北京中考数学各区一模试题最新汇编几何综合全教师版.doc
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1、(2014西城数学一模)24.四边形是正方形,是等腰直角三角形,,.连接,为的中点,连接.
(1)如图1,若点在边的延长线上,直接写出与的位置关系及的值;
(2)将图1中的绕点顺时针旋转至图2所示位置,请问
(1)中所得的结论是否仍然成立?
若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由.
(3)将图1中的,绕点顺时针旋转,若,,当、、三点共线时,求的长及的值.
解析:
24解:
(1),;
(2)倍长至,连接、、、;
在与中,
∴(SAS)
∴,.
∴
∴.
∴.
在与中
∴(SAS)
∴,
∴
∴为等腰
又∵为的中点
∴,,故
(1)中的结论仍然成立;
(3)连接
则,,
∴
∴
∴
∴
∴;
∴
∴
2、(2014朝阳一模)24.在△ABC中,CA=CB,在△AED中,DA=DE,点D、E分别在CA、AB上,.
(1)如图①,若∠ACB=∠ADE=90°,则CD与BE的数量关系是;
(2)若∠ACB=∠ADE=120°,将△AED绕点A旋转至如图②所示的位置,则CD与BE的数量关系是;,
(3)若∠ACB=∠ADE=2α(0°<α<90°),将△AED绕点A旋转至如图③所示的位置,探究线段CD与BE的数量关系,并加以证明(用含α的式子表示).
图③
图①
图②
解析:
24.解:
(1)BE=CD;………………………………………………………………1分
(2)BE=CD;…………………………………………………………………3分
(3)BE=2CD·sinα.………………………………………………………………4分
证明:
如图,分别过点C、D作CM⊥AB于点M,DN⊥AE于点N,
∵CA=CB,DA=DE,∠ACB=∠ADE=2α,
∴∠CAB=∠DAE,∠ACM=∠ADN=α,AM=AB,AN=AE.
∴∠CAD=∠BAE.………………………………………………………………5分
Rt△ACM和Rt△ADN中,
sin∠ACM=,sin∠ADN=.
∴.
∴.………………………6分
又∵∠CAD=∠BAE,
∴△BAE∽△CAD.
∴
∴BE=2DC·sinα.………………………………………………………………7分
3、(2014东城一模)24.如图1,已知∠DAC=90°,△ABC是等边三角形,点P为射线AD上任意一点(点P与点A不重合),连结CP,将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ,连结QB并延长交直线AD于点E.
(1)如图1,猜想∠QEP=°;
(2)如图2,3,若当∠DAC是锐角或钝角时,其它条件不变,猜想∠QEP的度数,选取一种情况加以证明;
(3)如图3,若∠DAC=135°,∠ACP=15°,且AC=4,求BQ的长.
解析:
24.(本小题满分7分)
解:
(1)∠QEP=60°.………………1分
(2)∠QEP=60°.
证明:
如图1,以∠DAC是锐角为例.
∵△ABC是等边三角形,
∴AC=BC,∠ACB=60°.
又由题意可知,CP=CQ,∠PCQ=6O°.
∴∠ACP=∠BCQ.
∴△ACP≌△BCQ.
∴∠APC=∠Q.
设PC与BQ交于点G,图1
∵∠1=∠2,
∴∠QEP=∠PCQ=60°.………………4分
(3)由题意可求,∠APC=30°,∠PCB=45°.
又由
(2)可证∠QEP=60°.
∴可证QE垂直平分PC,
△GBC为等腰直角三角形.
∵AC=4,
∴,.
∴.………………7分
4、(2014房山一模)24.将等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按图1方式放置,∠A=90°,AD边与AB边重合,AB=2AD=4.将△ADE绕点A逆时针方向旋转一个角度α(0°≤α≤180°),BD的延长线交直线CE于点P.
