初三数学二次函数专题训练含答案.docx

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初三数学二次函数专题训练含答案

二次函数专题训练（含答案）

一、填空题

1.把抛物线,y=-/向左平移2个单位得抛物线,接着再向下平移3个

2

单位，得抛物线.

2.函数y=-2/+x图象的对称轴是,最大值是.

3.正方形边长为3,如果边长增加x面积就增加y,那么y与x之间的函数关系是.

4.二次函数y=一2—+8x-6,通过配方化为y=a（x-h）2+k的形为.

5.二次函数y+c（c不为零），当x取X%X2（xi=#X2）时，函数值相等，则

X1与X2的关系是,

6.抛物线y+〃x+c当b=0时，对称轴是,当a,b同号时，对称轴在

y轴侧，当a,b异号时，对称轴在y轴侧.

7.抛物线y=-2（x+l）2—3开口,对称轴是,顶点坐标是.如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是.

8.若a?

0,则函数y=2/+ax-5图象的顶点在第象限；当乂？

一人时，函

4

数值随x的增大而.

9.二次函数y+以+c（a=#0）当a?

0时，图象的开口a?

0时，图象的开

口,顶点坐标是.

10.抛物线），=-3（%一0）2,开口,顶点坐标是,对称轴是.

11.二次函数y=-3（xf+（的图象的顶点坐标是（1,-2）.

12.已知y=1（x+l）2—2,当x时，函数值随x的增大而减小.

13.已知直线y=2x—l与抛物线y=5/+k交点的横坐标为2,则k二,交点坐标为.

2

14.用配方法将二次函数y=x1+—x化成y=a（x-h）2+k的形式是.

15.如果二次函数'=一-6x+〃7的最小值是1,那么m的值是

二、选择题：

16.在抛物线），=2/一3工+1上的点是（）

1

A.（0,7）B.一,0C.（T,5）D,（3,4）

12）

5o1

17.直线y=」x—2与抛物线y=—x的交点个数是（）

22

个个个D.互相重合的两个

18.关于抛物线y=&/+Z?

x+c（aWO）,下面几点结论中，正确的有（）

1当a?

0时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大，当a?

0时，情况相反.

2抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.

3只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同.

4一元二次方程ad+bx+c=O（a手0）的根，就是抛物线y+）x+c与x轴

交点的横坐标.

A.①②③④B.①②③C.①②D.①

19,二次函数y=（x+1）（x-3）,则图象的对称轴是（）

=1=-2=3二-3

20.如果一次函数y=ax+〃的图象如图代13-3-12中A所示，那么二次函y=ax2+

区-3的大致图象是（）

图代13-2-12

21.若抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-2,—=（）

h

11

B.-D.-

24

22.若函数y=色的图象经过点（1,-2）,那么抛物线y=。

工2+（a—［）x+a+3的性x

质说得全对的是（）

A.开口向下,

B.开口向下,

C.开口向上,

D.开口向下,

对称轴在y轴右侧,

对称轴在y轴左侧,

对称轴在y轴左侧,

对称轴在y轴右侧,

图象与正半y轴相交

图象与正半y轴相交

图象与负半y轴相交

图象与负半y轴相交

23.二次函数y=,/+/?

x+c中，如果b+c=O,则那时图象经过的点是（）

A.（-1,-1）

B.（1,1）C.（1,-1）

D.（-1,1）

24.函数y=ax2与y=2（a?

0）

x

在同一直角坐标系中的大致图象是（

）

图代13-3-13

25.如图代13-374,

抛物线y=/+Z?

x+c与y轴交于A点，与x轴正半轴交于B,

C两点，且BC=3,

=5

二-5

Saabc=6,贝“b的值是（）

26.二次函数y=ax2

（a?

0）,若要使函数值永远小于零，则自变量x的取值范围是

）

A.X取任何实数

?

0

?

0

?

0或x?

0

27.抛物线y=2（x—3）2+4向左平移1个单位，向下平移两个单位后的解析式为

A.y=2（x-4）2+6

B.丁=2（1一4尸+2

C.y=2（x-2）2+2

D.y=3（工一3尸+2

28.二次函数y=x2+ykx+9k2

（k?

