30道小升初几何问题含答案解析.docx
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30道小升初几何问题含答案解析
30道典型几何题解析
1.【加减法求面积】如图是一个直径为3cm的半圆，让这个半圆以A点为轴沿逆时针方向旋转60︒，此时B点移动到B'点，求阴影部分的面积．（图中长度单位为cm，圆周率按3计算）．
AB
【解析】面积=圆心角为60︒的扇形面积+半圆-空白部分面积（也是半圆）=圆心角为
60︒的扇形面积=
60⨯π⨯32=3π=4.5（cm2）．
3602
2.【割补法求面积】求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为cm，圆周率按3计算）：
4
3
⑴⑵
1
2
11
⑶⑷
【解析】⑴4.5⑵4⑶1⑷2
3.．【差不变】三角形ABC是直角三角形，阴影I的面积比阴影II的面积小25cm2，
AB=8cm，求BC的长度．
A
BC
【解析】由于阴影I的面积比阴影II的面积小25cm2，根据差不变原理，直角三角形
ABC面积减去半圆面积为25cm2，则直角三角形ABC面积为
1⎛8⎫2
π⨯ç⎪
2⎝⎭
+25=8π+25（cm2），
BC的长度为（8π+25）⨯2÷8=2π+6.25=12.53（cm）．
4.
【等量代换】下图（单位：
厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积.
2020
【解析】所求面积等于图中阴影部分的面积，为（20-5+20）⨯8÷2=140（平方厘米）．
5.【等面积变形】如下图，长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD，长方形
ABCD的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是多少?
AB
FE
DC
【解析】根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为
1⨯20⨯12=120．
2
6.【面积与旋转】如图所示，直角三角形ABC的斜边AB长为10厘米，∠ABC=60︒，此时BC长5厘米．以点B为中心，将∆ABC顺时针旋转120︒，点A、C分别到达点E、D的位置．求AC边扫过的图形即图中阴影部分的面积．（π取3）
EE
ABDABD
【解析】注意分割、平移、补齐．
如图所示，将图形⑴移补到图形⑵的位置，
因为∠EBD=60︒，那么∠ABE=120︒，
则阴影部分为一圆环的1．
3
7.
【图形与平移】用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线上铺黑色的，其它地方铺白色的，如图所示．如果铺满这块地面共用101块黑色瓷砖，那么白色瓷砖用了多少块？
图１图2
【解析】我们可以让静止的瓷砖动起来，把对角线上的黑瓷砖，通过平移这种动态的处理，移到两条边上（如图2）．在这一转化过程中瓷砖的位置发生了变化，但数量没有变，此时白色瓷砖组成一个正方形．大正方形的边长上能放（101+1）÷2=51（块），白色瓷砖组成的正方形的边长上能放：
51-1=50（块），所以白色瓷砖共用了：
50⨯50=250（块）．
8.【化整为零】正方形ABCD与等腰直角三角形BEF放在一起（如图），M、N点为正方形的边的中点，阴影部分的面积是14cm2，三角形BEF的面积是多少平方厘米？
【解析】因为M、N是中点，故我们可以将该图形进行分割，所得图形如下
FF
AA
BCEBCE
图形中的三角形面积都相等，阴影部分由7个三角形组成，且其面积为14平方厘米，故一个三角形的面积为2平方厘米，那么三角形BEF的面积是18平方厘米。
9.【割补法】如图所示的四边形的面积等于多少？
CO
D
1212AB
【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.
我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：
把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB将旋转到三角形OCD的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.
