6.勾股定理逆定理(基础)知识讲解.doc
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勾股定理逆定理（基础）
【要点梳理】
要点一、勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
要点诠释：
（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形
（1）首先确定最大边（如）.
（2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.
要点诠释：
当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.
要点三、勾股数
满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：
①3、4、5；②5、12、13；③6、8、10；④7、24、25；⑤8、15、17；⑥9、12、15……
如果（）是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
要点四、两点间的距离公式
在直角坐标平面内，轴或平行于轴的直线上的两点A、B两点的距离AB；轴或平行于轴的直线上的两点C、D的距离CD.
两点间的距离公式：
如果直角坐标系内有两点A、B，那么A、的B两点的距离AB.
要点诠释：
当A、B同在轴或平行于轴的直线上时，；当A、B同在轴或平行于轴的直线上时，.
【典型例题】
类型一、勾股定理的逆定理
1、判断由线段组成的三角形是不是直角三角形．
（1）＝7，＝24，＝25；
（2）＝，＝1，＝；
【答案与解析】
解：
（1）∵，，
∴．
∴由线段组成的三角形是直角三角形．
（2）∵，，，
∴．
∴由线段组成的三角形不是直角三角形．
【总结升华】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大，然后再利用勾股定理的逆定理进行判断，即首先确定最大边，然后验证与是否具有相等关系，再根据结果判断是否为直角三角形．
举一反三：
【变式】判断以线段为边的△ABC是不是直角三角形，其中，，．
【答案】
解：
由于，因此为最大边，只需看是否等于即可．
∵，，，∴，
∴以线段为边能构成以为斜边的直角三角形．
2、如图所示，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝∠90°，求四边形ABCD的面积．
【答案与解析】
解：
连接AC，在△ABC中，
因为∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
所以，所以AC＝5，
在△ACD中，AD＝13，DC＝12，AC＝5，
所以，
即．
所以△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°．
所以
．
举一反三：
【变式】如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD中点，试判断EC与EB的位置关系，并写出推理过程．
【答案】
解：
EC⊥EB．
过点C作CF⊥AB于F，则四边形AFCD是矩形，
在Rt△BCF中，可得CF＝．
则AD＝CF＝，故DE＝AE＝AD＝．
在Rt△ABE和Rt△DCE中，
，．
∴．
∵BC＝3，∴．
∴∠CEB＝90°，∴EB⊥EC．
类型二、勾股定理逆定理的实际应用
3、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
【答案与解析】
解：
根据题意可画出上图，
PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，QR＝30，
在△PQR中，
，
∴．
∴△PQR是直角三角形且∠RPQ＝90°．
又∵“远航”号沿东北方向航行，可知∠QPN＝45°，
∴∠RPN＝45°．
由此可知“海天”号沿西北方向航行．也可沿东南方向航行．
【总结升华】根据勾股定理的逆定理，可判断一个角是不是90°，这里需注意与东北方向成90°角的有两个方向，即西北方向或东南方向.
类型三、两点间的距离公式
4、已知两点（-2，3），（4，-5），求、两点的距离．
解：
如图所示，
过、分别作轴、轴垂线相交于A点．
则A点的坐标为A（-2，-5）
∴.
【总结升华】求两点的长度的问题除了用两点间的距离公式求解，还可以转化为直角三角形，用勾股定理求解．
举一反三：
【变式】在已知点M（3，-4），在轴上有一点与M的距离为5，则该点的坐标为（ ）
A．（6，0）B．（0，1）C．（0，-8）D．（6，0）或（0，0）
【答案】（6，0）或（0，0）
解：
设轴上的点的坐标为A，由两点间的距离公式：
AM，
解得或.
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