三年级奥数暑假复习讲义(学生版).doc

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三年级奥数暑假复习讲义

【课程说明】

由于培优大纲顺序和本课程顺序不同，所以在学习此课程时，有些讲次安排打乱了，重新排序不会影响知识点的学习。

【课程目标】

提升兴趣

※激发学生学习的主动性，乐于思考，乐于学习

培养习惯

※传授给学生正确的数学学习习惯，解题习惯

收获成绩

※通过正确的引导帮助孩子提高成绩，积累成就感和自信心

目录

第一讲高斯求和

第二讲找简单数列的规律

第三讲上楼梯问题

第四讲植树与方阵问题

第五讲归一问题

第六讲平均数问题

第七讲和倍问题

第八讲差倍问题

第九讲和差问题

第十讲年龄问题

第十一讲鸡兔同笼问题

第十二讲盈亏问题

第十三讲巧求周长

第一讲高斯求和

德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：

1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？

老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。

高斯为什么算得又快又准呢？

原来小高斯通过细心观察发现：

1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

　　1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。

于是，小高斯把这道题巧算为

　（1+100）×100÷2＝5050。

小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。

后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。

例如：

（1）1，2，3，4，5，…，100；

（2）1，3，5，7，9，…，99；

（3）8，15，22，29，36，…，71。

其中

（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；

（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；

（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。

由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：

和=（首项+末项）×项数÷2。

【典型例题】

例1、1＋2＋3＋…＋1999＝？

例2、11＋12＋13＋…＋31＝？

例3、3＋7＋11＋…＋99＝？

例4、求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。

例5、在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。

问：

（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？

（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？

例6、盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。

这时盒子里共有多少只乒乓球？

 练习

　1.计算下列各题：

（1）2＋4＋6＋…＋200；

（2）17＋19＋21＋…＋39；

（3）5＋8＋11＋14＋…＋50；（4）3＋10＋17＋24＋…＋101。

2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。

3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。

4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。

问：

时钟一昼夜敲打多少次？

5.求100以内除以3余2的所有数的和。

6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？

　第二讲找简单数列的规律

