鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解Word下载.docx

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　　〔“得失问题〞也称“运玻璃器皿问题〞，运到完好无损者每只给运费×

×

元，破损者不仅不给运费，还需要赔本钱×

元……。

它的解法显然可套用上述公式。

〕

　　〔5〕鸡兔互换问题〔总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题〕，可用下面的公式：

　　〔〔两次总脚数之和〕÷

〔每只鸡兔脚数和〕+〔两次总脚数之差〕÷

〔每只鸡兔脚数之差〕〕÷

2=鸡数；

〔每只鸡兔脚数之和〕-〔两次总脚数之差〕÷

2=兔数。

　　例如，“有一些鸡和兔，共有脚44只，假设将鸡数与兔数互换，那么共有脚52只。

鸡兔各是多少只？

　　解〔〔52+44〕÷

〔4+2〕+〔52-44〕÷

〔4-2〕〕÷

2

　　=20÷

2=10〔只〕……………………………鸡

　　〔〔52+44〕÷

〔4+2〕-〔52-44〕÷

　　=12÷

2=6〔只〕…………………………兔〔答略〕

鸡兔同笼

目录1总述2假设法3方程法一元一次方程二元一次方程

4抬腿法5列表法6详解7详细解法

根本问题特殊算法习题

8鸡兔同笼公式

1总述

鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一。

大约在1500年前，?

孙子算经?

中就记载了这个有趣的问题。

书中是这样表达的：

“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

〞这四句话的意思是：

有假设干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头,从下面数，有94只脚。

问笼中各有几只鸡和兔？

算这个有个最简单的算法。

〔总脚数-总头数×

鸡的脚数〕÷

〔兔的脚数-鸡的脚数〕=兔的只数

〔94－35×

2〕÷

2=12（兔子数）总头数〔35〕－兔子数〔12〕=鸡数〔23〕

解释：

让兔子和鸡同时抬起两只脚，这样笼子里的脚就减少了头数×

2只，由于鸡只有2只脚，所以笼子里只剩下兔子的两只脚，再除以2就是兔子数。

虽然现实中没人鸡兔同笼。

2假设法

假设全是鸡：

2×

35=70〔只〕

鸡脚比总脚数少：

94－70=24〔只〕

兔：

24÷

（4-2）=12〔只〕

鸡：

35－12=23〔只〕

假设法〔通俗〕

假设鸡和兔子都抬起一只脚，笼中站立的脚：

94-35=59〔只〕

然后再抬起一只脚，这时候鸡两只脚都抬起来就摔倒了，只剩下用两只脚站立的兔子，站立脚：

59-35=24〔只〕兔：

2=12〔只〕鸡：

35-12=23〔只〕

3方程法

一元一次方程

解：

设兔有x只，那么鸡有（35-x〕只。

4x+2（35-x）=94

4x+70-2x=94

2x=94-70

2x=24

x=24÷

2

x=12

35-12=23（只〕

或解：

设鸡有x只，那么兔有〔35-x〕只。

2x+4（35-x）=94

2x+140-4x=94

2x=46

x=23

35-23=12（只〕

答：

兔子有12只，鸡有23只。

注：

通常设方程时，选择腿的只数多的动物，会在套用到其他类似鸡兔同笼的问题上，好算一些。

二元一次方程

设鸡有x只，兔有y只。

x+y=35

2x+4y=94

〔x+y=35）×

2=2x+2y=70

（2x+2y=70）-（2x+4y=94）=（2y=24）

y=12

把y=12代入〔x+y=35）

x+12=35

x=35-12〔只〕

x=23〔只〕。

兔子有12只，鸡有23只

4抬腿法法一

假设让鸡抬起一只脚，兔子抬起2只脚，还有94除以2=47只脚。

笼子里的兔就比鸡的头数多1，这时，脚与头的总数之差47-35=12，就是兔子的只数。

法二

假设鸡与兔子都抬起两只脚，还剩下94－35×

2=24只脚，这时鸡是屁股坐在地上，地上只有兔子的脚，而且每只兔子有两只脚在地上，所以有24÷

2=12只兔子，就有35－12=23只鸡

5列表法

腿数

鸡〔只数〕

兔〔只数〕

6详解

中国古代?

