排列组合总结Word文件下载.docx
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70种
75种
150种
排列、组合及简单计数问题；
排列、组合的实际应用．菁优网版权所有
根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，
再从5名女医生中选出1人，有C51=5种选法，
则不同的选法共有15×
5=75种；
故选C．
本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．
3．（2014•黄冈模拟）用5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，其中有且仅有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数的个数为（ ）
36
48
72
120
计算题；
分类讨论．
由题意知本题是一个分类计数问题，按照以5开头的数字，以6开头的数字，依次列举出以9开头的数字，把所有的结果相加
由题意知本题是一个分类计数问题，
以5开头符合要求的数：
5679856978576985789658796589765967859876
以6开头符合要求的数：
65879，65897，65789，65987，67859，67895，67589，67985，69857，69875，69587，69785，共12种情形；
以7开头符合要求的数：
7569875896765987695878596789567965879856
以8开头符合要求的数：
85679856978576985967876598769589657896758756987965
8956789765共12种情形；
以9开头符合要求的数：
9567895876965789675897658978569875698576
用5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，
其中有且仅有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数的个数为48个
故选B．
本题考查分类计数原理的应用，本题解题的关键是按照一定的顺序，列举出所有符合条件的数字，注意做到不重不漏．
4．（2014•蓟县一模）从星期一到星期六安排甲、乙、丙三人值班，每人值2天班，如果甲不安排在星期一，乙不安排在星期六，那么值班方案种数为（ ）
42
30
60
计算题．
因为甲不安排在星期一，乙不安排在星期六，，所以先排甲乙，而甲若排在星期六，则乙就没有限制，所以可按甲的排法分类，分为两类，一类是甲排在星期六，其他人没有限制，有C41C42种排法，一类是甲不排在星期六，则甲从星期二到星期五之间选一天，有C42种选法，再排乙，不能安排在星期六，所以从剩下的3天中选2天，有C32中选法，最后排丙，没有限制，最后，再把两类相加即可．
解；
分两类
第一类，甲排在星期六，有C41C42=24种排法．
第二类，甲不排在星期六，有C42C32=18种排法
∴值班方案种数为24+18=42种
故选A
本题考查了有限制的排列问题，做题时要按限制条件分类．
5．（2014•张掖三模）我校要从4名男生和2名女生中选出2人担任H7N9禽流感防御宣传工作，则在选出的宣传者中，男、女都有的概率为（ ）
古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
概率与统计．
所有的选法共有
种，其中，男、女都有的选法有4×
2种，由此求得男、女都有的概率．
=15种，其中，男、女都有的选法有4×
2=8种，
故男、女都有的概率为
，
故选A．
本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．
6．（2014•宜宾一模）已知5名医生和3名护士被分配到甲、乙两所学校为学生体检，每校至少要分配2名医生和1名护士，则不同的分配方案共有（ ）
30种
90种
120种
圆锥曲线的定义、性质与方程．
先为第一个学校安排医生和护士，其余的给另一所学校，根据分步计数原理得到结果．
由于每校至少要分配2名医生和1名护士，所以分配的方案为2名医生和1名护士，2名医生和2名护士，其余的给另一所学校．
所以有
×
（
）=120种分法．
故选D．
本题考查排列组合知识，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于基础题．
7．（2014•嘉兴二模）甲、乙、丙、丁、戊共5人站成一排，其中甲、乙两人中间恰有1人的站法种数是（ ）
18
24
先选1人站在甲、乙两人中间，再与其余2人进行全排，即可得出结论．
先选1人站在甲、乙两人中间，再与其余2人进行全排，可得
=36种．
本题考查排列组合及简单的计数原理的问题，考查学生的计算能力，属于基础题．
8．（2014•黄冈模拟）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（ ）
6种
12种
36种
“至少1门不同”包括两种情况，两门均不同和有且只有1门相同，再利用分步计数原理，即可求得结论．
甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类：
1、甲、乙所选的课程中2门均不相同，甲先从4门中任选2门，乙选取剩下的2门，有C42C22=6种．
2、甲、乙所选的课程中有且只有1门相同，分为2步：
①从4门中先任选一门作为相同的课程，有C41=4种选法；
②甲从剩余的3门中任选1门乙从最后剩余的2门中任选1门有C31C21=6种选法，由分步计数原理此时共有C41C31C21=24种．
综上，由分类计数原理，甲、所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6+24=30种．
本题考查排列组合知识，合理分类、正确分步是解题的关键．
