八年级下册----二次根式压轴题解析.doc

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二次根式压轴题（八下学完才能用）

一．选择题（共1小题）

1．（2003•杭州）对于以下四个命题：

①若直角三角形的两条边长为3与4，则第三边的长是5；②（）2=a；③若点P（a，b）在第三象限，则点Q（﹣a，﹣b）在第一象限；④两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确的说法是（　　）

A．

只有①错误，其他正确

B．

①②错误，③④正确

C．

①④错误，②③正确

D．

只有④错误，其他正确

二．填空题（共11小题）

2．（2012•山西模拟）若规定符号“*”的意义是a*b=ab﹣b2，则2*（）的值是　　　　　　．

3．（2010•鄂州）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，E是CB的中点，AE=EC，∠BAC=3∠DBC，BD=6+6，则AB=　　　　　　．

4．（2010•拱墅区一模）已知a，b是正整数，且满足也是整数：

（1）写出一对符合条件的数对是　　　　　　；

（2）所有满足条件的有序数对（a，b）共有　　　　　　对．

5．（2010•澄海区校级模拟）化简=　　　　　　．

6．（2009•兴化市模拟）若实数a满足|a﹣8|+=a，则a=　　　　　　．

7．（2009•琼海模拟）化简二次根式的正确结果是　　　　　　．

8．（2008•贵港）观察下列等式：

，，，…请你从上述等式中找出规律，并利用这一规律计算：

=　　　　　　．

9．（2004•宁波）已知：

a＜0，化简=　　　　　　．

10．（1998•杭州）已知，则=　　　　　　．

11．（1998•内江）已知ab=2，则的值是　　　　　　．

12．（1997•内江）已知1＜x＜2，，则的值是　　　　　　．

三．解答题（共4小题）

13．（2012•巴中）先化简，再求值：

（﹣）•，其中x=．

14．（2009•邵阳）阅读下列材料，然后回答问题．

在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：

==；

（一）

（二）

==（三）

以上这种化简的步骤叫做分母有理化．

还可以用以下方法化简：

=（四）

（1）请用不同的方法化简．

①参照（三）式得=（　　）；

②参照（四）式得=（　　）

（2）化简：

．

15．（2008•凉山州）阅读材料，解答下列问题．

例：

当a＞0时，如a=6则|a|=|6|=6，故此时a的绝对值是它本身；

当a=0时，|a|=0，故此时a的绝对值是零；

当a＜0时，如a=﹣6则|a|=|﹣6|=﹣（﹣6），故此时a的绝对值是它的相反数．

∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即，

这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．

问：

（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况；

（2）猜想与|a|的大小关系．

16．（2005•台州）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：

…①（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）．

而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：

s=…②（其中p=．）

（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；

（2）你能否由公式①推导出公式②？

请试试．

二次根式压轴题（八下学完才能用）

参考答案与试题解析

一．选择题（共1小题）

1．（2003•杭州）对于以下四个命题：

A．

只有①错误，其他正确

B．

①②错误，③④正确

C．

①④错误，②③正确

D．

只有④错误，其他正确

考点：

专题：

压轴题．

分析：

①应明确边长为4的边是直角边还是斜边；

②隐含条件a≥0，根据二次根式的定义解答；

③根据每个象限内点的符号特点判断出a、b的符号，再判断出﹣a、﹣b的符号即可；

④用“倍长中线法”可证明两个三角形全等．

解答：

解：

①错误，应强调为直角三角形的两条直角边长为3与4，则第三边的长是5；

②正确，隐含条件a≥0，根据二次根式的意义，等式成立；

③正确，若点P（a，b）在第三象限，则a＜0，b＜0；则﹣a＞0，﹣b＞0，点Q（﹣a，﹣b）在第一象限；

④正确，作辅助线，倍长中线，可证明两个三角形全等．

故选：

A．

点评：

本题考查了对勾股定理的理解，二次根式的化简，点的对称性质，全等三角形的判定方法．

二．填空题（共11小题）

2．（2012•山西模拟）若规定符号“*”的意义是a*b=ab﹣b2，则2*（）的值是　4﹣5　．

考点：

专题：

压轴题；新定义．

分析：

先理解“*”的意义，然后将2*（）表示出来计算即可．

解答：

解：

由题意得：

2*（）=2×（﹣1）﹣=4﹣5．

故答案为：

4﹣5．

点评：

本题考查二次根式的混合运算，难度不大，注意理解“*”的意义．

3．（2010•鄂州）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，E是CB的中点，AE=EC，∠BAC=3∠DBC，BD=6+6，则AB=　12　．