共三卷，成书大约在公元5世纪。

这本书浅显易懂，有许多有趣的算术题，比方“鸡兔同笼〞问题：

今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

题目中给出雉兔共有35只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚，那么，兔子就成了2只脚，即把兔子都先当作两只脚的鸡。

鸡兔总的脚数是35×

2=70〔只〕，比题中所说的94只要少94-70=24〔只〕。

现在，我们松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加2只，即70+2=72〔只〕，再松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加2，2，2，2……，一直继续下去，直至增加24，因此兔子数：

2=12〔只〕，从而鸡有35-12=23〔只〕。

我们来总结一下这道题的解题思路：

如果先假设它们全是鸡，于是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比拟，看看差多少，每差2只脚就说明有1只兔，将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔。

概括起来，解鸡兔同笼题的根本关系式是：

兔数=〔实际脚数-每只鸡脚数×

鸡兔总数〕÷

〔每只兔子脚数-每只鸡脚数〕。

类似地，也可以假设全是兔子。

我们也可以采用列方程的方法：

设兔子的数量为x，鸡的数量为y

那么：

x+y=35那么4x+2y=94这个算方程解出后得出：

7详细解法

根本问题

"

鸡兔同笼"

是一类有名的中国古算题。

最早出现在?

中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法--"

假设法"

来求解。

因此很有必要学会它的解法和思路.

例1有假设干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只

我们设想，每只鸡都是"

金鸡独立"

一只脚站着；

而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着。

现在，地面上出现脚的总数的一半，·

也就是

244÷

2=122〔只〕.

在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次。

因此从122减去总头数88，剩下的就是兔子头数

122-88=34〔只〕，

有34只兔子.当然鸡就有54只。

有兔子34只,鸡54只。

上面的计算，可以归结为下面算式：

总脚数÷

2-总头数=兔子数.总头数-兔子数=鸡数

特殊算法

上面的解法是?

中记载的。

做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！

能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2,4又是2的2倍.可是，当其他问题转化成这类问题时，"

脚数"

就不一定是4和2，上面的计算方法就行不通。

因此，我们对这类问题给出一种一般解法.

还说例1.

如果设想88只都是兔子，那么就有4×

88只脚，比244只脚多了

88×

4-244=108〔只〕.

每只鸡比兔子少（4-2）只脚，所以共有鸡

（88×

4-244）÷

（4-2）=54〔只〕.

说明我们设想的88只"

兔子"

中，有54只不是兔子。

而是鸡.因此可以列出公式

鸡数=〔兔脚数×

〔兔脚数-鸡脚数〕.

当然，我们也可以设想88只都是"

鸡"

那么共有脚2×

88=176〔只〕，比244只脚少了

244-176=68〔只〕.

每只鸡比每只兔子少（4-2）只脚，

68÷

2=34〔只〕.

说明设想中的"

有34只是兔子，也可以列出公式

兔数=〔总脚数-鸡脚数×

上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数。

假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为"

.

现在，拿一个具体问题来试试上面的公式。

例2红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了16支，花了2.80元。

问红，蓝铅笔各买几支？

以"

分"

作为钱的单位.我们设想，一种"

有11只脚，一种"

有19只脚，它们共有16个头，280只脚。

现在已经把买铅笔问题，转化成"

问题了.利用上面算兔数公式，就有

蓝笔数=（19×

16-280）÷

（19-11）

=24÷

8

=3〔支〕.

红笔数=16-3=13〔支〕.

买了13支红铅笔和3支蓝铅笔。

对于这类问题的计算，常常可以利用脚数的特殊性.例2中的"

19与11之和是30.我们也可以设想16只中，8只是"

8只是"

根据这一设想，脚数是

8×

（11+19）=240〔支〕。

比280少40.

40÷

（19-11）=5〔支〕。

就知道设想中的8只"

应少5只，也就是"

（蓝铅笔〕数是3.

30×

8比19×

16或11×

16要容易计算些。

利用数的特殊性，靠心算来完成计算.

实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数。

例如，设想16只中，"

兔数"

为10,"

鸡数"

为6，就有脚数

19×

10+11×

6=256.

比280少24.

（19-11）=3,

就知道设想6只"

要少3只。

要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领.

下面再举四个稍有难度的例子。

例3一份稿件，甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打假设干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时。

甲打字用了多少小时？

我们把这份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍数〕，甲每小时打30÷

6=5〔份〕，乙每小时打30÷

10=3〔份〕.

现在把甲打字的时间看成"

兔"

头数，乙打字的时间看成"

头数，总头数是7."

的脚数是5,"

的脚数是3，总脚数是30，就把问题转化成"

问题了。

根据前面的公式

"

数=（30-3×

7）÷

（5-3）

=4.5,

数=7-4.5

=2.5,

也就是甲打字用了4.5小时，乙打字用了2.5小时。

甲打字用了4小时30分.

例4今年是1998年，父母年龄〔整数〕和是78岁，兄弟的年龄和是17岁。

四年后（2002年〕父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是公元哪一年？

4年后，两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25，父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作"

头数，弟的年龄看作"

头数。

25是"

总头数"

.86是"

总脚数"

.根据公式，兄的年龄是

（25×

4-86）÷

（4-3）=14〔岁〕.

1998年，兄年龄是

14-4=10〔岁〕.

父年龄是

（25-14）×

4-4=40〔岁〕.

因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是

（40-10）÷

（3-1）=15〔岁〕.

