大学数学公式总结大全docWord格式.docx
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chxdx
shx
ln(x
a2)
x2
a2
2
sinn
cosn
n
1In2
In
xdx
a2dx
a2dx
lnx
基本积分表:
三角函数的有理式积分:
一些初等函数:
两个重要极限:
三角函数公式:
·
诱导公式:
函数
sin
cos
tg
ctg
角A
-α
-
α-tgα-
α
90°
-α
αsin
αctg
αtg
+α
α-
-tg
180°
tgαctg
αcos
270°
360°
α-tg
sinαctgα
+αsinαcosαtgαctgα
sin(
)
sinsin
2sin
cos(
tg(
2cos
1tg
ctg(
2sin
和差角公式:
和差化积公式:
倍角公式:
半角公式:
正弦定理:
b
c
2R
余弦定理:
c2
a2
b2
2abcosC
sinA
sinB
sinC
反三角函数性质:
arcsinx
arccosx
arctgx
arcctgx
高阶导数公式——莱布尼兹(
Leibniz
)公式:
中值定理与导数应用:
曲率:
定积分的近似计算:
定积分应用相关公式:
空间解析几何和向量代数:
多元函数微分法及应用
微分法在几何上的应用:
(t)
z0)处的切线方程:
xx0
yy0
z
z0
空间曲线y
(t)在点M(x0
y0
(t0)
(t0)
在点M处的法平面方程:
(t0)(xx0)(t0)(yy0)
(t0)(z
z0)
若空间曲线方程为:
F(x,y,z)
则切向量T
Fy
Fz
Fx
{
Fz
G(x,y,z)
Gy
GzGz
GxGx
曲面F(x,y,z)0上一点M(x0,y0,z0),则:
1、过此点的法向量:
{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}
2、过此点的切平面方程
:
Fx(x0,y0,z0)(x
x0)
Fy(x0,y0,z0)(yy0)
3、过此点的法线方程:
xx0
y
y0
Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)
Fz(x0,y0,z0)
}
Fz(x0,y0,z0)(zz0)0
方向导数与梯度:
多元函数的极值及其求法:
重积分及其应用:
柱面坐标和球面坐标:
曲线积分:
曲面积分:
高斯公式:
(P
Q
R)dv
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
(PcosQcos
Rcos
)ds
高斯公式的物理意义
——通量与散度:
散度:
div
P
R即:
单位体积内所产生
的流体质量,若
div0,
则为消失
...
通量:
Ands
Ands
(Pcos
,
QcosRcos)ds
因此,高斯公式又可写
成:
divAdv
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系:
常数项级数:
级数审敛法:
绝对收敛与条件收敛:
幂级数:
函数展开成幂级数:
一些函数展开成幂级数:
欧拉公式:
三角级数:
傅立叶级数:
周期为2l的周期函数的傅立叶级数:
微分方程的相关概念:
阳光怡茗工作室
一阶线性微分方程:
全微分方程:
二阶微分方程:
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:
(*)式的通解
两个不相等实根
(
p2
q
0)
4
两个相等实根(p
4q
一对共轭复根
p
二阶常系数非齐次线性微分方程
概率公式部分
1.随机事件及其概率
AAA
吸收律:
A(AB)AA(AB)A
反演律:
ABABABAB
2.概率的定义及其计算
若ABP(BA)P(B)P(A)
对任意两个事件A,B,有P(BA)P(B)P(AB)
加法公式:
对任意两个事件A,B,有
3.条件概率
乘法公式
全概率公式
Bayes公式
4.随机变量及其分布分布函数计算
5.离散型随机变量
(1)0–1分布
(2)二项分布B(n,p)
若P(A)=p
*Possion定理
limCnkpnk(1
pn)nk
k
有
e
k!
0,1,2,
(3)Poisson分布
P()
6.连续型随机变量阳光怡茗工作室
(1)均匀分布U(a,b)
(2)指数分布E()
(3)正态分布N(,2)
*N(0,1)—标准正态分布
7.多维随机变量及其分布
二维随机变量(X,Y)的分布函数
边缘分布函数与边缘密度函数
8.连续型二维随机变量
(1)区域G上的均匀分布,U(G)
(2)二维正态分布
9.二维随机变量的条件分布
10.随机变量的数字特征数学期望
随机变量函数的数学期望
X的k阶原点矩
X的k阶绝对原点矩
X的k阶中心矩
X的方差
X,Y的k+l阶混合原点矩
X,Y的k+l阶混合中心矩
X,Y的二阶混合原点矩
X,Y的二阶混合中心矩X,Y的协方差
X,Y的相关系数
X的方差
D(X)=E((X-E(X))2)
协方差
相关系数
线性代数部分
梳理:
条理化,给出一个系统的,有内在有机结构的理论体系。
沟通:
突出各部分内容间的联系。
充实提高:
围绕考试要求,介绍一些一般教材上没有的结果,教给大家常见问题的实用而简捷
的方法。
大家要有这样的思想准备:
发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同,有的方法是你不
知道的。
但是我相信,只要你对它们了解了,掌握了,会提高你的解题能力的。
基本运算
①ABBA
②ABCABC
③cABcAcBcdAcAdA
④cdAcdA
⑤cA0c0或A0。
T
。
cAcAT
转置值不变ATA
逆值变A
11
A
A1,2,3,3阶矩阵
有关乘法的基本运算
线性性质A1A2BA1BA2B,
结合律ABCABC
ABkAkBk不一定成立!