考点：

专题：

压轴题．

分析：

作辅助圆A，由已知证明△ABC为等腰直角三角形，△ACD为等边三角形，作CF⊥BD，将△BCD分为两个直角三角形，解直角三角形，列方程求解．

解答：

解：

法一：

以点A为圆心，AB为半径画圆，作CF⊥BD，垂足为F，

∵AB=AC=AD，∴C、D两点都在⊙A上，

∵E是CB的中点，AE=EC，由垂径定理得，

AE=EC=BE，AE⊥BC，

∴∠BAC=90°，

∠BDC=∠BAC=45°，

又∵∠BAC=3∠DBC，

∴∠DBC=30°，

∠CAD=2∠DBC=60°，

△ACD为等边三角形，

设AB=AC=CD=x，

在Rt△ABC中，BC=x，

在Rt△BCF中，∠FBC=30°，BF=BC=x，

同理，DF=x，

由DF+BF=BD，得x+x=6+6

解得x=12，即AB=12．

法二：

作CF⊥BD，垂足为F，

∵AB=AC，E是CB的中点，AE=EC

∴AE=BE=EC，AE⊥BC，

∴∠BAE=∠ABE=45°，∠ACE=∠EAC=45°，

∴∠BAC=90°，

又∵∠BAC=3∠DBC，

∴∠DBC=30°，

∴∠ABD=∠ADB=15°，

∴∠BAD=150°，

∴∠CAD=60°，

△ACD为等边三角形，

设AB=AC=CD=x，

在Rt△ABC中，BC=x，

在Rt△BCF中，∠FBC=30°，BF=BC=x，

同理，DF=x，

由DF+BF=BD，得x+x=6+6

解得x=12，即AB=12．

点评：

本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的判定及圆的相关知识，解直角三角形，列方程求解．

4．（2010•拱墅区一模）已知a，b是正整数，且满足也是整数：

（1）写出一对符合条件的数对是　（15，15）、（60、60）、（15，60）、（60，15）、（240，240）、（135，540）、（540，135）　；

（2）所有满足条件的有序数对（a，b）共有　7　对．

考点：

专题：

计算题；压轴题．

分析：

把2放在根号下，得出+，是整数，a、b的值进行讨论，使和为整数或和为整数，从而得出答案．

解答：

解：

（1）∵=+，

∴当a、b的值为15，60，135，240，540时，

当a=15，b=15时，即=4；

当a=60，b=60时，即=2；

当a=15，b=60时，即=3；

当a=60，b=15时，即=3；

当a=240，b=240时，即=1；

当a=135，b=540时，即=1；

当a=540，b=135时，即=1；

故答案为：

（15，15）、（60、60）、（15，60）、（60，15）、（240，240）、（135，540）、（540，135）；

（2）所有满足条件的有序数对（a，b）共有7对，

故答案为7．

点评：

本题考查了二次根式的性质和化简，解决此题的关键是分类讨论思想，得出a、b可能的取值．

5．（2010•澄海区校级模拟）化简=　2　．

考点：

专题：

计算题；压轴题．

分析：

先将1﹣4x+4x2化成（1﹣2x）2，再根据（）2有意义，即可求得x的取值范围，从而化简得出结果．

解答：

解：

∵（）2有意义，

∴2x﹣3≥0，

∴x≥1.5，

∴2x﹣1≥3﹣1=2，

∴

=﹣2x+3

=2x﹣1﹣2x+3

=2，

故答案为2．

点评：

本题考查了完全平方公式和二次根式的化简和求值，是基础知识要熟练掌握．

6．（2009•兴化市模拟）若实数a满足|a﹣8|+=a，则a=　74　．

考点：

专题：

压轴题．

分析：

由可得a≥10，再对式子进行化简，从而求出a的值．

解答：

解：

根据题意得：

a﹣10≥0，解得a≥10，

∴原等式可化为：

a﹣8+=a，

即=8，

∴a﹣10=64，解得：

a=74．

点评：

二次根式中被开方数为非负数，是解此题的突破口．

7．（2009•琼海模拟）化简二次根式的正确结果是　　．

考点：

专题：

压轴题．

分析：

根据二次根式的性质及定义解答．

解答：

解：

由二次根式的性质得﹣a3b≥0

∵a＜b

∴a＜0，b＞0

∴原式==﹣a．

点评：

解答此题，要弄清以下问题：

1、定义：

一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．2、性质：

=|a|．

8．（2008•贵港）观察下列等式：

，，，…请你从上述等式中找出规律，并利用这一规律计算：

=　2006　．

考点：

专题：

压轴题；规律型．

分析：

所求代数式第一个括号内可由已知的信息化简为：

+…+=，然后利用平方差公式计算．

解答：

解：

∵，，，…

∴原式=（+…+）（）

=（）（）

=2008﹣2

=2006．

故本题答案为：

2006．

点评：

解答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点，找出其中的抵消规律．

9．（2004•宁波）已知：

a＜0，化简=　﹣2　．

考点：

专题：

压轴题．

分析：

根据二次根式的性质化简．

解答：

解：

∵原式=﹣=﹣

又∵二次根式内的数为非负数

∴a﹣=0

∴a=1或﹣1

∵a＜0

∴a=﹣1

∴原式=0﹣2=﹣2．

点评：

解决本题的关键是根据二次根式内的数为非负数得到a的值．

10．（1998•杭州）已知，则=　13　．

考点：

专题：

压轴题；换元法．

分析：