(1)如图2,BD与CE的数量关系是,位置关系是;
(2)在旋转的过程中,当AD⊥BD时,求出CP的长;
(3)在此旋转过程中,求点P运动的路线长.[来源:
学*科*网]
备用图
图2
图1
解析:
5、(2014丰台一模)24.在等腰直角△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,
(1)如图1,点D、E分别是AB、AC边的中点,AF⊥BE交BC于点F,连结EF、CD交于点H.求证,EF⊥CD;
(2)如图2,AD=AE,AF⊥BE于点G交BC于点F,过F作FP⊥CD交BE的延长线于点P,试探究线段BP,FP,AF之间的数量关系,并说明理由。
解析:
24.解:
(1)如图,过点C作CM⊥AC交AF延长线于点M
∵∠BAC=90°,AF⊥BE于G
∴∠1+∠5=∠2+∠5=90°∴∠1=∠2
又∵∠BAC=∠ACM=90°,AB=AC
∴△ABE≌△CAM………………………………1分
∴AE=CM,∠5=∠M
∵AE=EC∴EC=CM
∵AB=AC,∠BAC=90°∴∠ABC=∠ACB=45°
∵∠ACM=90°∴∠4==∠ACF
∴△ECF≌△MCF………………………………2分
∴∠6=∠M∴∠6=∠5
∵AB=AC,点D、E分别是AB、AC边的中点∴AD=AE
又∵AB=AC,∠BAE=∠CAD
∴△ABE≌△ACD………………………………3分
∴∠1=∠3∴∠3+∠6=90°
∴∠EHC=90°
∴EF⊥CD………………………………4分
(2)如图,过点C作CM⊥AC交AF延长线于点M
由
(1)得:
△ABE≌△CAM
∴AE=CM,∠5=∠M,BE=AM
由
(1)得:
△ABE≌△ACD
∴∠1=∠3
∵FP⊥CD于H,∠BAC=90°
∴∠3+∠6=∠1+∠5
∴∠6=∠5………………………………5分
∵∠6=∠8,∠7=∠5
∴∠7=∠8
∴EP=QP………………………………6分
∵∠6=∠5,∠5=∠M
∴∠6=∠M
∵AB=AC,∠BAC=90°∴∠ABC=∠ACB=45°
∵∠ACM=90°∴∠4==∠ACF
∴△QCF≌△MCF
∴FQ=FM
∴BP=BE+PE
=AM+PQ
=(AF+FM)+PQ
=AF+FQ+PQ
=AF+FP………………………………7分
6、(2014怀柔一模)24.问题:
在中,,∠A=100°,BD为∠B的平分线,探究AD、BD、BC之间的数量关系.
请你完成下列探究过程:
(1)观察图形,猜想AD、BD、BC之间的数量关系为.
(2)在对
(1)中的猜想进行证明时,当推出∠ABC=∠C=40°后,可进一步推出∠ABD=∠DBC=度.
(3)为了使同学们顺利地解答本题
(1)中的猜想,小强同学提供了一种探究的思路:
在BC上截取BE=BD,连接DE,在此基础上继续推理可使问题得到解决.你可以参考小强的思路,画出图形,在此基础上对
(1)中的猜想加以证明.也可以选用其它的方法证明你的猜想.
解析:
24.解:
(1)AD+BD=BC………………………………………1分
(2)20……………………………………………………2分
(3)画出图形……………………………………………………3分
继续证明:
在BC上截取BF=BA,连接DF,
∵∠ABD=∠DBC,BD=BD,∴△ABD≌△FBD,
∴AD=DF,①………………………………4分
∵∠A=100°,∴∠DFB=∠A=100°,∴∠DFC=80°,
∵BE=BD,∠DBC=20°,
∴∠BED=∠BDE=80°,∠DFE=∠FED,
∴DF=DE,②………………………………5分
∵∠FED=80°,∠C=40°,∴∠EDC=40°,
∴∠EDC=∠C,∴DE=EC,③………………………………………………6分
∴AD=EC,∴AD+BD=BC.……………………………………………………7分
(其它方法对应给分).
(2014门头沟一模)24.已知:
在△ABC中,∠ABC=∠ACB=α,点D是AB边上任意一点,将射线DC绕点D逆时针旋转α与过点A且平行于BC边的直线交于点E.
(1)如图12-1,当α=60°时,请直接写出线段BD与AE之间的数量关系;_______________
(2)如图12-2,当α=45°时,判断线段BD与AE之间的数量关系,并进行证明;
(3)如图12-3,当α为任意锐角时,依题意补全图形,请直接写出线段BD与AE之间的数量关系:
_______________________.(用含α的式子表示,其中)
图12-2
图12-3
图12-1
解析:
24.
(1)BD=AE;………………1分
(2)BD=AE;理由如下:
………………2分
过点D作DF∥AC,交BC于F.
