四年级奥数教程(三)植树问题.doc

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课题植树问题

本讲知识点

要想了解植树中的数学并学会怎样解决植树问题，首先要牢记三要素：

①总路线长、②间距（棵距）长、③棵数、只要知道这三个要素中任意两个要素.就可以求出第三个。

1、不封闭路线

①若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1.

全长、棵数、株距三者之间的关系是：

棵数=段数+1=全长÷株距+1

全长=株距×（棵数-1）株距=全长÷（棵数-1）

②如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少1，即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之间的关系就为：

全长=株距×棵数；棵数=全长÷株距；株距=全长÷棵数。

③如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比②中还少1棵。

棵数=段数–1=全长÷株距-1株距=全长÷（棵数+1）。

2、封闭的植树路线棵数=段数=周长÷株距.

3、方阵问题

学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列.如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。

方阵的基本特点是：

①方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同.每向里一层，每边上的人数就少2。

②每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系：

四周人（或物）数=[每边人（或物）数-1]×4；

每边人（或物）数=四周人（或物）数÷4＋1。

③中实方阵总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）数。

教学目标

1、理解并掌握两类植树问题：

封闭线路；不封闭线路

2、理解并掌握与植树问题很接近的打钟、爬楼梯问题

3、理解并掌握方阵中层数、每边人数、总人数之间的关系

教学重难点

重点：

两类植树问题，方阵问题

难点：

方阵中层数、每边人数、总人数之间的关系

教学过程

植树问题和方阵问题在新人教版教材上属于数学广角的内容，在一般考试中，该类题型的分值往往比较低，但是不是说这类问题就没有其研究的必要了呢？

回答是否定的，我们认为植树问题和方阵是我们日常生活中最为常见的一类实际数学题，它把数学来源于生活并用于生活阐述的非常明确，因此，它不只有研究的必要，并且对培养我们的数学思维有很大的帮助。

此处的学习要求我们时刻保持清醒的头脑，去发现问题中的巧妙之处。

一、不封闭路线的植树问题

经典例题

例1有一条公路长900米，在公路的一侧从头到尾每隔10米栽一根电线杆（两端要栽），问需栽多少根电线杆？

分析：

要以两颗电线杆之间的距离作为分段标准，公路全长可分为若干段，由于公路两端都要求栽杆，所以电线杆的根数比分成的段数多1

解：

以10米为一段，公路全长可以分成

900÷10=90（段）

共需电线杆根数：

90+1=91（根）

答：

需栽电线杆91根。

说明：

本题属于不封闭线路，且两端要栽的情况，参见本章知识点1-①

例2、马路一边每相隔9米栽有一棵柳树.从第一棵树记起，张军乘汽车5分钟共看到501棵树.问汽车每小时走多少千米？

分析先要弄清楚它是属于哪一类问题，其次，我们要弄清楚此题告诉了我们哪些条件，与最后的问题有什么关联。

由题意，我们看的出最终要求的是车的速度，关于车的量我们已经知道了时间，利用速度=路程÷时间，我们不难发现，只要求出汽车5分钟行走的路程即可。

路程从哪来？

从树来，张军5分钟看到501棵树就意味着5分钟车行驶路程即为第1棵树到第501棵树的距离，只要求出这段路的长度就容易求出汽车速度.

解：

5分钟汽车共走：

9×（501-1）=4500（米）

汽车每分钟走：

4500÷5=900（米）

汽车每小时走：

900×60=54000（米）=54（千米）

列综合算式为：

9×（501-1）÷5×60÷1000=54（千米）

答：

汽车每小时走54千米.

说明：

本题属于不封闭线路，且两端要栽的情况，参见本章知识点1-①

练习：

1、植树节到了，同学们在教学楼跟科技楼的主干道两边种起了树苗，在道路一边他们共栽树49棵，树的间隔是2米，现在要改为只栽24棵，间隔应改为多少米？

（考虑清楚两端要栽树吗？

）

2、晚饭后，晓彤跟妈妈去河边树荫散步，从第一棵树记起，晓彤数到第10棵时，用去时间9分钟，河边从头到尾共有50棵树，每相邻2棵树之间的距离是30米，问：

晓彤跟妈妈走到河尽头再返回共需多久？

二、打钟、爬楼、锯木头问题

此类问题与不封闭线路的栽树问题有异曲同工之妙，我们主要是要弄清楚，打钟时，打2次，中间只有1个间隔，打3次，有2个间隔……

爬楼时，从一楼到二楼，我们只爬了一个楼梯段，从一楼到三楼，我们爬了二个楼梯段……

锯木头时，锯一次就可以把木头锯成两段，锯两次可以把木头锯成三段……

搞清楚以上事实，我们的做题将变得明朗。

经典例题

例3、一根木头长10米，要把它分成5段，每锯下一段需要8分钟，锯完一共要花多少时间？

分析：

把木头分成5段到底需要锯几次呢？

？

我们可以画图演示

画图区：

解：

由上图我们不难发现，分成5段实际只要锯4次，所以总用时为

4×8=32（分）

答：

锯完一共要花32分钟。

说明：

此题中出现的木头长10米，并没有用到。

练习：

1、广场上的大钟每个小时都会打响，指针一点时打一响，指针两点时打两响，指针三点时打三响……指针十二点时打十二响，每响的间隔相同，小强发现三点时打三响的总时间是6秒，你会求五点时打五响要用几秒吗？

