初二初三数学衔接十七二次函数的应用.docx

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初二初三数学衔接十七二次函数的应用

初二-初三函数衔接之

第十六节：

二次函数的应用

【导学过程】

1、把握变量之间的函数关系;：

课前准备

1）已知：

二次函数y=2（x－3）2+4，当x＝______时，y有最_____值为_______。

2）已知：

二次函数y=－

x2+

x+

，当x＝_____时，y有最_____值为_______。

3）已知：

二次函数y=－

x2+3x+1，且自变量x的范围为0≤x≤2，当x＝_____时，y有最大值为_____。

自主学习:

一座拱桥的纵截面是抛物线的一段，拱桥的跨度是4.9米，水面宽4米时，拱顶离水面2米，想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化？

你能想出办法来吗？

设问：

①这是什么样的函数？

②怎样建立直角坐标系比较简便？

③如何设函数的解析式？

如何确定系数？

④自变量的取值范围是什么？

⑤当水面宽3米时，拱顶离水面高多少米？

⑥你是否体会到：

从实际问题建立起函数模型，对于解决问题是有效的？

合作探究

1.某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。

物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。

市场调查发现：

单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。

在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。

设销售单价为x元，日均获利为y元。

（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；

（2）求出该二次函数的顶点坐标；在直角坐标系画出草图；观察图象，指出单价定为多少

元时日均获利最多，是多少？

课堂检测

1．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程．

下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．

根据图象提供的信息，解答下列问题：

（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；

（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；

（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？

2、二次函数与一元二次方程的联系：

[活动1]

问题：

如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,球的飞行高度h（单位:

m）与飞行时间t（单位:

s）之间具有关系：

．

（1）球的飞行高度能否达到15m?

若能,需要多少时间?

（2）球的飞行高度能否达到20m?

若能,需要多少时间?

（3）球的飞行高度能否达到20.5m?

若能,需要多少时间?

（4）球从飞出到落地要用多少时间?

[活动2]

问题：

观察图象：

（1）二次函数y＝x2＋x－2的图象与x轴有____个交点，则一元二次方程x2＋x－2＝0的根的判别式△＝_______0；

（2）二次函数y＝x2－6x＋9的图像与x轴有___________个交点，则一元二次方程

x2－6x＋9＝0的根的判别式△＝_______0；

（3）二次函数y＝x2－x＋1的图象与x轴________公共点，则一元二次方程x2－x＋1＝0的根的判别式△_______0．

[活动3]理一理知识

1．已知二次函数y＝－x2＋4x的函数值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程_________．反之，解一元二次方程－x2＋4x＝3又可以看作已知二次函数_____________的函数值为3的自变量x的值．

一般地：

已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为m，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m．反之，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m又可以看作已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的值为m的自变量x的值．

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的位置关系：

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式△＝b2－4ac．

（1）当△＝b2－4ac＞0时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点；

（2）当△＝b2－4ac＝0时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个交点；

（3）当△＝b2－4ac＜0时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有公共点．

[活动4]基本知识练习

1．二次函数y＝x2－3x＋2，当x＝1时，y＝________；当y＝0时，x＝_______．

2．二次函数y＝x2－4x＋6，当x＝________时，y＝3．

3．如图，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为____________

4．如图一元二次方程ax2＋bx＋c＝3的解为_________________

5．如图填空：

（1）a________0

（2）b________0

（3）c________0（4）b2－4ac________0

【课堂训练】

1．特殊代数式求值：

①如图，看图填空：

（1）a＋b＋c_______0

（2）a－b＋c_______0

（3）2a－b_______0

②如图2a＋b_______0

4a＋2b＋c_______0

2．利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式

（1）方程ax2＋bx＋c＝0的根为___________；

（2）方程ax2＋bx＋c＝－3的根为__________；

（3）方程ax2＋bx＋c＝－4的根为__________；

（4）不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为________；

（5）不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为________；

（6）不等式－4＜ax2＋bx＋c＜0的解集为________．

3.根据图象填空：

（1）a_____0；

（2）b_____0；（3）c______0；

（4）△＝b2－4ac_____0；（5）a＋b＋c_____0；

（6）a－b＋c_____0；（7）2a＋b_____0；

（8）方程ax2＋bx＋c＝0的根为__________；

（9）当y＞0时，x的范围为___________；（10）当y＜0时，x的范围为___________；

三、二次函数的实际应用

（一）、优化问题

合作探究：

1、问题：

某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:

在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.请你帮助分析:

销售单价是多少时,可以获利最多?