0）图象的顶点在（）

轴的负半轴上

轴的负半轴上

轴的正半轴上

轴的正半轴上

29.四个函数：

y=一x,y=x+\.y=--x

（x?

0）,y=-x2（x?

0）,其中图象经过原

点的函数有（

个个

30.不论x为值何,

函数y=ax1+bx+c

（a*0）的值永远小于0的条件是（）

?

0,A?

0

?

0,A?

0

C.a?

0,A?

0三、解答题

?

0,A?

0

31.已知二次函数y=/+2"工一2/?

+1和丁=一/+（〃-3）x+〃-1的图象都经过x轴上两上不同的点M.N,求a,b的值.

32.已知二次函数y=a/+/?

x+c的图象经过点A（2,4）,顶点的横坐标为;，它

的图象与x轴交于两点B（xi,0）,C（x2,0）,与y轴交于点D,且x：

=13,试

问：

y轴上是否存在点P,使得APOB与△口（）（）相似（0为坐标原点）若存在，请求出过P,B两点直线的解析式，若不存在，请说明理由.

33.如图代13-375,抛物线与直线厂k（x-4）都经过坐标轴的正半轴上A,B两点，该抛物线的对称轴x=-21与x轴相交于点C,且NABC=90°,求：

（1）直线AB的解析式;

（2）抛物线的解析式.

34.中图代13-376,抛物线y="/-3x+c交x轴正方向于A,B两点、，交y轴正方

向于C点，过A,B,C三点做。

D,若。

D与y轴相切.

（1）求a,c满足的关系；

（2）设NACB二a,求tga；（3）设抛物线顶点为P,判断直线PA与。

0的位置关系并证明.

35.如图代13-377,这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断面的地平线为x轴，横断面的对称轴为y轴，桥拱的DGD'部分为一段抛物线，顶点C的高度为8米，AD和A'D'是两侧高为米的支柱，0A和0A'为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD和C'D'为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1：

4.求

（1）桥拱DGD'所在抛物线的解析式及CC'的长；

（2）BE和B'E'为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB和A'B'为两个方向的行人及非机动车通行区，试求AB和A'B'的宽；

（3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米，它能，否从0A（或0A'）区域安全通过请说明理由.

图代13-3-17

为坐标原点，分别以OA,0B为直径作。

Oi和。

。

2在y轴的哪一侧简要说明理由，并指出两圆的位置关系.

37.如果抛物线丁=一炉+2（机-l）x+〃?

+l与x轴都交于A,B两点，且A点在x轴

的正半轴上，B点在x同的负半轴上，0A的长是a,OB的长是b.

（1）求m的取值范围；

（2）若a：

b=3：

1,求m的值，并写出此时抛物线的解析式；

（3）设

（2）中的抛物线与y轴交于点C,抛物线的顶点是M,问：

抛物线上是否存在点P,使4PAB的面积等于ABCM面积的8倍若存在，求出P点的坐标：

若不存在，请说明理由.

38.已知：

如图代13-378,EB是。

。

的直径，且EB=6,在BE的延长线上取点P,使E片

是EP上一点，过A作00的切线AD,切点为D,过D作DFLAB于F,过B作AD的垂线BH,交AD的延长线于H,连结ED和FH.

图代13-3-18

（1）若AE=2,求AD的长.

（2）当点A在EP上移动（点A不与点E重合）时，①是否总有22=空试证明

AHFH

你的结论；②设ED=x,BH=y,求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

39.已知二次函数y=x~一（〃/-4/7/+—）x-2（w2-4"?

+2）的图象与x轴的交点为22

A,B（点A在点B右边），与y轴的交点为C.

（1）若4ABC为RtA,求m的值；

（2）在AABC中，若AC=BC,求NACB的正弦值；

（3）设AABC的面积为S,求当m为何值时，S有最小值，并求这个最小值.

40.如图代13-379,在直角坐标系中，以AB为直径的。

C交x轴于A,交y轴于B,满足0人：

08=4：

3,以0C为直径作。

D,设。

D的半径为2.

困代13-3-19

（1）求。

C的圆心坐标.

