.

（1）求椭圆方程；

（2）设不经过点的直线与椭圆相交于两点.若直线与的

斜率之和为，求证：

直线过定点，并求出该定点的坐标；

（3）记第

（2）问所求的定点为，点为椭圆上一个动点，试根据面积的不同取值范围，

讨论存在的个数，并说明理由.

（1）由得：

，所以………①

又周长为，所以………②

解①②方程组，得所以椭圆方程为………………………4分

（2）设直线方程：

，交点

………………………1分

…………………………1分

………………………………………1分

依题：

即：

…………………………1分

………1分

过定点…………………………………………1分

（3），………………………1分

设直线与椭圆相切，

……………………1分

得两切线到的距离分别为

………1分

当时，个数为0个当时，个数为1个

当时，个数为2个当时，个数为3个

当时，个数为4个……………………3分

【练习2】【2018年徐汇区一模】

（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，且、与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆上，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线、分别交椭圆于、、、，且、分别是弦、的中点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求证：

直线过定点；

（3）求面积的最大值．

【解】

（1）因为是等腰直角三角形，所以，则，把点代入椭圆方程，得，，故椭圆的标准方程为-------------4分

（2）设直线的方程为，

不妨设，点、

由，得，

则，，则------------------7分

解法一、

所以，故直线恒过定点．----------------------------------10分

解法二、同理，可得，

所以直线的方程为

即，故直线恒过定点．10分

（3），同理

面积=，设，

，当且仅当即时，面积取最大值．16分

【3】【数列专题】

【例3】【2018年杨浦区一模】

（本题满分18分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）

若数列：

，，…，（）中（）且对任意的，

恒成立，则称数列为“数列”．

（1）若数列，，，为“数列”，写出所有可能的，；

（2）若“数列”：

，，…，中，，，求的最大值；

（3）设为给定的偶数，对所有可能的“数列”：

，，…，，记，其中表示，，…，这个数中最大的数，求的最小值．

（1）x=1时，，所以y=2或3；

x=2时，，所以y=4；

时，无整数解。

所以所有可能的x，y为，或 ……3分

（2）的最大值为，理由如下 ……4分

一方面，注意到：

对任意的，令，则且（），

故对任意的恒成立． （★）

当，时，注意到，

得（）

即，此时

（★★）

即，解得：

，故……7分

另一方面，为使（**）取到等号，所以取（），

则对任意的，，故数列为“数列”，

此时由（★★）式得，

所以，即符合题意．

综上，的最大值为65． ………9分

（3）的最小值为，证明如下：

………10分

当（，）时，

一方面：

由（★）式，，

．此时有：

即，故

因为，所以…………15分

另一方面，当，，…，，，，

时，

取，则，，，

且，

此时．

综上，的最小值为． ……18分

【练习3】【2018年黄浦区一模】

（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

定义运算“”：

对于任意，（）（等式的右边是通常的加减乘运算）．

若数列的前项和为，且对任意都成立．

（1）求的值，并推导出用表示的解析式；

（2）若，令，证明数列是等差数列；

（3）若，令，数列满足，求正实数的取值范围．

解

（1），，，.令，得，∴．

当时，有．∴．

∴．

证明

（2），，，∴，．

　　　　　∴．∴数列是以首项为、公差为的等差数列．

解（3）结合

（1），且，，，∴，即．

.　当时，，此时，，总是满足；

　当时，，此时，是等比数列．

∴．∴．

　若时，数列是单调递增数列，且时，，不满足．

　若时，，数列是单调递减数列，故.

又，同样恒有成立；

　若时，，数列是单调递增数列，.

由，即此时当时，满足.

综上，所求实数的取值范围是.

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