工程数学线性代数同济大学第六版课后习题答案全Word文档下载推荐.docx

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其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和

42

所以含因子aiia23的项分别是

t1

（1）aiia23a32a44

（1）aiia23a32a44aiia23a32a44

t2

（1）ana23a34a42

（1）ana23a34a42ana23a34a42

4计算下列各行列式

102

123

41

o

X—

o4

1210

4207

2021

1251

41100

1

2021

1230

41wo

577

4207

2021

1251

024

90仃

Q-C3

1-2GG0241234110

1122

4236

1120

2315

020o

4234

1121

2312

q

LT

0202

4236

1120

2315

C2

1122

角

0200

4230

2310

ab

ac

ae

bd

cd

de

bf

cf

ef

11

adfbce11

4abcdef

oo1d

O1C1

1b1Oa1oo

oo1da1C1b

ab1o

O1ooa

1b1O

a1oo

1aba

1）211c

01

Qdc21abaad

1c1cd010

（1）

（1）321

abad

11cd

abcdabcdad1

b

e

adf

5证明:

T—

2b

b21

2a

scc

■D21

r2a1

2）

2-b2

aa

bb

^1

3

a22a

aba2b2a2

ba2b2a

00

（ba）（ba）ib2a（ab）3

axbyaybzazbx

aybzazbxaxby（a3azbxaxbyaybz

xyzb3）yzx

zxy

aybzazbxaxby

azbxaxbyaybz

xaybzazayazbxax

zaxbyay

bx

by

bz

yaybzazbx

bzazbxaxby

xaxbyaybz

x

a2y

z

a3y

aybzz

yzazbx

azbxx

b2

zxaxby

axbyy

xyaybz

yz

yzx

zx

b3

xy

xyz

a3yzxzxy

xyzb3yzx

w）

c2

C3

8

得

zXyyzXXyz

3a

abed

2222

x\7

1111

（awcg

2222abed

cc

z/（\

①®

3®

be

（a

Q2）刁Q

2222x\7x\71111

（a2（c（d

c4

5555

222b2c2d

3333

222b222d

abcd

2222abcd

2222

a2b2c2（j2

・241ddd1cc241bb2b41aaa

24

1ddd

1gd

1bb2b4

1a^4a

（b

a）（c

a）（d

a）

1bb2（b

cc

a）c2（ca）d2（d

a）0

1cb0c（cb）（cb

a）d（d

1dbb）（dba）

a）（cb）（db

c（c

ba）d（dba）

=（a

b）（ac）（ad）（bc）（bd）（cd）（abcd）

O1

oaa

ooX32

oo

xna1xn1

an1Xan

da

0b（b

d（da）

0b2（b2

a2）

c2（c2

d2（d2a2）

证明用数学归纳法证明

当n2时D2axxaX2a〔xa2命题成立

假设对于（n1）阶行列式命题成立即

Dn1Xn1a1Xn2an2Xan1

则Dn按第一列展开有

ooX

DnXDn1an（胖1

xDn1anXna1Xn1an1Xan

因此对于n阶行列式命题成立

6设n阶行列式Ddet（aj）,把D上下翻转、或逆时针旋转

90、或依副对角线翻转依次得

D1

an1

ann

D2

a1n

D3

ain

an

n（n1）

证明D1D2

（1）丁DD3D

证明因为D

det（aj）

所以

a,

（

1）n1

a11

a：

21

a2n

1）n2

a21

（1）n1（

a31

a3n

n（n

1）

（1）12

（n2）

（n1）

D（

1）2

D

同理可证

al1

（1）2

（1）丁dt

（1）丁D

D3

（1）2D2

n（n1）n（n1）

（1）2

（1）2D

（1）n（n1）D

其中对角线上元素都是a未写出的元素

都是0

0a0

100

（1）2na

（n1）（n1）

an2（a21）

ananan2

1）n1（

1）n

（按第n行展开）

Dn

（n2）（n2）

解将第一行乘

⑵Dn

xa

0xa

（1）分别加到其余各行

noo

aao

XaaoXa

aoo

[X（n1）a]（xa）n1

（an）n

an（a1）n

⑶Dn1

an1（a1）n1

aa1

解根据第6题结果有

a1

an

（a1）n1

（an）n1

（a1）n

Dn1

（1）2

此行列式为范德蒙德行列式

Dm

（1）丁[（ai1）（aj1）]

n1ij1

（1）2[（ij）]

n（n1n（n1）1

（1）2

（1）2（ij）

（ij）

bn

⑷D2n

aib

Cidi

dn

ai

Ci

di

Cn

a>

i

D2n

（按第1行展开）

bni

bi

dni

an1

（i）2n

ibn

Cn1

dn-

再按最后一行展开得递推公式

D2nandnD2n2bnCnD2n2

即D2n

（andnbnCn）D2n2

于是D2n

n

佝djbC）D2

a〔dib|C[

所以D2nGdjg）

i1

（5）Ddet（aj）其中aj|ij|;