这一讲我们先介绍什么是“数列”，然后讲如何发现和寻找“数列”的规律。

　　按一定次序排列的一列数就叫数列。

例如，

（1）1，2，3，4，5，6，…

（2）1，2，4，8，16，32；

（3）1，0，0，1，0，0，1，…

（4）1，1，2，3，5，8，13。

　　一个数列中从左至右的第n个数，称为这个数列的第n项。

如，数列

（1）的第3项是3，数列

（2）的第3项是4。

一般地，我们将数列的第n项记作an。

　　数列中的数可以是有限多个，如数列

（2）（4），也可以是无限多个，如数列

（1）（3）。

　　许多数列中的数是按一定规律排列的，我们这一讲就是讲如何发现这些规律。

　　数列

（1）是按照自然数从小到大的次序排列的，也叫做自然数数列，其规律是：

后项=前项+1，或第n项an＝n。

　　数列

（2）的规律是：

后项=前项×2，或第n项

　　数列（3）的规律是：

“1，0，0”周而复始地出现。

　　数列（4）的规律是：

从第三项起，每项等于它前面两项的和，即

　　a3=1+1=2，a4=1+2=3，a5=2+3＝5，

　　a6=3+5=8，a7=5+8=13。

　　常见的较简单的数列规律有这样几类：

　　第一类是数列各项只与它的项数有关，或只与它的前一项有关。

例如数列

（1）

（2）。

　　第二类是前后几项为一组，以组为单元找关系才可找到规律。

例如数列（3）（4）。

　　第三类是数列本身要与其他数列对比才能发现其规律。

这类情形稍为复杂些，我们用后面的例3、例4来作一些说明。

【典型例题】

例1找出下列各数列的规律，并按其规律在（）内填上合适的数：

（1）4，7，10，13，（），…

（2）84，72，60，（），（）；

（3）2，6，18，（），（），…

（4）625，125，25，（），（）；

（5）1，4，9，16，（），…

（6）2，6，12，20，（），（），…

例2找出下列各数列的规律，并按其规律在（）内填上合适的数：

（1）1，2，2，3，3，4，（），（）；

（2）（），（），10，5，12，6，14，7；

（3）3，7，10，17，27，（）；

（4）1，2，2，4，8，32，（）。

例3找出下列各数列的规律，并按其规律在（）内填上合适的数：

（1）18，20，24，30，（）；

（2）11，12，14，18，26，（）；

（3）2，5，11，23，47，（），（）。

例4找出下列各数列的规律，并按其规律在（）内填上合适的数：

（1）12，15，17，30，22，45，（），（）；

（2）2，8，5，6，8，4，（），（）。

练习

1、按其规律在下列各数列的（）内填数。

　　1.56，49，42，35，（）。

　　2.11，15，19，23，（），…

　　3.3，6，12，24，（）。

　　4.2，3，5，9，17，（），…

　　5.1，3，4，7，11，（）。

　　6.1，3，7，13，21，（）。

　　7.3，5，3，10，3，15，（），（）。

　　8.8，3，9，4，10，5，（），（）。

　　9.2，5，10，17，26，（）。

　　10.15，21，18，19，21，17，（），（）。

　　11.数列1，3，5，7，11，13，15，17。

（1）如果其中缺少一个数，那么这个数是几？

应补在何处？

（2）如果其中多了一个数，那么这个数是几？

为什么？

2、观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.

　　①2，5，8，11，（），17，20。

　　②19，17，15，13，（），9，7。

　　③1，3，9，27，（），243。

　　④64，32，16，8，（），2。

　　⑤1，1，2，3，5，8，（），21，34…

　　⑥1，3，4，7，11，18，（），47…

　　⑦1，3，6，10，（），21，28，36，（）.

　　⑧1，2，6，24，120，（），5040。

　　⑨1，1，3，7，13，（），31。

　　⑩1，3，7，15，31，（），127，255。

　　（11）1，4，9，16，25，（），49，64。

　　（12）0，3，8，15，24，（），48，63。

　　（13）1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）.

　　（14）2，1，4，3，6，9，8，27，10，（）.