因此，原来四边形的面积为12⨯12=144.（也可以用勾股定理）
10.【巧求周长】下图中的阴影部分BCGF是正方形，线段FH长18厘米，线段AC长
24厘米，则长方形ADHE的周长是厘米．
EFGH
AD
BC
【解析】本题需要注意，长方形ADHE的宽应等于正方形BCGF的边长．
由于图中阴影部分BCGF是个正方形，其四条边的边长都相等，且等于长方形ADHE的宽．FH+AC的和应为长方形ADHE的长加上正方形BCGF的边长，所以等于长方形ADHE的长与宽之和．所以长方形ADHE的周长为：
（18+24）⨯2=84厘米．
11.【周长与面积】有9个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这9个小长方形拼成的
大长方形的面积是45平方厘米，求这个大长方形的周长．
【解析】从图上可以知道，小长方形的长的4倍等于宽的5倍，所以长是宽的5÷4=1.25
倍．每个小长方形的面积为45÷9=5平方厘米，所以1.25⨯宽⨯宽=5，所以宽为2厘米，
长为2.5厘米．大长方形的周长为（2.5⨯4+2+2.5）⨯2=29厘米．
12.【梯形蝴蝶】如图，ABCD与AEFG均为正方形，三角形ABH的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为．
DCDC
FF
GABGAB
【解析】如图，连接AF，比较∆ABF与∆ADF，由于AB=AD，FG=FE，即∆ABF与
∆ADF的底与高分别相等，所以∆ABF与∆ADF的面积相等，那么阴影部分面积与
∆ABH的面积相等，为6平方厘米．
13.【曲线开型面积】如右图，有8个半径为1厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成
一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心．则花瓣图形的面积是多少平方厘米？
（π取3）
【解析】本题直接计算不方便，可以利用分割移动凑成规则图形来求解．
如右上图，连接顶角上的4个圆心，可得到一个边长为4的正方形．可以看出，与原图相比，正方形的每一条边上都多了一个半圆，所以可以把原花瓣图形的每个角上分割出一个半圆来补在这些地方，这样得到一个正方形，还
剩下4个1
4
圆，合起来恰好是一个圆，所以花瓣图形的面积为
42+π⨯12=19（平方厘米）．
14.【曲线型面积】如图，ABCD是边长为a的正方形，以AB、BC、CD、DA分别为直径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积．（π取3）
ADAD
BaCBaC
【解析】这道题目是很常见的面积计算问题．阴影部分是一个花瓣状的不规则图形，不能直接通过面积公式求解，观察发现阴影部分是一个对称图形，我们只需要在阴影部分的对称轴上作两条辅助线就明了了．
如图，这样阴影部分就划分成了4个半圆减去三角形，我们可以求得，
S=4⨯（S-S
）=4⨯⎡1
2
⨯π⨯ç⎪
-1⨯a⨯a⎤1a2
阴影半圆三角形
⎢⎣2
⎝2⎭
22⎥⎦2
15.【表面积计算】中是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中
心位置挖去一个边长1厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米？
【解析】根据题意可知，挖去的6个边长1厘米的正方体相互之间是独立的，所以挖去之后，原正方体的表面积相当于增加了六个小正方体的侧面积，所以现在它的表面积为：
4⨯4⨯6+1⨯1⨯4⨯6=120平方厘米．
16.【共高模型】如图，把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH
如果ABCD的面积是5平方厘米，则EFGH的面积是多少平方厘米?
【解析】如下图，连接BD，ED，BG，
有EAD、ADB同高，所以面积比为底的比，有S．
同理S．
类似的，还可得
SFCG=6SBCD，有
SEAH+SFCG=6（SABD+SBCD）=6SABCD=30平方厘米．
连接AC，AF，HC，还可得SEFB=6SABC，SDHG=6SACD，有SEFB+SDHG=6（SABC+SACD）=6SABCD=30平方厘米.
