状元之路高考数学人教A版文一轮开卷速查93空间点直线平面之间的位置关系Word格式文档下载.docx

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B

3．如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是（　　）

A．A、M、O三点共线

B．A、M、O、A1不共面

C．A、M、C、O不共面

D．B、B1、O、M共面　　　　

连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，

∴A1、C1、C、A四点共面．

∴A1C⊂平面ACC1A1.

∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1.

又M∈平面AB1D1，

∴M为平面ACC1A1与AB1D1的公共点．

同理OA为平面ACC1A1与平面AB1D1的公共点．

∴A、M、O三点共线.

A

4．正方体AC1中，E、F分别是线段BC、CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（　　）

A．相交　　　B．异面　　　C．平行　　　D．垂直

如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交.

5．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（　　）

A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充分必要条件

D．既非充分又非必要条件

若两条直线无公共点，则两条直线可能异面，也可能平行．若两条直线是异面直线，则两条直线必无公共点．

6．下列四个图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

只有第四个图中的四点不共面．

7．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是（　　）

①P∈a，P∈α⇒a⊂α　②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β　

③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α　④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b

A．①②B．②③C．①④D．③④

当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；

a∩β＝P时，②错；

如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，

∴由直线a与点P确定唯一平面α，

又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；

两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．

D

8．在正方体ABCDA1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°

角的条数为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

有2条：

A1B和A1C1.

9．如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过（　　）

A．点AB．点B

C．点C但不过点MD．点C和点M

∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.

又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.

根据公理3可知，M在γ与β的交线上．

同理可知，点C也在γ与β的交线上．

10．如图所示是三棱锥DABC的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于（　　）

A.

B.

C.

D.

该题我们可以通过补形处理，由于△ABC中AB＝AC，且∠A＝90°

，同时AD⊥平面ABC.将该三棱锥补形为直三棱柱DB′C′ABC，则异面直线DO和AB所成角等于△B′DO中∠B′DO的度数．

其中B′D＝2，DO＝

＝

，

B′O＝

，可得cos∠B′DO＝

.

二、填空题

11．下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是______．

①

②

③

④

在④图中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面．可证①中四边形PQRS为梯形；

③中可证四边形PQRS为平行四边形；

②中如图所示取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形．

①②③

12．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是__________．

如图，连接D1M，可证D1M⊥DN.

又∵A1D1⊥DN，A1D1，MD1⊂平面A1MD1，A1D1∩MD1＝D1，

∴DN⊥平面A1MD1，

∴DN⊥A1M，即夹角为90°

90°

13．如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝

∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．

在平面ABC内，过A作DB的平行线AE，过B作BH⊥AE于H，连接B1H，则在Rt△AHB1中，∠B1AH为AB1与BD所成角．设AB＝1，则A1A＝

，∴B1A＝

，AH＝BD＝

∴cos∠B1AH＝

∴∠B1AH＝60°

60°

14．在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有__________．（填上所有正确答案的序号）

如题干图①中，直线GH∥MN；

图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；

图③中连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；

图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，

∴GH与MN异面．

所以图②④中GH与MN异面.

②④

三、解答题

15．已知，如图，空间四边形ABCD中，E，H分别是边AB，AD上的点，F，G分别是边BC，CD上的点，且

＝λ，

＝μ（0＜λ，μ＜1），试判断FE，GH与AC的位置关系．

∵

＝μ，

∴EH∥BD，FG∥BD.

∴EH∥FG，EH＝λ·

BD，FG＝μ·

BD.

①当λ＝μ时，EH∥FG，且EH＝FG，

∴四边形EFGH是平行四边形，∴EF∥GH.

，∴HG∥AC.

由公理4知，EF∥GH∥AC.

②当λ≠μ时，EH∥FG，但EH≠FG.