3、按一定的规律在括号中填上适当的数：

　　1.1，2，3，4，5，（），7…

　　2.100，95，90，85，80，（），70

　　3.1，2，4，8，16，（），64

　　5.2，1，3，4，7，（），18，29，47

　　6.1，2，5，10，17，（），37，50

　　7.1，8，27，64，125，（），343

8.1，9，2，8，3，（），4，6，5，5

第三讲上楼梯问题

有这样一道题目：

如果每上一层楼梯需要1分钟，那么从一层上到四层需要多少分钟？

如果你的答案是4分钟，那么你就错了.正确的答案应该是3分钟。

　　为什么是3分钟而不是4分钟呢？

原来从一层上到四层，只要上三层楼梯，而不是四层楼梯。

　　下面我们来看几个类似的问题。

　　例1、裁缝有一段16米长的呢子，每天剪去2米，第几天剪去最后一段？

　　例2、一根木料在24秒内被切成了4段，用同样的速度切成5段，需要多少秒？

　　例3、三年级同学120人排成4路纵队，也就是4个人一排，排成了许多排，现在知道每相邻两排之间相隔1米，这支队伍长多少米？

　　例4、时钟4点钟敲4下，12秒钟敲完，那么6点钟敲6下，几秒钟敲完？

　　例5、某人要到一座高层楼的第8层办事，不巧停电，电梯停开，如从1层走到4层需要48秒，请问以同样的速度走到八层，还需要多少秒？

　　例6、晶晶上楼，从1楼走到3楼需要走36级台阶，如果各层楼之间的台阶数相同，那么晶晶从第1层走到第6层需要走多少级台阶？

习题

1.一根木料截成3段要6分钟，如果每截一次的时间相等，那么截7段要几分钟？

2.有一幢楼房高17层，相邻两层之间都有17级台阶，某人从1层走到11层，一共要登多少级台阶？

3.从1楼走到4楼共要走48级台阶，如果每上一层楼的台阶数都相同，那么从1楼到6楼共要走多少级台阶？

4.一座楼房每上1层要走16级台阶，到小英家要走64级台阶，小英家住在几楼？

5.一列火车共20节，每节长5米，每两节之间相距1米，这列火车以每分钟20米的速度通过81米长的隧道，需要几分钟？

6.时钟3点钟敲3下，6秒钟敲完，12点钟敲12下，几秒钟敲完？

7.某人到高层建筑的10层去，他从1层走到5层用了100秒，如果用同样的速度走到10层，还需要多少秒？

8.A、B二人比赛爬楼梯，A跑到4层楼时，B恰好跑到3层楼，照这样计算，A跑到16层楼时，B跑到几层楼？

9.铁路旁每隔50米有一根电线杆，某旅客为了计算火车的速度，测量出从第一根电线杆起到经过第37根电线杆共用了2分钟，火车的速度是每秒多少米？

第四讲植树与方阵问题

一、植树问题

要想了解植树中的数学并学会怎样解决植树问题，

首先要牢记三要素：

①总路线长.②间距（棵距）长.③棵数.

只要知道这三个要素中任意两个要素.就可以求出第三个。

关于植树的路线，有封闭与不封闭两种路线。

1.不封闭路线

例：

如图

①若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1.如上图把总长平均分成5段，但植树棵数是6棵。

全长、棵数、株距三者之间的关系是：

棵数=段数+1=全长÷株距+1

全长=株距×（棵数-1）

株距=全长÷（棵数-1）

②如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少1，即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之间的关系就为：

全长=株距×棵数；

棵数=全长÷株距；

株距=全长÷棵数。

③如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比②中还少1棵。

棵数=段数-1=全长÷株距-1.

如右图所示.段数为5段，植树棵数为4棵。

株距=全长÷（棵数+1）。

2.封闭的植树路线

例如：

在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数。

如右图所示。

棵数=段数=周长÷株距.

二、方阵问题

学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列.如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。

方阵的基本特点是：

①方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同.

每向里一层，每边上的人数就少2。

②每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系：

四周人（或物）数=[每边人（或物）数-1]×4；

每边人（或物）数=四周人（或物）数÷4＋1。

③中实方阵总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）数。

【典型例题】

例1、有一条公路长900米，在公路的一侧从头到尾每隔10米栽一根电线杆，可栽多少根电线杆？

例2、马路的一边每相隔9米栽有一棵柳树.张军乘汽车5分钟共看到501棵树.问汽车每小时走多少千米？

例3、某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人？

这个方阵共有五年级学生多少人？

例4、晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？

例5、一个圆形花坛，周长是180米.每隔6米种一棵芍药花，每相邻的两棵芍药花之间均匀地栽两棵月季花.问可栽多少棵芍药？

多少棵月季？

两棵月季之间的株距是多少米？

例6、一个街心花园如右图所示.它由四个大小相等的等边三角形组成.已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花.问大三角形边上栽有多少棵花？

整个花园中共栽多少棵花？

习题1

1.一个圆形池塘，它的周长是150米，每隔3米栽种一棵树.问：

共需树苗多少株？

2.有一正方形操场，每边都栽种17棵树，四个角各种1棵，共种树多少棵？

3.在一条路上按相等的距离植树.甲乙二人同时从路的一端的某一棵树出发.当甲走到从自己这边数的第22棵树时，乙刚走到从乙那边数的第10棵树.已知乙每分钟走36米.问：

甲每分钟走多少米？

4.在一根长100厘米的木棍上，从左向右每隔6厘米点一个红点.从右向左每隔5厘米点一个红点，在两个红点之间长为4厘米的间距有几段？

练习2

一、填空题

1.在相距100米的两楼之间栽树,每隔10米栽1棵,共栽了棵树.