（2）过C作0D的切线EF交x轴于E,交y轴于F,求直线EF的解析式.

（3）抛物线y=。

工2+bx+c（a*0）的对称轴过C点，顶点在。

C上，与y轴交点为B,求抛物线的解析式.

41.已知直线y=—x和y=-x+m,

二次函数y=/+px+q图象的顶点为M.

（1）若M恰在直线y=11与y=-x+〃7的交点处，试证明：

无论m取何实数值,2

二次函数y=x2+px+q的图象与直线y=-x+〃?

总有两个不同的交点.

（2）在

（1）的条件下，若直线y=过点D（0,-3）,求二次函数

y=x?

+px+q的表达式，并作出其大致图象.

（3）在

（2）的条件下，若二次函数yui+px+g的图象与y轴交于点c,与x

同

的左交点为A,试在直线,，上求异于M点P,使P在△CMA的外接圆上.

42.如图代13-3-20,已知抛物线丁=一一+ax+〃与x轴从左至右交于A,B两点,与y轴交于点C,且NBAC=a,NABC=B,tga-tg3=2,ZACB=900.

（1）求点C的坐标；

（2）求抛物线的解析式：

（3）若抛物线的顶点为P,求四边形ABPC的面积.

参考答案

动脑动手

1.设每件提高X元（OWxWIO）,即每件可获利润（2+x）元，则每天可销售（100-10X）

件，设每天所获利润为y元，依题意，得

y=（2+x）（100-10x）

=-10.r2+80.v+200

=-1O（x-4）2+36O.

当x=4时（OWxWIO）所获利泗最大，即售出价为14元，每天所赚得最大利润360元.

2.*.*y=nix2-13〃?

+g}+4,

当x=0时，y=4.

、，4）4

当ntx2-3m+—x+4=0,〃？

00时=3,rm=——.

k3/-3m

即抛物线与y轴的交点为（0,4）,与

（1）当AC二BC时，

4工

/•y

（2）当AC=AB时，

AO=

■♦・

：

■

p1,1,11彳当〃？

=一时，y=一工--一X+4：

666

p2工2,2

当m=时，y=—一工一+—x+43'33

（3）当AB=BC时，

3-—3n

■

••

X轴的交点为A（3,0）,g

「4

-=-3,m=——.9

4，A

=一一厂+49

3,OC=4,AC=5.

3--=5.3m

12

=-J/h6-3

■

N+Q）-

8

m=——.7

.8244.।

••\'=——x+—x+4・

'721

可求抛物线解析式为：

y=-—x2+4,y=—x2-—x+4.y=--x2--x+4或

9‘66'33

），=_，、变x+4.721

3.

（1）•••△=[—（〃/-5）『一4（2〃/+6）

=m+2m+1

=（〃/+1/A0

，不论m取何值，抛物线,与x轴必有两个交点.

令y=0,得x?

—。

〃2+5）x+2〃?

2+6=。

（x-2）（x-/h2-3）=0,

/.x}=2,x2=〃尸+3.

二两交点中必有一个交点是A（2,0）.

（2）由

（1）得另一个交点B的坐标是（m2+3,0）.

d=nr+3-2|=m~+1,

•?

m2+10?

0,Ad=m2+1.

（3）①当d=10时，得#=9.

AA（2,0）,B（12,0）.

y=x2-14x+24=（x—7）2—25.

该抛物线的对称轴是直线x=7,顶点为（7,-25）,，AB的中点E（7,0）

过点P作PhUAB于点M,连结PE,

则PE」A8=5,PM2=b?

.ME?

=（7-a）2,

2

（7—4）2+/=52.

V点PD在抛物线上,

〃=3-7）2-25.

解①②联合方程组，得仇=一1,%=0.

当b=0时，点P在x轴上，Z\ABP不存在，b=0,舍去.，b=T.

注：

求b的值还有其他思路，请读者探觅，写出解答过程.

②AABP为挽角三角形时，则-25Wb?

7;

△ABP为钝角三角形时，则b?

-1,且b手0.