AEA,EAA
AkEkA,kEAkA
与数的乘法的不同之处
ABkAkBk不一定成立!
无交换律因式分解障碍是交换性
一个矩阵A的每个多项式可以因式分解,例如
无消去律(矩阵和矩阵相乘)
当AB
0时
A0或B
由A
和AB
B
时AB
AC
C(无左消去律)
特别的设A可逆,则A有消去律。
左消去律:
ABACBC。
右消去律:
BACABC。
如果A列满秩,则A有左消去律,即
①AB0B0
②ABACBC
可逆矩阵的性质
i)当A可逆时,
也可逆,且
T1
Ak也可逆,且Ak1A1k。
数c0,cA也可逆,cA11A1。
ii)A,B是两个n阶可逆矩阵AB也可逆,且AB1B1A1。
推论:
设A,B是两个n阶矩阵,则ABEBAE
命题:
初等矩阵都可逆,且
准对角矩阵
A11
00
A111
000
0A22
可逆
每个Aii都可逆,记A
0A221
00Akk
00Akk1
伴随矩阵的基本性质:
当A可逆时,
AA*
E
得A
1A*,
(求逆矩阵的伴随矩阵法)
且得:
A*1
A1
A1*
A1A
伴随矩阵的其他性质
①A*
n1
A*
AA1
A,
②AT
*
T,
③cA*
cn1A*,
④AB*
B*A*,
⑤Ak
A*
k,
⑥A**AA。
n2时,A**A
d
关于矩阵右上肩记号
T,k,
1,*
i)任何两个的次序可交换,
如AT*A*T,
A*1A1*等
ii)ABTBTAT,AB1B1A1,
但ABkBkAk不一定成立!
线性表示
1,2,
s
x11
x22
xss
有解
sx
有解x
x1,,xs
Ax
有解,即
可用A的列向量组表示
AB
r1,r2,,rs,A
n,
则r1,r2,
rs
1,
2,
n。
1,
2,,
t
s,
则存在矩阵C,使得
sC
线性表示关系有传递性
当
s
r1,r2,,rp,
则1,
t
r1,r2,
rp。
等价关系:
如果
与
t互相可表示
1,2,,s
记作1,
t。
线性相关阳光怡茗工作室
s1,单个向量,x0相关0
s2,1,2相关对应分量成比例1,2相关a1:
b1a2:
b2an:
bn
①向量个数s=维数n,则1,,n线性相(无)关1n0
A1,2,,n,Ax0有非零解A0
如果sn,则1,2,,s一定相关
Ax0的方程个数n未知数个数s
②如果1,2,,s无关,则它的每一个部分组都无关
③如果1,2,,s无关,而1,2,,s,相关,则1,2,,s
证明:
设c1,,cs,c不全为0,使得c11cssc0
则其中c
0,否则c1,
cs不全为0,c11
css0,与条件1,
s无关矛
盾。
于是
c1
cs
s。
④当1,,s时,表示方式唯一1s无关
(表示方式不唯一1s相关)
⑤若1,,t1,,s,并且ts,则1,,t一定线性相关。
记A1,,s,B1,,t,
则存在st矩阵C,使得BAC。
Cx0有s个方程,t个未知数,st,有非零解,C0。
则BAC0,即也是Bx0的非零解,从而1,,t线性相关。
各性质的逆否形式
①如果1,2,,s无关,则sn。
②如果1,2,,s有相关的部分组,则它自己一定也相关。
③如果1s无关,而1,,s,则1,,s无关。
⑤如果1t1s,1t无关,则ts。
若两个无关向量组1s与1t等价,则st。
极大无关组
一个线性无关部分组
I
,若#
等于秩
4,
6
,I
就一定是极大无关组
①1,2,
s无关
②
s,
另一种说法:
取
s的一个极大无关组
也是
s,
的极大无关组
I,
相关。
③可用
s唯一表示
s,
④1,
1,,
⑤1,
1,,t
矩阵的秩的简单性质
A行满秩:
rAm
A列满秩:
rAn
n阶矩阵A满秩:
A满秩A的行(列)向量组线性无关
A可逆
Ax0只有零解,Ax唯一解。
矩阵在运算中秩的变化
初等变换保持矩阵的秩
①rATrA
②c
0时,rcA
rA
③r
rB
④rAB
minrA,rB
⑤A可逆时,rAB
弱化条件:
如果A列满秩,则ABB
证:
下面证
ABx
与Bx
同解。
是ABx
0的解
是Bx
B可逆时,rAB
r
⑥若AB
0,则rA
n(A的列数,B的行数)
⑦A列满秩时rAB
B行满秩时rAB
⑧rAB
解的性质
1.Ax0的解的性质。
如果1,2,,e是一组解,则它们的任意线性组合c11c22cee一定也
是解。
2.Ax
①如果1,
e是Ax
的一组解,则
c2
cee也是Ax
的解
c1c2
ce
cee是Ax
0的解c1
特别的:
1,2是Ax
的两个解时,1
2是Ax
②如果