2.圆形滑冰场周长400米,每隔20米装一盏灯,共要装盏灯.

3.一段公路长3600米,在公路两旁每隔9米栽一棵梧桐树,两端都栽,共栽梧桐树棵.

4.在一个半径是125米的圆形花园周围以等距离种白杨树157棵,则两树间的距离是米.

5.一个湖泊周长1800米,沿湖泊周围每隔3米栽一棵柳树,每两棵柳树中间栽一棵桃树,湖泊周围栽柳树棵,栽桃树棵.

6.一块三角形地,三边之长分别为156米、234米、186米,要在三边上植树,株距6米,三个角上各有一棵,共植树棵.

7.一条马路长440米,在路的两旁每隔8米种一棵树,两边都种,共种棵树.

8.两棵柳树相距408米,计划在这两棵树之间补栽小树23棵,每两棵树间隔相等,则树的间隔

米.

9.公路的每边相隔7米有一棵槐树,芳芳乘电车3分钟看到公路的一边有槐树151棵,电车的速度是每分钟米.

10.国庆节接受检阅的一列车队共52辆,每辆车长4米,前后每辆车相隔6米,车队每分钟行驶105米.这列车队要通过536米长的检阅场地,要分钟.

二、解答题

11.参加阅兵的战士有1200人,平均分成5个大队,队距是7.5米.每队6人为一排,排距是2米.整个队伍的总长有多少米.

12.锯一条4米长的圆柱形的钢条,锯5段耗时1小时20分.如果把这样的钢条锯成半米长的小段,需要多少分钟.

13.一人以相等的速度在小路上散步,从第一棵树走到第12棵树用了11分钟,如果这个人走了25分钟,应走到的第几棵树.

14.在一个正方形的场地四周种树,四个顶点都有一棵,这样每边都种有24棵,四周共种多少棵树.

第五讲归一问题和归总问题

　　为什么把有的问题叫归一问题？

我国珠算除法中有一种方法，称为归除法.除数是几，就称几归；除数是8，就称为8归.而归一的意思，就是用除法求出单一量，这大概就是归一说法的来历吧！

归一问题有两种基本类型.一种是正归一，也称为直进归一.

如：

一辆汽车3小时行150千米，照这样，7小时行驶多少千米？

另一种是反归一，也称为返回归一.

如：

修路队6小时修路180千米，照这样，修路240千米需几小时？

正、反归一问题的相同点是：

一般情况下第一步先求出单一量；不同点在第二步.正归一问题是求几个单一量是多少，反归一是求包含多少个单一量。

【典型例题】

　　例1、一只小蜗牛6分钟爬行12分米，照这样速度1小时爬行多少米？

　　例2、一个粮食加工厂要磨面粉20000千克.3小时磨了6000千克.照这样计算，磨完剩下的面粉还要几小时？

　　例3、学校买来一些足球和篮球.已知买3个足球和5个篮球共花了281元；买3个足球和7个篮球共花了355元.现在要买5个足球、4个篮球共花多少元？

　　例4、一个长方体的水槽可容水480吨.水槽装有一个进水管和一个排水管.单开进水管8小时可以把空池注满；单开排水管6小时可把满池水排空.两管齐开需多少小时把满池水排空？