9．（2014•漳州模拟）用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中，有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为（ ）
432
288
216
144
从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有
=6种．先排3个奇数：
用插空法求得结果，再排除1在左右两端的情况，问题得以解决．
=6种，
先排3个奇数，有
=6种，形成了4个空，将“整体”和另一个偶数中插在3个奇数形成的4个空中，
方法有
=12种．
根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×
6×
12=432种．
若1排在两端，1的排法有
•
=4种，
形成了3个空，将“整体”和另一个偶数中插在3个奇数形成的3个空中，方法有
4×
6=144种，
故满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，
则这样的六位数的个数为432﹣144=288种．
本题主要考查排列、组合、两个基本原理的应用，注意不相邻问题用插空法，相邻问题用捆绑法，属于中档题．
10．（2014•达州二模）一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（ ）
15种
17种
19种
由分步计数原理可得总的取法由27种，列举可得不合题意得有8种，进而可得符合题意得方法种数．
由题意结合分部计数原理可得，总的取球方式共3×
3×
3=27种，
其中，（1，1，1），（1，1，2），（1，2，1），（2，1，1），（1，2，2），
（2，1，2），（2，2，1），（2，2，2）共8种不符合题意，
故取得小球标号最大值是3的取法有27﹣8=19种，
故选D
本题考查计数原理的应用，采用间接的方式结合列举法是解决问题的关键，属中档题．
11．（2014•雅安三模）从1，3，5，7，9这5个奇数中选取3个数字，从2，4，6，8这4个偶数中选取2个数字，再将这5个数字组成没有重复数字的五位数，且奇数数字与偶数数字相间排列．这样的五位数的个数是（ ）
180
360
480
720
先按要求取出5个数，再根据奇数数字与偶数数字相间排列，利用插空法，由乘法原理可得结论．
从1，3，5，7，9这5个奇数中选取3个数字，从2，4，6，8这4个偶数中选取2个数字，共有
=60个，奇数数字与偶数数字相间排列，利用插空法，共有
=12个，所以这样的五位数共有60×
12=720个．
本题考查排列组合知识，考查乘法原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
12．（2014•唐山二模）将6名男生，4名女生分成两组，每组5人，参加两项不同的活动，每组3名男生和2名女生，则不同的分配方法有（ ）
180种
先分组，因为两组的男生和女生的人数一样，需要除以顺序数，再分配到参加两项不同的活动，求出即可．
先将6名男生，4名女生分成两组，每组5人，有
不同的组，然后将这两组分配到两项不同的活动中，则不同的分配方法有
=120种．
本题主要考查了排列组合种的分组分配问题，属于中档题．
13．（2014•河北模拟）学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（ ）
24种
间接法：
先从4个中任选2个看作整体，然后做3个元素的全排列，从中排除数学、理综安排在同一节的情形，可得结论．
由于每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节，
先从4个中任选2个看作整体，然后做3个元素的全排列，共
=36种方法，
再从中排除数学、理综安排在同一节的情形，共
=6种方法，
故总的方法种数为：
36﹣6=30
本题考查排列组合及简单的计数问题，采用间接法是解决问题的关键，属中档题．
14．（2014•达州一模）由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字，且3与4相邻，1与2不相邻的五位数的个数为（ ）
1120
12
先把3和4捆绑在一起，当做一个数；
再把1和2单独挑出来，其余的2个数排列；
再把1和2插入2个数排列形成的3个空中，求出每一步的方法数，相乘即得所求．
先把3和4捆绑在一起，当做一个数，这样，5个数变成立4个数，方法有
种．
再把1和2单独挑出来，其余的2个数排列有
种方法．
再把1和2插入2个数排列形成的3个空中，方法有
根据分步计数原理，五位数的个数为
=24种，
本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，注意相邻的问题用捆绑法，不相邻的问题用插空法，属于中档题．
15．（2014•金华模拟）已知集合A={1，2，3，4，5，6}，在A中任取三个元素，使它们的和小于余下的三个元素的和，则取法种数共有（ ）
4
10
15
20
直接利用6个数之和为21，分为2组，必要一组数之和是小于另一组，求解即可．
∵1+2+3+4+5+6=21，∴在A中任取三个元素它们的和与余下的三个元素的和，一定不相等，
并且一组数之和是小于另一组，
∴满足题意的求法有：
．
本题考查计数原理的应用，考查学生分析问题解决问题的能力．
16．（2014•郑州模拟）现有4名同学及A、B、C三所大学，每名同学报名参加且只能参加其中一所大学的自主招生考试，并且每所学校至少有1名同学报名参考，其中同学甲不能参加A学校的考试，则不同的报名方式有（ ）
72种
分类讨论：
甲在B、C两所大学选一所，其余3位同学，未选甲选的学校；
有一位选甲选的学校，相加后得到结果．
甲在B、C两所大学选一所，其余3位同学，未选甲选的学校，共有
=12种；
甲在B、C两所大学选一所，其余3位同学，有一位选甲选的学校，共有
=12种，
故共有12+12=24种，
本题考查排列组合的实际应用，本题解题的关键是其余3位同学，选育未选甲选的学校，要分类讨论．