同步题库

一、填空题

1）1,11）

1.y=--（x+2）\y=--（x+2）--3；2.x=-9-；3.y=（x+3）2-9：

4.

y=-2（x-2）2+2；5,互为相反数：

轴，左，右:

7.下，x=-1,（7,-3）,x?

-1：

t-z〈b4ac-b2\b

8.四，增大：

9.向上，向下，——,,x=——；10.向下，（h,0）,x=h：

2a4aJ2a

（1A21

-2：

?

-1:

（2,3）;14.y=x+-:

.

I3j9

二、选择题

28.

C三、解答题

31.解法一：

依题意，设M（xi,0）,N（X2,0）,且xi于X2,则山，X2为方程x2+2ax-2b+1=0的两个实数根，

/.匹+工2=-2。

x\x2=一2b+1.

Vxi,X2又是方程一+（。

-3）工+/r一1=0的两个实数根,

/.Xi+xFa-3,Xi•X2=1-b2.

-2。

=。

一3,■

—2b+l=l—bL

"=L或.

〃=0;

解得

a=1,

b=2.

当a=1,b=0时，二次函数的图象与x轴只有一个交点，

/.a=1,b=0舍去.

当a=1；b=2时，二次函数y=+2x—3和y=一厂—2x+3符合题意.

/.a=1,b=2.

解法二：

;二次函数y=/+2ax-2Z?

+1的图象对称轴为工=-a,

y=-x2+x+6.

与x轴交点坐标为（-2,0）,（3,0）・

与y轴交点D坐标为（0,6）.

设y轴上存在点P,使得△POBs/WOC,则有

（1）

当B（-2,0）,C（3,0）,D（0,6）时，有

迫=".OB=2,OC=3.OD=6.OCOD

A0P=4,即点P坐标为（0,4）或（0,-4）.

当P点坐标为（0,4）时，可设过P,B两点直线的解析式为

y=kx+4.

0=-2k-4.

k=-2.

y=-2x-4.

迫="QB=2,OD=6,OC=3.

ODOC

A0P=1,这时P点坐标为（0,1）或（0,-1）.

当P点坐标为（0,1）时，可设过P,B两点直线的解析式为

y=kx+1.

0=-2k+1.

k=-.2

1

y=—x+1.

2

当P点坐标为（0,-1）时，可设过P,B两点直线的解析式为

y=kx-i,

0=-2k-1,

k=--.

2

1,y=--x-1.

2

当B（3,0）,C（-2,0）,D（0,6）时，同理可得

y=-3x+9,

y=3x-9,

1,

V=--x+1,

3

1।

r-L

33.解：

（1）在直线y=k（x-4）中,令y=0,得x=4.

••・A点坐标为（4,0）.

NABC=900.

△CBD^ABAO,

黑二黑，即—

又：

C0=1,0A=4,

/.0B2=1X4=4.

A0B=2（OB=-2舍去）

，B点坐标为（0,2）.

将点B（0,2）的坐标代入尸k（x-4）中，得女=一1.2

直线的解析式为：

y=^-x+2.2

（2）解法一：

设抛物线的解析式为y=a（x+l）2+〃，函数图象过A（4,0）,B（0,2）,得

25a+〃=0,<

a+h=2.

解得a=--J1=—.

1212

I25

工抛物线的解析式为：

y=（x+1）2+—.

1212

解法二：

设抛物线的解析式为：

y=ax2+bx+c9又设点A（4,0）关于x=-1的对

称是D.

CA=1+4=5,

ACD=5.

/.0D=6.

，D点坐标为（-6,0）.

将点A（4,0）,B（0,2）,D（-6,0）代入抛物线方程，得

16。

+4/?

+c=0,

36。

-6/?

+c=0.

解得a=--.b=--,c=2.

126

工抛物线的解析式为：

y=-—%2--x+2.

126

34解：

（1）A,B的横坐标是方程。

V-3x+c=0的两根，设为m,X2（x2?

xi）,C的

纵坐标是C.

又ly轴与O0相切,

0A•OB=OC2.

•2

••X1•X2=C.

又由方程ax1-3x+c=0知

Ac2=—,即ac=1.

a

（2）连结PD,交x轴于E,直线PD必为抛物线的对称轴，连结AD、BD,

图代13-3-22

AE=-AB.

