席位的公平分配Word格式.docx
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最后就是简单的介绍了一下D’Hondt法，通过对这三种方法的比较来寻找更合理的办法。
文章主要参考的是姜启源、谢金星、叶俊等编写的数学模型第四版。
通过本论文的学习我们可以学习到没有绝对的公平，只有相对的公平。
我们只能尽量避免不公平的事件发生，却不能杜绝它的发生。
如果发现文章有什么不足之处请指出改正，欢迎来指正错误[1]。
1.席位分配问题
贵州师范学院有3个学院参加会议。
有200名学生，其中数计学院100名，物电学院60名，化生学院40名。
如果学生代表会议设有20个席位，怎样去分配？
但是现在化生学院有3名学生转入数计学院，3名学生转入物电学院，那又将怎么分配呢？
如果席位变成21个则怎么样分配？
2.各种分配方法
2.1最大分数法
公平而简单的方法就是按照学生人数的比例进行分配，这种按照惯例的分配方案是由A.Hamilton提出的。
这种方案在美国国会1850—1900年的众议员席位分配（按照人口比例每个州应分得几个席位）中就多次被采用，也同时被质疑，称之为最大剩余法（GR:
GreatestRemainders）或最大分数法（LF:
LargestFractions）,也称Hamilton法或Vinton法[1]。
表2.1最初的按照比例的席位分配
学院
学生人数
学生人数的比例/%
按比例分配的席位
参照惯性的结果
数计学院
100
50
10
物电学院
60
30
6
化生学院
40
20
4
总和
200
表2.2按比例并参照惯例的席位分配
的比例/%
20个席位的分配
21个席位的分配
103
51.5
10.3
10.851
11
63
31.5
6.3
6.615
7
34
17.0
3.4
3.570
3
21
很明显数计学院，物电学院，化生学院三个学院分别应占有10,6,4个席位（表2.1）。
但是现有化生学院3名学生转入数计学院，3名学生转入物电学院（表2.2第2列所示），继续按比例（表2.2第3列所示）分配席位时出现了小数（表2.2第4列）。
于是按照最大分数法分配三个学院分别占10,6,4席（表3.2第5列所示）。
但是20席位的代表会议在表决大会时可能出现10:
10的局面，因此增加一个席位变成21席，同样按照上述办法重新分配席位，计算结果见表2.2的6,7列。
2.2最大分数法的优缺点
我们看到席位从20席增加到21席，但是化生学院却从分得的4席变为了3席，即总席位增加反而导致某个学院分得的席位减少，我们把这种现象称之为席位悖论，这是最大分数法的一个缺陷。
如上例若三个学院学生人数变为114,64,34名，按照最大分数法21席的分配结果将是11,6,4席我们观察可得，物电学院学生人数增加却比原来的少了1席，化生学院人数没有变反而增加了1席，即某个学院的人数增加较多反而可能导致这个学院席位的减少，我们把这种现象称之为人口悖论，这又是最大分数法的一大缺陷。
2.3不公平度指标
2.3.1定义不公平度
为了寻找更公平的席位分配的方法，我们先来研讨一下衡量公平的数量指标。
为了简便我们首先只考虑甲，乙两方分配席位的情况。
设甲，乙两方人数分别为
，且已占有席位分别为
，则比值
为甲，乙两方每个席位所代表的人数。
显然当且仅当
时分配才是完全公平的，但是因为人数和席位都是整数，所以通常
，那么一般都是分配不公平的，并且是对于比值较大的一方不公平。
2.3.2定义不公平程度
不妨设
，那么不公平程度就可以用数值
来衡量。
那么我们可以举两个例子来练习一下不公平程度。
例1：
设
，则
；
例2：
，而
不变时，则
利用上述定义的来衡量不公平程度，那么上述两个例子的不公平程度是一样的，但是常识告诉我们，例2的这种情况的
相对不公平程度比例1的不公平程度已经大为改善了。
所以我们发现用来衡量不公平程度，常常无法区分不公平程度明显不同的情况。
2.3.3定义相对不公平度
为了改善上述的衡量标准，我们想到了相对标准，
当
，定义
（1）
为对甲的相对不公平度。
（2）
为对乙的相对不公平度。
2.4Q值法
假设甲，乙两方已占有的席位
，利用相对不公平度
讨论当总席位增加1席时，应该是分给甲还是乙[2]。
一般地，可先讨论
，当大于号成立时表示对甲不公平。
如把增加的1席给甲，则甲的席位从
变成
，若把它分给乙，则乙的席位从
，则原不等式可能出现下列几种情况：
1.