问题1、总利润=×，单件利润=—。

2、在这个问题中有那些变量？

其中哪些是自变量？

哪些是因变量？

3、根据前面的分析我们若设每个涨价x元，总利润为y元，此时y与x之间的函数关系式是，化为一般式。

这里y是x的函数。

现在求最大利润，实质就是求此二次函数的最值，你会求吗？

试试看。

尝试1：

某种粮大户去年种植优质水稻360亩，今年计划增加承租x（100≤x≤150）亩，预计，原种植的360亩水稻今年每亩可收益440元，新增地今年每亩的收益为（440-2x）元，试问，该种粮大户今年要增加承租多少亩水稻，才能使总收益最大？

最大收益是多少？

变式：

（1）如果x的范围改为80≤x≤100呢？

（2）范围改为120≤x≤150呢？

尝试2：

（1）若用一段长12m的铝合金型材做一个如图所示的矩形窗框，

那么当矩形的长、宽分别为多少时，才能使该窗户的透光面积最大？

（2）若用一段长12m的铝合金型材做一个上部是半圆、下部是矩形的

窗框，那么当矩形的长、宽分别为多少时，才能使该窗户的透光面积最

大？

尝试3：

如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB

和AD分别在两直角边上.

（1）设矩形的一边AB=xcm,那么AD边的长度如何表示？

（2）设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?

对应练习：

某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．

（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多

（二）图像问题

例：

某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为4．4m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2．8m，装货宽度为2．4m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．

展示与研讨：

尝试1：

在一场足球比赛中，有一个球员从球门正前方10米处将球踢向球门，当球飞行的水平距离为6米时，球到达最高点，此时球高3米，已知球门AB高2.44米，问该球员能否射中球门？

尝试2：

王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线

，其中y（m）是球的飞行高度，x（m）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m，如图所示：

（1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴；

（2）请求出球飞行的最大水平距离；

（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进

洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式。

对应练习：

1、如图，一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状。

一身高0.7米的小孩站在离立柱0.4米处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离。

2、一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米。

⑴问此球能否投中？

⑵在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度为多少时能将篮球投入篮圈?

（3）、综合应用

例1.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s

的速度移动，同时点Q从点B出发，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，回答下列问题：

（1）设运动后开始第t（单位：

s）时，五边形APQCD的面积为S（单位：

cm2），写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围

（2）t为何值时S最小？

求出S的最小值

例2、（2013•新疆压轴题）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在

（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？

若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）若点E是

（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．

对应练习：

如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB＝2OA，点A的坐标是（－1,2）．

（1）求点B的坐标；

（2）求点A、O、B的抛物线的表达式；

（3）连接AB，在

（2）中的抛物线上求出点P，使得S△ABP＝S△ABO.

【达标训练】

1．已知抛物线y＝x2－2kx＋9的顶点在x轴上，则k＝____________．

2．已知抛物线y＝kx2＋2x－1与坐标轴有三个交点，则k的取值范围___________．

3．已知函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，且a≠0）

的图象如图所示，则关于x的方程ax2＋bx＋c－4＝0的

根的情况是（）

A．有两个不相等的正实数根B．有两个异号实数根

C．有两个相等实数根D．无实数

4．如图为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，在下列说法中：

①ac＜0；②方程ax2＋bx＋c＝0的根是x1＝－1，x2＝3；

③a＋b＋c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大．

正确的说法有_______________（把正确的序号都填在横线上）．

5、如图所示，二次函数y=﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A

（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．

（1）求m的值；

（2）求点B的坐标；

（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0）

使S△ABD=S△ABC，求点D的坐标．

6、如图所示,桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.

（1）如果不计其它因素,那么水池的半径至少要多少才能使喷出的水流不致落到池外？

（2）若水流喷出的抛物线形状与

（1）相同,水池的半径为3.5m,要使水流不落到池外,此时水流的最大高度应达到多少m（精确到0.1m）？

7、某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）。

在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面32/3米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是

（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为18/5米，问此次跳水会不会失误？

并通过计算说明理由。

8、如图所示，有一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCO的三边组成，隧道的最大高度为4.9m，AB=10m，BC=2.4m.。

现把隧道的横断面放在平面直角坐标系中，若有一辆高为4m，宽为2m的装有集装箱的汽车要通过隧道.问：

如果不考虑其他因素，汽车的右侧离开隧道右壁多少米才不至于碰隧道顶部？

（抛物线部分为隧道顶部，AO、BC为壁）