2

ZACB=-ZADB=ZADE=a.

2

a?

0,X2?

Xi,

==立王=且

ED=OC=c.

（3）设NPAB=B,

•••P点的坐标为1-一,一上-|,又「a?

。

Ila4aJ

，在RtZkPAE中，PE=—.

4a

tg3=tga.3=a./.ZPAE=ZADE.

NADE+NDAE=90°

/.PA和。

D相切.

35.解：

（1）设DGD'所在的抛物线的解析式为

由题意得G（0,8）,D（15,）.

8=c,

解得

5.5=25。

+c.

1

a=,

90

c=8.

・..DGD'所在的抛物线的解析式为尸一

AD1一=一且AD=,

AC4

AC=X4=22（米）.

cc'=2OC=2x（QA+AC）=2x（15+22）

=74（米）.

答：

cc'的长为74米.

BC4

ABC=16.

AAB=AC-BC=22-16=6（米）,

答：

AB和A'B'的宽都是6米.

（3）在），=一」_『+8中，当x=4时，

90

137

v=--xl6+8=7—.

9045

3719

•••7—-（7+0.4）=—?

0.

4545

，该大型货车可以从OA（0A1）区域安全通过.

36.解:

（1）与06外切于原点0,

AA,B两点分别位于原点两旁，即a?

0,b?

0.

工方程/一（〃?

+4）%+〃?

+2=0的两个根a,b异号.

/•ab=m+2?

0,

（2）当m?

-2,且mW-4时，四边形POQQ是直角梯形.

根据题意，计算得S四边形股0m=1〃（或Lj或1）.

22

m=-4时，四边形P0i020是矩形.

根据题意，计算得S四边形pqo,。

=1〃（或Lj或1）.

22

（3）•/A=（m+4）2-4（/n+2）=（ni+2）2+4?

0

:

.方程X?

—+4）刃+〃7+2=0有两个不相等的实数根.

\em?

-2,

a+/?

=+4>0,■

••

ab=〃?

+2A0.

Aa?

0,b?

0.

，。

01与。

O2都在y轴右侧，并且两圆内切.

37.解:

（1）设A,B两点的坐标分别是（xi,0）、（X2,0）,

■:

A,B两点在原点的两侧，

AxiX2?

0,即-（m+1）?

0,

解得m?

-1.

A=[2（m-1）/一4x（—1）x（〃?

+1）

=4/?

/2-4m+8

=4（〃?

一;）2+7

当m?

-1时,A?

0,的取值范围是m?

7.

（2）Va：

b=3：

1,设a=3k,b=k（k?

0）,则Xi=3k,X2=-k,

.（3k-k=2（772-1）,

3k•（一女）=-（//?

+!

）.

解得inA=2,m2=—.

14

•・•〃?

=一时，X]+X,=-一（不合题意，舍去），3〜3

/.m=2

工抛物线的解析式是y=-—+x+3.

（3）易求抛物线y=——+2x+3与x轴的两个交点坐标是A（3,0）,B（7,0）

与y轴交点坐标是C（0,3）,顶点坐标是M（1,4）.

设直线BM的解析式为y=px+q9

则[4=p,l+q,

O=p・（_l）+q.

p=2,解得\

q=2.

直线BM的解析式是y=2x+2.设直线BM与y轴交于N,则N点坐标是（0,2）,

•C=Q.C

••八BCM-。

耶CN^1MNC

=—xlxl+—xlxl

22

=1.

设P点坐标是（x,y）,

^-xA5x|y|=8xl.

|x4x|>-|=8.

当尸4时，P点与M点重合,

当y=~4时，-4=-x2+2x+3,

解得

\y\=4.'y=±4.

印P（1,4）,

x=\±2^/2.

工满足条件的P点存在.

P点坐标是（1,4）,（1+2立-4）,（1-2衣-4）.

38.

（1）解：

・・逆口切。

。

于D,AE=2,EB=6,/.AD2=AE•AB=2X（2+6）=16.

/.AD=4.

图代13-2-23ahFD

（2）①无论点A在EP上怎么移动（点A不与点E重合），总有——=——

AHFH

证法一：

连结