十点呢？

一天24小时打24次响总共要花多少时间呢？

2、小胖和小红都住在腾龙花园1栋，小胖家住7楼，小红家住3楼，小红回家爬楼梯需要4分钟，小胖的速度是小红的2倍，那么小胖回家爬楼要花多少时间呢？

三、封闭线路的栽树问题

封闭线路在考试中多出在圆形轨道的问题上，多边形轨道上。

经典例题

1、一个圆形花坛边上，每隔4米摆一盆兰花，在每两盆兰花中间再夹杂放一盆菊花，花坛一周长100米，问需要多少盆兰花，多少盆菊花？

分析：

此题的难点不在兰花，而在菊花，兰花的盆数我由本讲知识点2可很快得出

关键我们要清楚每两盆兰花中间再夹杂一盆菊花是什么意思，每两盆兰花其实就是一个间隔，那么每两盆兰花中间放一盆菊花，即每个间隔放一盆菊花，先求间隔。

解：

兰花数：

100÷4=25（棵）

菊花数：

25棵兰花有25个间隔，每个间隔放一盆菊花，所以菊花数也为25.

答：

需要兰花、菊花各25盆。

2、一个五边形花坛周长20米，在其边上，每隔2米放一盆花做装饰，角上要放，总共要几盆花？

分析：

直接利用本章本讲知识点2进行求解

解：

20÷2=10（盆）

答：

共需10盆.

练习

在一个正6边形花坛边上均匀摆花，角上要摆，每边摆4盆，每两盆之间的间隔是20厘米，求总共摆了多少盆花，这个六边形花坛周长是多少？

四、方阵

方阵，顾名思义就是一个正方形的队列，它的基本特点是：

①方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同.每向里一层，每边上的人数就少2。

②每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系：

四周人（或物）数=[每边人（或物）数-1]×4；

每边人（或物）数=四周人（或物）数÷4＋1。

③中实方阵总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）数。

经典例题

例1、某校四年级学生排成一个实心方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人？

这个方阵共有四年级学生多少人？

分析根据四周人数和每边人数的关系可以知：

每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。

解：

方阵最外层每边人数：

60÷4＋1=16（人）

整个方阵共有学生人数：

16×16=256（人）

答：

方阵最外层每边有16人，此方阵中共有256人。

说明：

做方阵的题目只要我们把握住了每边人数和四周人数的关系就能很巧妙快速的解答出来了。

例2、晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？

分析方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个，就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。

解：

最外边一层棋子个数：

（14-1）×4=52（个）

第二层棋子个数：

（14-2-1）×4=44（个）

第三层棋子个数：

（14-2×2-1）×4=36（个）.

摆这个方阵共用棋子：

52+44＋36＝132（个）

还可以这样想：

中空方阵总个数=（每边个数一层数）×层数×4进行计算。

解：

（14-3）×3×4=132（个）

答：

共用围棋子132个.

练习

1、四年级2个班共有学生100人，运动会上，要排成一个_____×____方阵。

2、学校在楼前摆了一个实心方阵花坛，这个花坛的最外层每边各摆放8盆花，那么，这个方阵共有______层，最外层有______盆花，一共有______盆花

五、小结

本讲主要讲述了生活中常见的栽树问题，方阵问题，详细资料见首页。

六、家庭作业

1、从王村到李村一共设有16根高压电线杆，相邻两根的距离是200米，王村到李村大约有多远？

2、在一条全长2千米的街道的两旁安装路灯（两端也要安），每隔50米安一座。

一共要安装多少座路灯？

3、有一正方形操场，每边都栽种17棵树，四个角各种1棵，共种树多少棵？

4、在一条路上按相等的距离植树.甲乙二人同时从路的一端的某一棵树出发.当甲走到从自己这边数的第22棵树时，乙刚走到从乙那边数的第8棵树.已知乙每分钟走36米.问：

甲每分钟走多少米？

5、一个圆形花坛，周长是180米.每隔6米种一棵芍药花，每相邻的两棵芍药花之间均匀地栽两棵月季花.问可栽多少棵芍药？

多少棵月季？

两棵月季之间的株距是多少米？

6、一个街心花园如右图所示.它由四个大小相等的等边三角形组成.已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花.问大三角形边上栽有多少棵花？

整个花园中共栽多少棵花？

7、一列火车共20节，每节长5米，每两节之间相距1米，这列火车以每分钟20米的速度通过81米长的隧道，需要几分钟？

8、某人要到一座高层楼的第8层办事，不巧停电，电梯停开，如从1层走到4层需要48秒，请问以同样的速度走到八层，还需要多少秒？

9、晶晶上楼，从1楼走到3楼需要走36级台阶，如果各层楼之间的台阶数相同，那么晶晶从第1层走到第6层需要走多少级台阶？

10、A、B二人比赛爬楼梯，A跑到4层楼时，B恰好跑到3层楼，照这样计算，A跑到19层楼时，B跑到几层楼？

11、铁路旁每隔50米有一根电线杆，某旅客为了计算火车的速度，测量出从第一根电线杆起到经过第37根电线杆共用了2分钟，火车的速度是每秒多少米？

12、学校开展赏花节，用100盆红花摆了一个实心方阵，计划再在外面接着用黄花摆了5层，问需要黄花多少盆？