∵DF∥AC,
∴∠ACB=∠DFC.
∵∠ABC=∠ACB=α,α=45°,
∴∠ABC=∠ACB=∠DFB=45°.
∴△DFB是等腰直角三角形
图24-2
∴BD=DF=BF.………………3分
∵AE∥BC,
∴∠ABC+∠BAE=180°.
∵∠DFB+∠DFC=180°
∴∠BAE=∠DFC.
∵∠ABC+∠BCD=∠ADC,∠ABC=∠CDE=α,
∴∠ADE=∠BCD.
∴△ADE∽△FCD.
∴.………………4分
∵DF∥AC,
∴.
∴.………………5分
∴BD=AE.
图24-3
(3)补全图形如图3,………………6分
关系:
BD=2cosα·AE.………………7分
(图正确得1分,结论正确得1分)
7、(2014密云一模)24.如图1所示,将一个边长为2的正方形和一个长为2、宽为1的长方形拼在一起,
构成一个大的长方形.现将小长方形绕点顺时针旋转至,旋转角为.
(1)当点恰好落在边上时,求旋转角的值;
(2)如图2,为中点,且0°<<90°,求证:
;
(3)小长方形绕点顺时针旋转一周的过程中,与能否全等?
若能,直接写
出旋转角的值;若不能,说明理由.
解析:
24.
(1)
(2)
(3)能,…………………7分
8、(2014平谷一模)24.
(1)如图1,点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点,∠EAF=45°,连接EF,
则EF、BE、FD之间的数量关系是:
EF=BE+FD.连结BD,交AE、AF于点M、N,且MN、BM、DN满足,请证明这个等量关系;
(2)在△ABC中,AB=AC,点D、E分别为BC边上的两点.
①如图2,当∠BAC=60°,∠DAE=30°时,BD、DE、EC应满足的等量关系是__________________;
②如图3,当∠BAC=,(0°<<90°),∠DAE=时,BD、DE、EC应满足的等量关系是____________________.【参考:
】
解析:
24.
(1)在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,
∠ABM=∠ADN=45°.
把△ABM绕点A逆时针旋转90°得到.
连结.则,
,.
∵∠EAF=45°,∴∠BAM+∠DAN=45°,
∠DAM′+∠DAF=45°,.
∴≌.∴=MN.
在中,,
∴-------------------------------------------------------------------3分
(2)①;------------------------------------------------------5分
②----------------------------------------------7分
9、(2014石景山一模)24.在矩形ABCD中,AD=12,AB=8,点F是AD边上一点,过点F作∠AFE=∠DFC,交射线AB于点E,交射线CB于点G.
(1)若,则;
(2)当以F,G,C为顶点的三角形是等边三角形时,画出图形并求GB的长;
备用图
(3)过点E作EH//CF交射线CB于点H,请探究:
当GB为何值时,以F,H,E,C为顶点的四边形是平行四边形.
解析:
24.解:
(1)90°………………………………………………2分
(2)正确画图………………………………………………3分
四边形ABCD是矩形,
∠D=90°.
△是等边三角形,
.
∠DFC=∠AFE,
∠DFC=60°.…………4分
DC=8,
.
△是等边三角形,
GC=FC=.
BC=AD=12,
GB=12-.………………………………5分
(3)过点F作FK⊥BC于点K
四边形ABCD是矩形
∠ABC=90°,AD//BC
∠DFC=∠KCF,∠AFG=∠KGF
∠DFC=∠AFG
∠KCF=∠KGF
FG=FC……………………………………………………………6分
GK=CK
四边形FHEC是平行四边形
FG=EG……………………………………………………………7分
∠FGK=∠EGB,∠FKG=∠EBG=90°
∴△FGK≌△EGB
K
H
E
G
D
A
B
C
F
∴BG=GK=KC=……………………………………………8分
10、(2014海淀一模)在△ABC中,,将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD,旋转角为,且,连接AD、BD.
(1)如图1,当,时,∠CBD的大小为_________;
(2)如图2,当,时,求∠CBD的大小;
(3)已知∠BAC的大小为m(),若∠CBD的大小与
(2)中的结果相同,请直接写出的大小.
图1
图2
解析:
24.解:
(1)30°;………………………………………………………………………1分
(2)如图作等边△AFC,连结DF、BF.
