初三数学二次函数练习题.docx
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初三数学二次函数练习题
二次函数
基础达标验收卷
选择题：
1.
3大连）
抛物线y
2
（x2）2
3的对称轴是（
2.
3.
4.
5.
A.直线x
直线x2
4重庆）
3B.
直线x
D.直线x2
二次函数yax
bx
右图，则点M（b,c）在（
a
A.第一象限
C.第三象限
4天津）已知二次函数
定有（
B.
D.
第二象限
第四象限
C.
c的图象如
yax2bxc，且a0，
bc0，则一
A.b24ac0B.b24ac0C.b24ac0
3杭州）把抛物线yx2bxc向右平移3个单位，
个单位，所得图象的解析式是
2
yx2
3x5，则有
A.b3，c7
C.b3，c3
B.
D.
3南通）已知反比例函数y
D.b24ac≤
再向下平移2
9，
9，
c15
c21
k的图象如右图所示，
x
则二次函数
6.
3哈尔滨）下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数
yax2（ac）xc与一次函数yaxc的大致图象，有且只有一个是
、填空题：
10.（4河北）将二次函数yx22x3配方成y（xh）2k的形式，则y=.
11.（3甘肃）已知抛物线yax2bxc与x轴有两个交点，那么一元
二次方程ax2bxc0的根的情况是.
12.（3黑龙江）已知抛物线yax2xc与x轴交点的横坐标为1，
则ac=.
13.（3新疆）请你写出函数y（x1）2与yx21具有的一个共同性质：
14.有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点：
甲：
对称轴是直线x4；乙：
与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：
与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：
15.（4武汉）已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：
16.（5宁夏）如图，抛物线的对称轴是x1，与x轴交于A、B两点，若B点坐标是（3,0），则A点的坐标是.
17.（5江苏）已知抛物线yx26x5的部分图象如图，则抛物线的对称轴为直线x=，满足y0的x的取值范围是
，将抛物线yx26x5向平移
三、解答题：
1）求这个函数的解析式；2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；
3）当x0时，求使y≥2的x的取值范围.
形，试求点P的坐标.
3.（3辽宁）某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）.
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到几月累积利润可达到3万元；
3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
4.（3上海）卢浦大桥拱形可以近似地看作抛物线的一部分.在大桥截面1:
11的比例图上去，跨度AB=5cm，拱高OC=.9cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图
（1）.在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图
（2）.
（1）求出图
（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；
（2）如果DE与AB的距离OM=.45cm，求卢浦大桥拱内实际桥
长（备用数据：
2≈1.4，计算结果精确到1米）.
5.（5武汉）已知二次函数yax2axm的图象交x轴于A（x1,0）、B（x2,0）两点，x1x2，交y轴的负半轴与C点，且AB=3，tan∠BAC=tan∠ABC=1.
（1）求此二次函数的解析式；
2）在．第．一．象．限．，抛物线上是否存在点P，使S△PAB=6？
若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请你说明理由.
能力提高练习
一、学科内综合题
1.（4天津）已知抛物线yx2bxc与x轴只有一个交点，且交点为A（2,0）.
（1）求b、c的值；
（2）若抛物线与y轴的交点为B，坐标原点为O，求△OAB的面积（答案可带根号）.
、实际应用题
2.（3山西）启明星、公司生产某种产品，每件产品成本是3元，
售价是4元，年销售量为1万件.为了获得更好的效益，公司准
备拿出一定的资金做广告.根据经验，每年投入的广告费是x（万
如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费：
1）试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元？
2）把
（1）中的最大利润留出3万元做广告，其余的资金投资新项目，现有6个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表：
项
目
A
B
C
D
E
F
每股（万元）
5
2
6
4
6
8
收益（万元）
.55
.4
.6
.5
.9
1
如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收益总额不得低于1.6万元，问有几种符合要求的投资方式？
写出每种投资方式所选的项目.
3.（3吉林）如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为2m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是1m.
1）求此抛物线的解析式；
2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙
地，已知甲地距此桥28km（桥长忽略不计）.货车正以每小时4km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通知：
前方连降暴雨，造成水位以每小时.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）.试问：
如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？
若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？
4.（5河北）某机械租赁公司有同一型号的机械设备4套.经过一段时间的经营发现：
当每套机械设备的月租金为27元时，恰好全部租出.在此基础上，当每套设备的月租金提高1元时，这种设备就少租出一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用（维护费、管理费等）2元，设每套设备的月租金为x（元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益=租金收入－支出费用）为y（元）.