这是2003年。

公元2003年时，父年龄是兄年龄的3倍.

例5蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。

现在这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只？

因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成"

8条腿"

与"

6条腿"

两种。

利用公式就可以算出8条腿的

蜘蛛数=（118-6×

18）÷

（8-6）

=5〔只〕.

因此就知道6条腿的小虫共

18-5=13〔只〕.

也就是蜻蜓和蝉共有13只，它们共有20对翅膀。

再利用一次公式

蝉数=（13×

2-20）÷

（2-1）=6〔只〕.

因此蜻蜓数是13-6=7〔只〕.

有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉。

例6某次数学考试考五道题，全班52人参加，共做对181道题，每人至少做对1道题，做对1道的有7人，5道全对的有6人，做对2道和3道的人数一样多，那么做对4道的人数有多少人？

对2道，3道，4道题的人共有

52-7-6=39〔人〕.

他们共做对

181-1×

7-5×

6=144〔道〕.

由于对2道和3道题的人数一样多，我们就可以把他们看作是对2.5道题的人〔（2+3）÷

2=2.5）.这样

兔脚数=4，鸡脚数=2.5,

总脚数=144，总头数=39.

对4道题的有

39）÷

（4-2.5）=31〔人〕.

做对4道题的有31人。

以例1为例有假设干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？

以简单的X方程计算的话，我们一般用设大数为X，那么也就是设兔为X，那么鸡的只数就是总数减去鸡的只数，即〔88-X〕只。

设兔为X只。

那么鸡为〔88-X〕只。

4X+2×

〔88-X〕=244

上列的方程解释为：

兔子的脚数加上鸡的脚数，就是共有的脚数。

4X就是兔子的脚数，2×

〔88-X〕就是鸡的脚数。

88-2X=244

2X+176=244

2X+176-176=244-176

2X=68

2X÷

2=68÷

X=34

即兔子为34只，总数是88只，那么鸡：

88-34=54只。

兔子有34只，鸡有54只。

习题一

1．龟鹤共有100个头，350只脚.龟，鹤各多少只？

2．学校有象棋，跳棋共26副，恰好可供120个学生同时进行活动。

象棋2人下一副棋，跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有几副？

3．一些2分和5分的硬币，共值2.99元，其中2分硬币个数是5分硬币个数的4倍，问5分硬币有多少个？

4．某人领得工资240元，有2元，5元，10元三种人民币，共50张，其中2元与5元的张数一样多。

那么2元，5元，10元各有多少张？

5．一件工程，甲单独做12天完成，乙单独做18天完成，现在甲做了假设干天后，再由乙接着单独做完余下的局部，这样前后共用了16天.甲先做了多少天？

6．摩托车赛全程长281千米，全程被划分成假设干个阶段，每一阶段中，有的是由一段上坡路（3千米〕，一段平路（4千米〕，一段下坡路（2千米〕和一段平路（4千米〕组成的；

有的是由一段上坡路（3千米〕，一段下坡路（2千米〕和一段平路（4千米〕组成的。

摩托车跑完全程后，共跑了25段上坡路.全程中包含这两种阶段各几段？

7．用1元钱买4分，8分，1角的邮票共15张，问最多可以买1角的邮票多少张？

二、"

两数之差"

的问题

鸡兔同笼中的总头数是"

两数之和"

如果把条件换成"

又应该怎样去解呢

例7买一些4分和8分的邮票，共花6元8角。

8分的邮票比4分的邮票多40张，那么两种邮票各买了多少张？

解一：

如果拿出40张8分的邮票，余下的邮票中8分与4分的张数就一样多.

（680-8×

40）÷

（8+4）=30〔张〕，

这就知道，余下的邮票中，8分和4分的各有30张。

因此8分邮票有

40+30=70〔张〕.

买了8分的邮票70张，4分的邮票30张。

也可以用任意假设一个数的方法.

解二：

譬如，假设有20张4分，根据条件"

8分比4分多40张"

那么应有60张8分。

作为计算单位，此时邮票总值是

4×

20+8×

60=560.

比680少，因此还要增加邮票。

为了保持"

差"

是40，每增加1张4分，就要增加1张8分，每种要增加的张数是

（680-4×

20-8×

60）÷

（4+8）=10〔张〕.

因此4分有20+10=30〔张〕，8分有60+10=70〔张〕.

例8一项工程，如果全是晴天，15天可以完成。

倘假设下雨，雨天比晴天多3天，

工程要多少天才能完成

类似于例3，我们设工程的全部工作量是150份，晴天每天完成10份，雨天每天完成8份.用上一例题解一的方法，晴天有

（150-8×

3）÷

（10+8）=7〔天〕.

雨天是7+3=10天，总共

7+10=17〔天〕.