有四边形EFGH的面积为EAH,FCG,EFB,DHG,ABCD的面积和，即为
30+30+5=65（平方厘米.）
17.【等积变形】图中ABCD是个直角梯形（∠DAB=∠ABC=90°），以AD为一边向外作长方形ADEF，其面积为6.36平方厘米。
连接BE交AD于P，再连接PC。
则图中阴影部分的面积是（）平方厘米。
FF
AA
BCBC
【解析】如图,连接AE，BD。
因为AD∥BC，则：
S△PDC=S△PDB,又AB∥ED，则：
S△EAD=S△EBD,所以，
S=S+S
=S+S
=S=1S
=1⨯6.36=3.18（平方厘米）
阴影△EPD
△PDC
△EPD
△PDB
△EDA
2△ADEF2
18.【一半模型】一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的
15%，黄色三角形面积是21cm2．问：
长方形的面积是多少平方厘米？
【解析】黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的宽，所以黄色三角形与绿色三角形的面积和为长方形面积的50%，而绿色三角形面积占长方形面积的15%，所以黄色三角形面积占长方形面积的50%-15%=35%．
已知黄色三角形面积是21cm2，所以长方形面积等于21÷35%=60（cm2）．
19.【表面积计算】如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是多少平方厘米？
【解析】（法1）四个正方体的表面积之和为：
（12+22+32+52）⨯6=39⨯6=234（平方厘米），重叠部分的面积为：
12⨯3+（22⨯2+12）+（32+22+12）+（32+22+12）=3+9+14+14=40（平方厘米），
所以，所得到的多面体的表面积为：
234-40=194（平方厘米）．
（法2）三视图法．从前后面观察到的面积为52+32+22=38平方厘米,从左右
两个面观察到的面积为52+32=34平方厘米，从上下能观察到的面积为
52=25平方厘米．
表面积为（38+34+25）⨯2=194（平方厘米）．
20.
【表面积计算】用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?
【解析】该图形的上、左、前三个方向的表面分别由9、7、7块正方形组成．
该图形的表面积等于（9+7+7）⨯2=46个小正方形的面积，所以该图形表面积
为46平方厘米．
21.【取特殊点】长方形ABCD的面积为36，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？
AHD
A（H）D
EGEG
BFCBFC
【解析】特殊点法．由于H为AD边上任意一点，找H的特殊点，把H点与A点重合
（如左上图），那么阴影部分的面积就是∆AEF与∆ADG的面积之和，而这两个三角形
的面积分别为长方形ABCD面积的1和1，所以阴影部分面积为长方形ABCD面积的
84
1+1=3，为36⨯3=13.5．
8488
22.【共高模型】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC=2DE，F是DG的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米？
ADAD
EE
BGCBGC
【解析】如下图，连接FC，
、BFG的面积相等，设为x平方厘米;FGC、
DFC的面积相等，设为y平方厘米，那么DEF的面积为1
3
y平方厘米．
S=2x+2y=1，S
y=l⨯1=1．所以有⎧x+y=0.5
①
．比较②、①式，②
BCD
33⎨3x+y=1②
⎩
式左边比①式左边多2x，②式右边比①式右边大0.5，有2x=0.5，即
x=0.25,y=0.25．而阴影部分面积为y+2y=5⨯0.25=5
平方厘米．
3312
23.【周长与面积】如图，大长方形的面积是小于200的整数，内部有三个边长为整数的正方形A、B、C，正方形B的边长是长方形长的7/16，正方形C的边长是长方形宽的1/4，那么剩余黑色区域的面积是多少？
16
【解析】如图，长方形长的
9
=宽的3
4
，可求出长与宽的比，再根据面积小于200确定面
积大小，从长方形面积中减去A、B、C就是阴影部分面积。
长×9
10
=宽×3
4
，长：
宽=4:
3
面积＜200的整数，所以长=16，宽=12，面积=192S=（16⨯9）2=81，
A16
S=（16⨯7）2=49S=（12⨯1）2=9
S阴影=192-81-19-9=53。
B16C4
24.【梯形蝴蝶】如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，∆DEF的面积是5平方厘米，∆CED的面积是10平方厘米．问：