，说明即使把增加的这一个席位分给甲依旧对甲不公平，因此这增加的这一席位应该分给甲。
2.
，说明把这增加的一个席位分给甲后对乙不公平了，故参照公式
（2）计算出对乙的相对不公平度为
（3）
3.
，说明把这增加的一个席位分给甲后对甲，乙两方是一样的，因此这增加的一个席位应该分给甲。
4.
，说明把增加的这个席位分给乙后对甲不公平了，参照公式
（1）计算出对甲的相对不公平度为
（4）
5.
说明把这增加的一个席位分给乙后还对乙不公平。
但是前面我们已经设了
，
，所以这种结果是不可能出现的。
6.
，说明把这增加的一个席位分给乙后对甲，乙是一样的，同样因为
，所以这种结果也不可能出现。
对于建立的衡量分配不公平的指标
，它们的原则是尽可能的使它们小。
所以在这种分配原则下进行分配，对
进行比较将这增加的一个席位分给相对不公平度大的一方。
即当
（5）
则增加的这个席位要分给甲，反之则分给乙，如果相等则可以任意分给甲或乙.对（5）式进行化简，得
（6）
所以当（6）式成立时增加的这个席位应该分给甲，反之则分给乙，相等则可以任意分给甲或乙。
同理，假设
成立时，也可以得到（6）式。
综上所述，只要（6）式成立，则增加的一席分给甲，反之则分给乙，相等则可以任意分给甲或乙。
上述讨论的是两方的分配方案，现在将这种方法推广到有m方分配席位的情况，设第i方人数为
，已占有
个席位，
，当总席位增加一席时，计算
（7）
将增加的这一席位分给Q值大的一方，这个方法我们称之为Q值法。
2.5用Q值法解决问题
用Q值法重新讨论提出的数计学院，物电学院，化生学院三个学院分配21席位的方案。
已知：
数计学院，物电学院，化生学院三个学院分配21席位，其中
表示数计学院，物电学院，化生学院的人数，则
求：
用Q值法分配数计学院，物电学院，化生学院三个学院各分得多少席位？
解：
）表示数计学院，物电学院，化生学院三个学院已占有的席位。
则可设
开始每增加1席应该分给谁来计算。
但是最大分数法已经计算出
，分配了19席的结果，现在就是对第20席和第21席的分配了。
第20席：
，进行比较，发现
最大，所以第20席分给数计学院。
则
。
第21席：
，因为物电学院，化生学院两系的已占有席位没有变化所以
同上，经过比较发现
最大，所以第21席应该分给化生学院。
综上所述：
数计学院，物电学院，化生学院三个学院分别获得席位为11,6,4席。
2.6分析Q值法的优缺点
Q值法不仅有明确的不公平指标，而且由于它是每增加1个席位来计算Q值的，所以不会出现席位悖论（也可证明不会出现人口悖论）[3]。
它的优点就是在每个席位所代表的人数不同的情况下将不公平度减到最小。
不过Q值法也存在很大的缺点，我们稍微注意一下就会发现开始分配时我们设了各方已占有席位为1位，即各方必须分得1席或者大于1席位，Q值才有意义。
Q值法要求参加分配席位的几个学院至少可以获得一个席位，因而当分配的总席位比较少或者参与分配的各个学院的人数相差很大时可能出现较大的不公平[4]。
2.7D’Hondt法
把
个学院的人数用
正整数相除,把所得的商从大到小进行排列。
若席位总数为N,则取前面N个商,并将各学院被选取的最小商的除数作为这个学院被分配的席位数。
其原理就是某学院人数较多,则应该分配到较多的席位数
用D’hondt法的商的结果见附录表2.3，我们发现用D’Hondt法计算的结果是如果分配20个席位，那么数计学院，物电学院，化生学院三个学院各分得11,6,3席，如果分配21个席位，则数计学院，物电学院，化生学院各分得11,7,3席。
3.比较分配方法
从表3.1看出，无论是用哪一种分配方法，单单从最终的分配结果来看，数计学院都是分到了11个席位，而最终就是一个席位的差别，到底是分配给物电学院，还是分配给化生学院。