∴四边形EFGH是梯形，且EH，FG为上下两底边，

∴EF，GH为梯形的两腰，它们必交于点P，P∈直线EF，P∈直线HG.又EF⊂平面ABC，HG⊂平面ADC，

∴P∈平面ABC，P∈平面ADC，

∴P是平面ABC和平面ADC的公共点．

又∵平面ABC∩平面ADC＝AC，

∴P∈直线AC，

∴三条直线EF，GH，AC交于一点．

综上所述，当λ＝μ时，三条直线EF，GH，AC互相平行；

当λ≠μ时，三条直线EF，GH，AC交于一点．

当λ＝μ时，三条直线EF，GH，AC互相平行；

16．

（1）已知异面直线a与b所成的角θ＝60°

，P为空间一点，则过P点与a和b所成角φ＝45°

的直线有几条？

（2）已知异面直线a与b所成的角θ＝60°

，P为空间一

点，则过P点与a和b所成角φ＝60°

（3）已知异面直线a与b所成的角θ＝60°

，P为空间一点，则过P点与a与b所成角φ＝70°

过点P作直线a′∥a，b′∥b，且a′与b′所确定的平面为α.

（1）过P点在平面α外存在两条直线与a、b所成的角为45°

（2）过P点在平面α内存在一条直线（120°

的角平分线）与a、b所成的角为60°

；

过P点在平面α外存在两条直线与a、b所成的角为60°

，则与a、b所成的角为60°

的直线有3条．

（3）过P点在平面α外a′、b′成60°

夹角平分线上、下存在两条直线与a、b所成的角为70°

，过P点在平面α外a′、b′成120°

，则与a、b所成的角为70°

的直线有4条．

（1）2；

（2）3；

（3）4.

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1．设四棱锥PABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥（如图），使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α（　　）

A．不存在　　　　　B．只有1个

C．恰有4个D．有无数多个

设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m，n，直线m，n确定了一个平面β，作与β平行的平面α，与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形，而这样的平面α有无数多个．

2．[2014·

广州模拟]在正四棱锥VABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为（　　）

B.

C.

如图所示，设AC∩BD＝O，连接VO，由于四棱锥VABCD是正四棱锥，所以VO⊥平面ABCD，故BD⊥VO.又四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC，所以BD⊥平面VAC.所以BD⊥VA，即异面直线VA与BD所成角的大小为

3．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为（　　）

AB，CD，EF和GH在原正方体中如图所示，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有三对．

4．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，

和a，且长为a的棱与长为

的棱异面，则a的取值范围是（　　）

A．（0，

）B．（0，

）

C．（1，

）D．（1，

如图所示的四面体ABCD中，设AB＝a，则由题意可得CD＝

，其他边的长都为1，故三角形ACD及三角形BCD都是以CD为斜边的等腰直角三角形，显然a>

0.取CD中点E，连接AE，BE，则AE⊥CD，BE⊥CD且AE＝BE＝

，显然A，B，E三点能构成三角形，应满足任意两边之和大于第三边，可得2×

>

a，解得0<

a<

5．[2014·

西安模拟]在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝BC，则直线PC与AB所成角的大小是__________．

分别取PA，AC，CB的中点F，D，E连接FD，DE，EF，AE，则∠FDE是直线PC与AB所成角或其补角．

设PA＝AC＝BC＝2a，在△FDE

中，易求得FD＝

a，DE＝

a，FE＝

a，

根据余弦定理，得cos∠FDE＝

＝－

所以∠FDE＝120°

所以直线PC与AB所成角的大小是60°

6．[2014·

许昌调研]如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°

，BC綊

AD，BE綊

FA，G，H分别为FA，FD的中点．

（1）求证：

四边形BCHG是平行四边形；

（2）C，D，F，E四点是否共面？

为什么？

（1）证明：

由题设知，FG＝GA，FH＝HD，

所以GH綊

AD.

又BC綊

AD，故GH綊BC.

所以四边形BCHG是平行四边形．

（2）C，D，F，E四点共面．

理由如下：

由BE綊

AF，G是FA的中点知，BE綊GF，

所以EF綊BG.

由

（1）知BG∥CH，

所以EF∥CH，故EC，FH共面．

又点D在直线FH上，

所以C，D，F，E四点共面．