例5、7辆“黄河牌”卡车6趟运走336吨沙土.现有沙土560吨，要求5趟运完，求需要增加同样的卡车多少辆？

　　例6、某车间要加工一批零件，原计划由18人，每天工作8小时，7.5天完成任务.由于缩短工期，要求4天完成任务，可是又要增加6人.求每天加班工作几小时？

　　例7、甲、乙两个打字员4小时共打字3600个.现在二人同时工作，在相同时间内，甲打字2450个，乙打字2050个.求甲、乙二人每小时各打字多少个？

与归一问题类似的是归总问题，归一问题是找出“单一量”，而归总问题是找出“总量”，再根据其它条件求出结果。

所谓“总量”是指总路程、总产量、工作总量、物品的总价等。

例8一项工程，8个人工作15时可以完成，如果12个人工作，那么多少小时可以完成？

例9一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行60千米，5时到达。

若要4时到达，则每小时需要多行多少千米？

例10修一条公路，原计划60人工作，80天完成。

现在工作20天后，又增加了30人，这样剩下的部分再用多少天可以完成？

练习

1．2台拖拉机4时耕地20公顷，照这样速度，5台拖拉机6时可耕地多少公顷？

2．4台织布机5时可以织布2600米，24台织布机几小时才能织布24960米？

3．一种幻灯机，5秒钟可以放映80张片子。

问：

48秒钟可以放映多少张片子？

4．3台抽水机8时灌溉水田48公顷，照这样的速度，5台同样的抽水机6时可以灌溉水田多小公顷？

5．平整一块土地，原计划8人平整，每天工作7.5时，6天可以完成任务。

由于急需播种，要求5天完成，并且增加1人。

问：

每天要工作几小时？

6．食堂管理员去农贸市场买鸡蛋，原计划按每千克3.00元买35千克。

结果鸡蛋价格下调了，他用这笔钱多买了2.5千克鸡蛋。

问：

鸡蛋价格下调后是每千克多少元？

7．锅炉房按照每天4.5吨的用量储备了120天的供暖煤。

供暖40天后，由于进行了技术改造，每天能节约0.9吨煤。

问：

这些煤共可以供暖多少天？

8.花果山上桃树多，6只小猴分180棵.现有小猴72只，如数分后还余90棵，请算出桃树有几棵？

9.5箱蜜蜂一年可以酿75千克蜂蜜，照这样计算，酿300千克蜂蜜要增加几箱蜜蜂？

10.4辆汽车行驶300千米需要汽油240公升.现有5辆汽车同时运货到相距800千米的地方，汽油只有1000公升，问是否够用？

11.5台拖拉机24天耕地12000公亩.要18天耕完54000公亩土地，需要增加同样拖拉机多少台？

第六讲平均数问题

求平均数问题是小学学习阶段经常接触的一类典型应用题，如“求一个班级学生的平均年龄、平均身高、平均分数……”。

平均数问题包括算术平均数、加权平均数、连续数和求平均数、调和平均数和基准数求平均数。

解答这类应用题时，主要是弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系，根据总数除以它相对应的份数，求出一份数，即平均数。

【典型例题】

一、算术平均数

例1、用4个同样的杯子装水，水面高度分别是4厘米、5厘米、7厘米和8厘米，这4个杯子水面平均高度是多少厘米？

【巩固练习】

1、一小组六个同学在某次数学考试中，分别为98分、87分、93分、86分、88分、94分。

他们的平均成绩是多少？

例2、蔡琛在期末考试中，政治、语文、数学、英语、生物五科的平均分是89分.政治、数学两科的平均分是91.5分.语文、英语两科的平均分是84分.政治、英语两科的平均分是86分，而且英语比语文多10分.问蔡琛这次考试的各科成绩应是多少分？

【巩固练习】

1、小敏期末考试，数学92分，语文90分，英语成绩比这三门的平均成绩高4分。

问：

英语得了多少分？

二、加权平均数

例3、果品店把2千克酥糖，3千克水果糖，5千克奶糖混合成什锦糖.已知酥糖每千克4.40元，水果糖每千克4.20元，奶糖每千克7.20元.问：

什锦糖每千克多少元？

我们把上述这种平均数问题叫做“加权平均数”.例3中的5.74元叫做4.40元、4.20元、7.20元的加权平均数.2千克、3千克、5千克这三个数很重要，对什锦糖的单价产生不同影响，有权衡轻重的作用，所以这样的数叫做“权数”