四边形ABEF的面积是多少平方厘米？
AFDAFD
BCBC
【解析】连接BF，根据梯形模型，可知三角形BEF的面积和三角形DEC的面积相等，即其面积也是10平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE的面积为10⨯10÷5=20（平方厘米），所以长方形的面积为（20+10）⨯2=60（平方厘米）．四边形ABEF的面积为
60-5-10-20=25（平方厘米）．
25.【面积与重叠】奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为6厘米，外圆直
径为8厘米的五个环组成，其中两两相交的小曲边四边形（阴影部分）的面积都相等，已知五个圆环盖住的面积是77.1平方厘米，求每个小曲边四边形的面积．（π=3.14）
【解析】⑴每个圆环的面积为：
π⨯42-π⨯32=7π=21.98（平方厘米）；
⑵五个圆环的面积和为：
21.98⨯5=109.9（平方厘米）；
⑶八个阴影的面积为：
109.9-77.1=32.8（平方厘米）；
⑷每个阴影的面积为：
32.8÷8=4.1（平方厘米）．
26.【圆柱体表面积】如图是一个半径为4厘米，高为4厘米的圆柱体，在它的中间依次向下挖半径分别为3厘米、2厘米、1厘米，高分别为2厘米、1厘米、0.5厘米的圆柱体，则最后得到的立体图形表面积是多少平方厘米？
【解析】圆柱挖掉3个小圆柱，表面积会增3个圆柱的侧面积，底面积总和不变。
总表面积为：
2×3π×2+2×2π×1+2×1π×0.5=12π+4π+1π=17π
27.【等积变形】输液100毫升，每分钟输2.5毫升．如图，请你观察第12分钟时图中的数据，问：
整个吊瓶的容积是多少毫升？
【解析】100毫升的吊瓶在正放时，液体在100毫升线下方，上方是空的，容积是多少不好算．但倒过来后，变成圆柱体，根据标示的格子就可以算出来．
由于每分钟输2.5毫升，12分钟已输液2.5⨯12=30（毫升），因此开始输液时液面应与50毫升的格线平齐，上面空的部分是50毫升的容积．所以整个吊瓶的容积
是100+50=150（毫升）．
28.【表面积变化】如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、
面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？
【解析】大立方体的表面积是20⨯20⨯6=2400平方厘米．在角上挖掉一个小正方体后，外面少了3个面，但里面又多出3个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了2个面，
但里面多出4个面；在面上挖掉一个小正方体后，外面少了1个面，但里面多出5个
面．所以，最后的情况是挖掉了三个小正方体，反而多出了6个面，可以计算出每个面的
面积：
（2454-2400）÷6=9平方厘米，说明小正方体的棱长是3厘米．
29.【燕尾模型】如图，已知BD=3DC，EC=2AE，BE与AD相交于点O,则△ABC
被分成的4部分面积各占△ABC
面积的几分之几？
AA
BDCB
3D1C
【解析】连接CO,设S△AEO=1份，则其他部分的面积如图所示，所以
S△ABC=1+2+9+18=30份，所以四部分按从小到大各占△ABC面积的
1,2+4.5=13,9=3,13.5=9
30306030103020
30.【格点与面积】如图（a），有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．计算三角形ABC的面积．
A
E
CCCC
FD
R
BBBBG
（a）
（b）
（c）（d）
【解析】方法一：
如图（b）所示，在
ABC内连接相邻的三个点成
DEF，再连接DC、EA、FB后是
ABC
可看成是由
DEF分别延长FD、DE、EF边一倍、一倍、二倍而成的，由等积变
换不难得到S
ACD=2，S
3，S
4，所以S=1+2+3+4=10（面积单位）．
方法二：
如图（c）所示，作辅助线把图Ⅰ′、Ⅱ′、Ⅲ′分别移拼到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，这样可以通过数小正三角形的方法，求出
ABC的面积为10．
方法三：
如图（d）所示：
作辅助线可知：
平行四边形ARBE中有6个小正三角形，
而
ABE的面积是平行四边形ARBE面积的一半，即S3，平行四边形
ADCH中有4个小正三角形，而
ADC的面积是平行四边形ADCH面积的一半，
即SACD=2．平行四边形FBGC中有8个小正三角形，而
FBC的面积是平行四
边形FBGC的一半，即：
S4．所以S=1+2+3+4=10（面积单位）．
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