（1）用含x的代数式表示未租出的设备数（套）以及所有未租出设备（套）的支出费用；
（2）求y与x之间的二次函数关系式；
（3）当月租金分别为43元和35元时，租赁公司的月收益分别是多少元？
此时应该租出多少套机械设备？
请你简要说明理由；
（4）请把
（2）中所求的二次函数配方成y（xb）24acb的形2a4a式，并据此说明：
当x为何值时，租赁公司出租该型号设备
的月收益最大？
最大月收益是多少？
三、开放探索题
5.（3济南）某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要的结论：
一．是．发．现．抛物线yax22x3（a≠），当实数a变化时，它的顶．点．都在某条直线上；二．是．发．现．当实数a变化时，若把抛物线yax22x3的顶点的横坐标减少1，纵坐标增加1，得到A点的坐标；若把顶点的横坐标aa
增加1，纵坐标增加1，得到B点的坐标，则A、B两点一定仍在aa
抛物线yax22x3上.
（1）请你协助探求实数a变化时，抛物线yax22x3的顶．点．所
在直线的解析式；
（2）问题
（1）中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗？
并说明理由；
（3）在他们第二个发现的启发下，运用“一般——特殊——一般”的思想，你还能发现什么？
你能用数学语言将你的猜想表述出来吗？
你的猜想成立吗？
若能成立，请说明理由.
6.（4河南）某市近年来经济发展速度很快，根据统计，该市国内生产总值199年为8.6亿元人民币，1995年为1.4亿元人民币，2年为12.9亿元人民币.
经论证，上述数据适合一个二次函数关系.请你根据这个函数关系，预测25年该市国内生产总值将达到多少？
参考答案
基础达标验收卷
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
D
D
A
A
D
D
D
B
D
二、填空题：
值）
5，1，4
三、解答题：
得b2.
∴函数解析式为yx22x1
图象略.图象的顶点坐标为（1,2）.
根据图象知当x≥3时，y≥2.
∴当x0时，使y≥2的x的取值范围是x≥3.
2.解：
（1）由题意得15n0.∴n4.∴抛物线的解析式为
2yx5x4.
（2）∵点A的坐标为（1，），点B的坐标为（0,4）.
∴OA=1，OB=4.
在Rt△OAB中，ABOA2OB217，且点P在y轴正半轴上.
①当PB=PA时，PB17.∴OPPBOB174.
此时点P的坐标为（0,174）.
②当PA=AB时，OP=OB=4.此时点P的坐标为（，4）.
3.解：
（1）设s与t的函数关系式为sat2btc，
a1,abc1.5,abc1.5,a2,由题意得4a2bc2,或4a2bc2,解得b2,∴25a5bc2.5；c0.c0.
s1t22t.
2
（2）把s=3代入s21t22t，得3021t22t.解得t110，t26（舍去）
答：
截止到1月末公司累积利润可达到3万元.
（3）把t7代入，得s1722710.5.
2
把t8代入，得s1822816.
2
1610.55.5.
答：
第8个月获利润5.5万元.
4.解：
（1）由于顶点在y轴上，所以设这部分抛物线为图象的函数的解析式为yax29.
10
因为点A（5,0）或B（5,0）在抛物线上，所以0a·（5）29，
22210得a18.
125
因此所求函数解析式为y18x29（5≤x≤5）.
1251022
（2）因为点D、E的纵坐标为9，所以9189，得x52.
2020125104
所以点D的坐标为（52,9），点E的坐标为（52,9）.
420420所以DE52（52）52.
442因此卢浦大桥拱内实际桥长为5211000.012752385
2
（米）.
5.解：
（1）∵AB=3，x1x2，∴x2x13.由根与系数的关系有x1x21.
∴x11，x22.
∴OA=1，
OB=2，x1·x2
m2.a
∵tanBAC
tanABC1，
OCOC
∴1
OAOB
∴OC=2.
∴m2,a1.
∴此二次函数的解析式为yx2x2.
2）在第一象限，抛物线上存在一点P，使S△PAC=6.
解法一：
过点P作直线MN∥AC，交x轴于点M，交y轴于N，
连结PA、PC、MC、NA.
MN∥AC，∴S△MAC=S△NAC=S△PAC=6.