17．（2013•福建）满足a，b∈{﹣1，0，1，2}，且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为（ ）
14
13
由于关于x的方程ax2+2x+b=0有实数根，所以分两种情况：
（1）当a≠0时，方程为一元二次方程，那么它的判别式大于或等于0，由此即可求出a的取值范围；
（2）当a=0时，方程为2x+b=0，此时一定有解．
（1）当a=0时，方程为2x+b=0，此时一定有解；
此时b=﹣1，0，1，2；
即（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2）；
四种．
（2）当a≠0时，方程为一元二次方程，
∴△=b2﹣4ac=4﹣4ab≥0，
∴ab≤1．所以a=﹣1，1，2此时a，b的对数为（﹣1，0），（﹣1，2），（﹣1，﹣1），（﹣1，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1）；
（2，﹣1），（2，0），共9种，
关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为13种，
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根，在解题时要注意分类讨论思想运用．考查分类讨论思想．
18．（2014•安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°
的共有（ ）
24对
30对
48对
60对
异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
利用正方体的面对角线形成的对数，减去不满足题意的对数即可得到结果．
正方体的面对角线共有12条，两条为一对，共有
=66条，
同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题意，一组平行平面共有6对不满足题意的直线对数，
不满足题意的共有：
6=18．
从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°
的共有：
66﹣18=48．
本题考查排列组合的综合应用，逆向思维是解题本题的关键．
19．（2014•邢台二模）身穿兰、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿红色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ）
48种
78种
84种
压轴题．
由题意知先使五个人的全排列，共有A55种结果，去掉相同颜色衣服的人相邻的情况，穿蓝色相邻和穿黄色相邻两种情况，得到结果
由题意知先使五个人的全排列，共有A55种结果．
去掉相同颜色衣服的人相邻的情况，穿蓝色相邻和穿黄色相邻两种情况
∴穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法是A55﹣A22A22A33﹣2A22A22A32=48
本题是一个简单计数问题，在解题时注意应用排除法，从正面来解题时情况比较复杂，所以可以写出所有的结果，再把不合题意的去掉．
20．（2014•临汾模拟）航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼﹣15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（ ）
16种
先考虑甲、乙两机是12、23、34、45位置，再考虑甲、乙两机，位置交换，即可得出结论．
先考虑甲、乙两机，若甲、乙两机是12位置，则其余3架飞机有
=6种方法；
甲、乙两机是23位置，则丁有
，其余2架飞机有
种方法，共有
=4种方法；
同理，甲、乙两机是34、45位置，均分别有4种方法，
甲、乙两机，位置交换，同样有以上各种情况，
故共有2（6+4+4+4）=36种不同的着舰方法．
本题考查排列、组合知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于基础题．
21．（2014•揭阳模拟）各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有（ ）
210种
95种
利用排列组合的方法即可得到结论．
从7个专业选3个，有
种选法，
甲乙同时兼报的有
则专业共有35﹣5=30种选法，
则按照专业顺序进行报考的方法为
30=180，
B
本题主要考查排列组合的应用，利用对立法是解决本题的关键．
22．（2013•山东）用0，1，2，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ）
243
252
261
279
求出所有三位数的个数，减去没有重复数字的三位数个数即可．
用0，1，2，…，9十个数字，所有三位数个数为：
900，
其中没有重复数字的三位数百位数从非0的9个数字中选取一位，十位数从余下的9个数字中选一个，个位数再从余下的8个中选一个，所以共有：
9×
8=648，
所以可以组成有重复数字的三位数的个数为：
900﹣648=252．
本题考查排列组合以及简单计数原理的应用，利用间接法求解是解题的关键，考查计算能力．
23．（2014•四川模拟）我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼﹣15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（ ）
分两大步：
把甲、乙看作1个元素和戊全排列，调整甲、乙，共有
种方法，再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位种，有
种方法，由分步计算原理可得答案．
把甲、乙看
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