解aj|ij|

1234

nnnn

oooo

4

3210

2101

1012

0123

a-

et

d

T—T—T—

2nT—

ooo2

0222T—T—T—T—

5

2n

2n

31

25—

a〔a2

1a2

1an

a1

还

a2

a3

ci

aj

aj1

an）（1

8用克莱姆法则解下列方程组

X1

⑴工

3x1

x2x3x452x2Xj4x4

3x2x35x4

x22x311x4

an11

q1

1451

1112

12

284

5220

1123

14

解因为

522

5220

1123

426

DD-D

DD3D

XX

rd

3d

ooO

65xx

00065

00651

06510

1OOO1

51000

07

00065

00651

06510

65100

51000为

因D

65100

00065

1OOO1

06510

65100

51000

03

7

00651

1OOO100651065106510051000

1507

V

1665

1145

X2665

703XsX4

3665

395

665

X4

212

X]

X2

X30

9问

取何值时

齐次线性方程组

X!

30有非

2x2

30

零解？

解系数行列式为

D1

12

令DO得

0或1

于是当0或1时该齐次线性方程组有非零解

（12x24x30

10问取何值时齐次线性方程组2为（3）X2X30有

NX2

（1）X30

非零解?

（1）3（3）4

（1）2

（1）（3）

（1）32

（1）23

02或3

于是当02或3时该齐次线性方程组有非零解

第二章矩阵及其运算

1已知线性变换

X2y1

X23y1

X33y1

2y2y3

y25y3

2y2

3y3

求从变量X1X2X3

；

到变量

y1

y2ys的线性变换

解由已知

x1221

y

x2315

y2

x3323

yi

221

x1

749

故

15

x2

63:

7y2

23

x3

324y3

7xi

4x2

9X3

6x1

3x2

7X3

3X]

2x2

4X3

已知两个线性变换

2yi

y3

y13Z1

Z2

3y2

2y3

y22z1

Z3

4yi

目25y3

y3Z2

3z3

求从Z1

到X1

X3的线性变换

由已知

Xi

310

Z1

232

X3

415

013

61

z1

49

10

116

xi

6zZ23z3

所以有

X?

12z14z29z3

10z1

Z216Z3

123

设A

B

124

求3AB

2A及AtB

051

3AB2A

31

211

13

22

6

17

'

20

9

29

ATB

4计算下列乘积

（1）

47

35

17（

231

57

49

（2）（123）2

解（123）2（132231）（10）

⑶

（1

）

2（

1（

3（

（AX

（4）

14

78

13

56

aii

ai2

ai3

Xj

（5）（Xj

X3）

a22

a23

a33

（aiiXiai2X2ai3X3ai2Xia22X2a23X3ai3Xia23X2

anX2

a22X；

a33X3

2a12X1X2

2ai3X1X32a23X2X3

5设A

10

问

ai1ai2ai3X1

（X1X2X3）ai2a22a23X2

ai3a23a33X3

Xja33X3）X2

（1）ABBA吗？

解ABBA

因为AB46BAJ8所以ABBA

⑵（AB）2A22ABB2吗？

解（AB）2A22ABB2

因为AB22

A22ABB2

38

411

68101016

812341527

所以（AB）2A22ABB2

⑶（AB）（AB）A2B2吗？

解（AB）（AB）A2B2

A

22

25

因为AB25

（AB）（AB）而a2b238

故（AB）（AB）A2B2

6举反列说明下列命题是错误的

（1）若A2

0则A0

解取A

01则A2

但A

⑵若A2

A则A0或A

E

11则A2

00则

A但A0

且AE

⑶若AX

AY且A0

则X

Y

解取

10X1

00X1

则AXAY且A0但XY

7设A0求AAAk

解A101010

解A1121

A3

A2A

Ak

1k

8设A

1求Ak

解首先观察

餐o

AAAa2a34a3a45

k（k1）k2

用数学归纳法证明

当k2时显然成立

假设k时成立，则k1时，

k1k（k1）

Ak1AkA

（k

1）k1

k1

1）k

（k1）k1

由数学归纳法原理知

k（k1）k2

kk1

k

9设AB为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BtAB也是对称矩阵

证明因为ata所以

（BtAB）tBt（BtA）tbtatbbtab

从而btab是对称矩阵

10设AB都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是ABBA

证明充分性因为AABtB且ABBA所以

（AB）t（BA）tAtBtAB

即ab是对称矩阵

必要性因为ata

btb

且（AB）tab