即最终的席位利益是在物电学院还是在化生学院。
但是从上面的不同的方法的证明过程中我们可以看出，其分配的结果不仅仅是如此。
表3.121个席位的分配结果
最大分数法
Q值法
从表2.2可以看出，按“最大分数法”分配显然存在着较大缺陷，出现了人口悖论和席位悖论。
而D’Hondt法，从分配完的结果来看，数计学院，物电学院，化生学院分别得到的席位是11,7,3，虽然与“最大分数法”分配的最终结果一样，不过D’Hondt法克服了最大分数法分配中人数席位变动而引起的名额不规则变动，但是在各学院每个席位代表的人数不等的情况下，席位代表的平均人数值较大的一方来说，就存在着不公平，而且D’Hondt法不能衡量“不公平”的大小[5]。
而Q值法不仅有明确的不公平指标，而且由于它是每增加1个席位来计算Q值的，所以不会出现席位悖论（也可证明不会出现人口悖论）[3]。
不过Q值法也存在很大的缺点，我们细心点就会发现开始分配时我们设了各方已占有席位为1位，即各方必须分得1席或者大于1席位，Q值才有意义。
Q值法要求参加分配席位的几个学院至少可以获得一个席位，因而当分配的总席位比较少或者参与分配的各个学院的人数相差很大时可能出现较大的“不公平”。
结论
从上述的几种分配方法来看，在席位分配中很难找到一种绝对公平的分配方法，因为席位的分配不仅仅要涉及到分配席位的总数的多少，而且还涉及到一个席位所代表的人数，上述的几种分配方法都是在不同的角度提出的不同观点，不同的分配方法，所以说，在公平席位分配中，如果单纯的靠一种分配方法，基本上就不存在公平的席位分配方法。
实际上，如果掌握了上述分配方法的特性，我们可以根据具体情况决定采取哪一种分配方案。
并且可以的话，结合掌握的分配方案，各取所需，或者继续寻找更合理的分配方法。
参考文献
[1]姜启源、谢金星、叶俊.数学模型[M].第四版.北京：
高等教育出版社，2011.01.278--285.
[2]易刚.数学建模范式实践与研究.[J].商洛学院学报，2010.
[3]韩文斌.公平席位的分配.doc-豆丁网.[DB].互联网数据.2012.09.05.
[4]孙玉秋.“D’Hondt+Q”席位分配模型.[J].汉江石油学院学报，2001.
[5]赵洋.席位分配及课堂点名模型的研究.[D],西北工业大学博硕论文，2006.
致谢
四年的大学光阴即将结束，在这期间，各科老师认真负责、兢兢业业，真挚的感谢各位老师的关怀；
然后就是要感谢我的指导老师廖玉梅老师，她严肃的态度，严谨的精神，精益求精的工作作风，深深地激励着我，从课题的选择到课题的顺利完成，廖老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持。
还要感谢我们的辅导员伍玲婧老师，大学期间她给与我很多帮助和关怀。
还有10级数学与应用数学本科三班的全体同学，大学四年中，你们给我不少的帮助和支持，和你们一起生活很愉快，谢谢你们，也感谢我的室友们，在我不清楚的时候，我们一起讨论，攻坚克难。
在此谨向你们致以诚挚的谢意和崇高的敬意。
最后感谢含辛茹苦把我养大的家人，是你们无私的付出，才有我今天的成就，感谢你们，祝愿你们健康、幸福！
附录
表2.3D’Hondt商的结果
1
2
5
8
9
12
34.3
25.8
20.6
17.2
14.7
12.9
11.4
9.4
8.6
21.0
15.8
12.6
10.5
9.0
7.9
7.0
11.3
8.5
5.7
4.9
4.3
3.8
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