用换元法代替两个带根号的式子，得出m、n的关系式，解方程组求m、n的值即可．

解答：

解：

设m=，n=，

那么m﹣n=2①，m2+n2=+=34②．

由①得，m=2+n③，

将③代入②得：

n2+2n﹣15=0，

解得：

n=﹣5（舍去）或n=3，

因此可得出，m=5，n=3（m≥0，n≥0）．

所以=n+2m=13．

点评：

本题通过观察，根号里面未知数的系数为相反数，可通过换元法求解．

11．（1998•内江）已知ab=2，则的值是　　．

考点：

专题：

压轴题．

分析：

由已知条件可知，本题有两种情况需要考虑：

a＞0，b＞0；a＜0，b＜0．

解答：

解：

当a＞0，b＞0时，

原式=；

当a＜0，b＜0时，

原式=﹣﹣=﹣2．

点评：

此题的难点在于需考虑两种情况．

12．（1997•内江）已知1＜x＜2，，则的值是　﹣2　．

考点：

专题：

压轴题．

分析：

由于（）2=x﹣1﹣2+=x+﹣3，又∵，由此可以得到（）2=4，又由于1＜x＜2，由此可以得到的值＜0，最后即可得到的值．

解答：

解：

∵（）2=x﹣1﹣2+

=x+﹣3，

又∵，

∴（）2=4，

又∵1＜x＜2，

∴＜0，

∴=﹣2．

故填：

﹣2．

点评：

此题解题关键是把所求代数式两边平方，找到它和已知等式的联系，然后利用联系解题．

三．解答题（共4小题）

13．（2012•巴中）先化简，再求值：

（﹣）•，其中x=．

考点：

专题：

压轴题；分类讨论．

分析：

先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．

解答：

解：

原式=•，

当x=时，x+1＞0，

可知=x+1，

故原式=•===；

点评：

本题考查的是二次根式及分式的化简求值，解答此题的关键是当x=时得出=x+1，此题难度不大．

14．（2009•邵阳）阅读下列材料，然后回答问题．

在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：

==；

（一）

（二）

==（三）

以上这种化简的步骤叫做分母有理化．

还可以用以下方法化简：

=（四）

（1）请用不同的方法化简．

①参照（三）式得=（　　）；

②参照（四）式得=（　　）

（2）化简：

．

考点：

专题：

压轴题；阅读型．

分析：

（1）中，通过观察，发现：

分母有理化的两种方法：

1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解达到约分的目的；

（2）中，注意找规律：

分母的两个被开方数相差是2，分母有理化后，分母都是2，分子可以出现抵消的情况．

解答：

解：

（1）=，

=；

（2）原式=

+…+

=++…+

=．

点评：

学会分母有理化的两种方法．

15．（2008•凉山州）阅读材料，解答下列问题．

例：

当a＞0时，如a=6则|a|=|6|=6，故此时a的绝对值是它本身；

当a=0时，|a|=0，故此时a的绝对值是零；

当a＜0时，如a=﹣6则|a|=|﹣6|=﹣（﹣6），故此时a的绝对值是它的相反数．

∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即，

这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．

问：

（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况；

（2）猜想与|a|的大小关系．

考点：

专题：

压轴题；阅读型．

分析：

应用二次根式的化简，首先应注意被开方数的范围，再进行化简．

解答：

解：

（1）由题意可得=；

（2）由

（1）可得：

=|a|．

点评：

本题主要考查二次根式的化简方法与运用：

①当a＞0时，=a；②当a＜0时，=﹣a；③当a=0时，=0．

16．（2005•台州）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：

…①（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）．

而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：

s=…②（其中p=．）

（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；

（2）你能否由公式①推导出公式②？

请试试．

考点：

专题：

压轴题．

分析：

（1）代入计算即可；

（2）需要在括号内都乘以4，括号外再乘，保持等式不变，构成完全平方公式，再进行计算．

解答：

解：

（1）S=，

=；

P=（5+7+8）=10，

又S=；

（2）=（﹣）

=，

=（c+a﹣b）（c﹣a+b）（a+b+c）（a+b﹣c），

=（2p﹣2a）（2p﹣2b）•2p•（2p﹣2c），

=p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c），

∴=．

（说明：

若在整个推导过程中，始终带根号运算当然也正确）

点评：

考查了三角形面积的海伦公式的用法，也培养了学生的推理和计算能力．

第14页（共14页）

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