这项工程17天完成。

请注意，如果把"

雨天比晴天多3天"

去掉，而换成工程是17天完成，由此又回到上一节的问题.差是3，与和是17，知道其一，就能推算出另一个。

这说明了例7，例8与上一节根本问题之间的关系.

总脚数是"

例9鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只？

假设再补上28只鸡脚，也就是再有鸡28÷

2=14〔只〕，鸡与兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚4÷

2=2〔倍〕，于是鸡的只数是兔的只数的2倍。

兔的只数是

（100+28÷

2）÷

（2+1）=38〔只〕.

鸡是100-38=62〔只〕.

鸡62只，兔38只。

当然也可以去掉兔28÷

4=7〔只〕.兔的只数是

（100-28÷

4）÷

（2+1）+7=38〔只〕.

也可以用任意假设一个数的方法。

假设有50只鸡，就有兔100-50=50〔只〕.此时脚数之差是

50-2×

50=100,

比28多了72.就说明假设的兔数多了〔鸡数少了〕.为了保持总数是100，一只兔换成一只鸡，少了4只兔脚，多了2只鸡脚，相差为6只〔千万注意，不是2）.因此要减少的兔数是（100-28）÷

（4+2）=12〔只〕.

兔只数是50-12=38〔只〕.

另外，还存在下面这样的问题：

总头数换成"

总脚数也换成"

例10古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；

七言绝句是四句诗，每句都是七个字。

有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首？

如果去掉13首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数相差

13×

5×

4+20=280〔字〕.

每首字数相差7×

4-5×

4=8〔字〕.

因此，七言绝句有280÷

（28-20）=35〔首〕.

五言绝句有35+13=48〔首〕.

五言绝句48首，七言绝句35首。

23=460〔字〕，28×

10=280〔字〕，五言绝句的字数，反而多了

460-280=180〔字〕.与题目中"

少20字"

相差180+20=200〔字〕.

说明假设诗的首数少了。

为了保持相差13首，增加一首五言绝句，也要增一首七言绝句，而字数相差增加8.因此五言绝句的首数要比假设增加200÷

8=25〔首〕.五言绝句有23+25=48〔首〕.

七言绝句有10+25=35〔首〕.

在写出"

公式的时候，我们假设都是兔，或者都是鸡，对于例7，例9和例10三个问题，当然也可以这样假设。

现在来具体做一下，把列出的计算式子与"

公式对照一下，就会发现非常有趣的事.

例7，假设都是8分邮票，4分邮票张数是

（680-8×

（8+4）=30〔张〕.

例9，假设都是兔，鸡的只数是

（100×

4-28）÷

（4+2）=62〔只〕.

10，假设都是五言绝句,七言绝句的首数是

（20×

13+20）÷

首先，请读者先弄明白上面三个算式的由来，然后与"

公式比拟，这三个算式只是有一处"

-"

成了"

+"

.其微妙何在呢

当你进入初中，有了负数的概念，并会列二元一次方程组，就会明白，从数学上说，这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事。

例11有一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算，每只2角，如有破损，破损瓶子不给运费，还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？

如果没有破损，运费应是400元。

但破损一只要减少1+0.2=1.2〔元〕.因此破损只数是（400-379.6）÷

（1+0.2）=17〔只〕.

答：

这次搬运中破损了17只玻璃瓶。

请你想一想，这是"

同一类型的问题吗

例12有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错〔包含不答〕1题倒扣1分；

第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？

如果小明第一次测验24题全对，得5×

24=120〔分〕.那么第二次只做对30-24=6〔题〕得分是8×

6-2×

（15-6）=30〔分〕.

两次相差120-30=90〔分〕.

比题目中条件相差10分，多了80分。

说明假设的第一次答对题数多了，要减少.第一次答对减少一题，少得5+1=6〔分〕，而第二次答对增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加8+2=10分。

两者两差数就可减少6+10=16〔分〕.

（90-10）÷

（6+10）=5〔题〕.

因此第一次答对题数要比假设〔全对〕减少5题，也就是第一次答对19题，第二次答对30-19=11〔题〕.

第一次得分5×

19-1×

（24-19）=90.

第二次得分8×

11-2×

（15-11）=80.

第一次得90分，第二次得80分。

答对30题，也就是两次共答错

24+15-30=9〔题〕.

第一次答错一题，要从总分值中扣去5+1=6〔分〕，第二次答错一题，要从总分值中扣去8+2=10〔分〕.答错题互换一下，两次得分要相差6+10=16〔分〕.

如果答错9题都是第一次，要从总分值中扣去6×

9.但两次总分值都是120分。

比题目中条件"

第一次得分多10分"

要少了6×

9+10.因此，第二次答错题数是

（6×

9+10）÷

（6+10）=4〔题〕·

第一次答错9-4=5〔题〕.

（24-5）-1×

5=90〔分〕.

第二次得分8×

（15-4）-2×

4=80〔分〕