由
（1）有OA=1，OC=2.
11
∴1AM21CN16.∴AM=622
CN=12.
∴直线MN的解析式为y2x10.
∴在第一象限，抛物线上存在点P（3,4），使S△PAC=6.解法二：
设AP与y轴交于点D（0,m）（m>）∴直线AP的解析式为ymxm.
yx2x2,
ymxm.
∴x2（m1）xm20.
∴xAxPm1，∴xPm2.
又S△PAC=S△ADC+S△PDC=1CD·AO1CD·xP=1CD（AOxP）.
222
12
∴（m2）（1m2）6，m25m60
∴m6（舍去）或m1.∴在第一象限，抛物线上存在点P（3,4），使S△PAC=6.
能力提高练习
1.解：
（1）∵抛物线yx2bxc与x轴只有一个交点，
又点A的坐标为（2，），∴42bc0.②由①②得b4，a4.
（2）由
（1）得抛物线的解析式为yx24x4.当x0时，y4.∴点B的坐标为（，4）.
在Rt△OAB中，OA=2，OB=4，得ABOA2OB225.∴△OAB的周长为1425625.
2.解：
（1）S10
x2772
（x）（43）xx26x7.
101010
当x
2
63时，S最大4
（1）76216.
2
（1）最大4
（1）
∴当广告费是3万元时，公司获得的最大年利润是16万元.
（2）用于投资的资金是16313万元.
经分析，有两种投资方式符合要求，一种是取A、B、E各一股，投入资金为52613（万元），收益为.55+.4+.9=1.85（万元）＞1.6（万元）；另一种是取B、D、E各一股，投入资金为2+4+6=12（万元）＜13（万元），收益为.4+.5+.9=1.8（万元）＞1.6（万元）.
3.解：
（1）设抛物线的解析式为yax2，桥拱最高点到水面CD的距
离为h米，则D（5,h），B（10,h3）.
∴抛物线的解析式为y1x2.
25
（2）水位由CD处涨到点O的时间为1÷.25=4（小时），货车按原来速度行驶的路程为4×1+4×4=2<28，∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.
设货车的速度提高到x千米/时，
当4x401280时，x60.∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过6千米/时.
4.解：
（1）未出租的设备为x270套，所有未出租设备的支出为
10
（2x540）元.
（2）y（40x270）x（2x540）1x265x540.
1010
∴y1x265x540（.说明：
此处不要写出x的取值范围）10
（3）当月租金为3元时，租赁公司的月收益为114元，此时出租的设备为37套；当月租金为35元时，租赁公司的月收益为114元，此时出租的设备为32套.
因为出租37套和32套设备获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应选择出租32套；如果考虑市场占有率，应选择出租37套.
11
（4）yx265x540（x325）211102.5.
1010
∴当x325时，y有最大值1112.5.但是，当月租金为325元时，租出设备套数为34.5，而34.5不是整数，故租出设备应为34套或35套.即当月租金为为33元（租出34套）或月租金为32元（租出35套）时，租赁公司的月收益最
大，最大月收益均为111元.
5.解：
（1）当a1时，yx22x3的顶点坐标为（1,2）；当a1时，
yx22x3的顶点坐标为（1,4）.
设抛物线yx22x3的顶点在直线ykxb上，将（1,2）、（1,4）
代入，得
kkb.b,解得kb31,.
即抛物线yx22x3的顶点在直线yx3上.
（或由抛物线yax22x3的顶点坐标为（1,31），得其顶aa
点在直线yx3上）
2）直线yx3上有一个点（，3）不是抛物线的顶点抛物线yax22x3的顶点坐标为（1,31），aa当a≠时，顶点横坐标1≠.
a
∴点（，3）不是抛物线的顶点.
3）得出猜想：
对于抛物线yax2bxc（a≠），将其顶点的横坐标增加或减少1，纵坐标增加1，所得到的两个点一定aa
仍在抛物线上.（其他猜想，只要合理也对）
式进行证明，过程同上）
C（10,12.9）.
设二次函数解析式为y
ax2bxc，把A、
B、C三点坐标代入，
a0.014,b0.29,
c8.6.
c8.6,
25a5bc10.4,解得
100a10bc12.9.
∴二次函数解析式为y0.014x20.29x8.6.
当x15时，y16.1.
所以25年该市国内生产总值将达到16.1亿元人民币.
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