∴,.
∵,,
∴.
∵,
∴.
∴.①
∵,,
∴.②
∵,③
∴由①②③,得△DCB≌△FCB,
∴,.
∵,,∴.
∵,,
∴.
∴.
∴.④
∵,,
∴.⑤
∵,⑥
∴由④⑤⑥,得△DAB≌△DAF.
∴.
∴
∴.
∴.………………………………………………………………………4分
(3),或.……………………………7分
11、(2014通州一模)24.已知:
等边三角形ABC中,点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点,点M在直线BC上,以点M为旋转中心,将线段MD顺时针旋转60º至,连接.
(1)如图1,当点M在点B左侧时,线段与MF的数量关系是__________;
(2)如图2,当点M在BC边上时,
(1)中的结论是否依然成立?
如果成立,请利用图2证明,如果不成立,请说明理由;
图3
(3)当点M在点C右侧时,请你在图3中画出相应的图形,直接判断
(1)中的结论是否依然成立?
不必给出证明或说明理由.
图1
图2
解析:
24.
(1)=MF;..........................................................(1分)
(2)与MF的相等关系依然成立
证明:
连接DE、DF、
D、E、F分别是AB、AC、BC的中点
DE//BC,DE=BC,DF//AC,DF=AC
四边形DFCE为平行四边形
△ABC是等边三角形
BC=AC,∠C=60º
DE=DF,∠EDF=∠C=60º...................(2分)
MD=,=60º..................(3分)
△是等边三角形
,
..........................................................(4分)
△≌△DMF(SAS)
=MF..........................................................(5分)
(3)与MF的相等关系依然成立....................................................(6分)
画出正确图形..............................................(7分)
12、(2014一模)24.如图,正方形ABCD的边长是2,M是AD的中点.点E从点A出发,沿AB运动到
点B停止.连接EM并延长交射线CD于点F,过M作EF的垂线交射线BC于点G,连接EG、FG.
(1)设AE=x时,△EGF的面积为y.求y关于x的函数关系式,
并写出自变量x的取值范围;
(2)P是MG的中点,求点P运动路线的长.
解析:
24.解:
(1)当点E与点A重合时,
-----------1分
x=0,y=2
-----------2分
当点E与点A不重合时,0<x≤2
在正方形ABCD中,∠A=∠ADC=90°
∴∠MDF=90°,∴∠A=∠MDF
在△AME和△DMF中
-----------3分
∴△AME≌△DMF(ASA)
∴ME=MF
在Rt△AME中,AE=x,AM=1,ME=
∴EF=2ME=2
----------5分
-----------4分
过M作MN⊥BC,垂足为N(如图)
则∠MNG=90°,∠AMN=90°,MN=AB=AD=2AM
∴∠AME+∠EMN=90°
∵∠EMG=90°
∴∠GMN+∠EMN=90°
∴∠AME=∠GMN
∴Rt△AME∽Rt△NMG
∴
即
-----------5分
∴MG=2ME=
∴
-----------6分
∴
(2)如图,PP′即为P点运动的距离;
在Rt△BMG′中,MG⊥BG′;
∴∠MBG=∠G′MG=90°-∠BMG;
∴tan∠MBG=
∴tan∠GMG′=tan∠MBG=
-----------7分
∴GG′=2MG=4;
△MGG′中,P、P′分别是MG、MG′的中点,
∴PP′是△MGG′的中位线;
∴PP′=
即:
点P运动路线的长为2.
-----------2分
13、(2014燕山一模)24.如图1,已知是等腰直角三角形,,点是
的中点.作正方形,使点、分别在和上,连接
,.
(1)试猜想线段和的数量关系是;
(2)将正方形绕点逆时针方向旋转,
①判断
(1)中的结论是否仍然成立?
请利用图2证明你的结论;
②若,当取最大值时,求的值.
解析:
24.解:
(1);…………………2分
(2)①成立.以下给出证明:
如图,连接,
∵在Rt中,为斜边中点,
∴,,
∴.…………………3分
∵四边形为正方形,
∴,且,
∴,
∴.……4分
在和中,
∴≌,
∴.……………………5分
②由①可得,当取得最大值时,取得最大值.
当旋转角为时,,最大值为.………6分
如图,此时.……………………7分
14、(2014昌平一模)24.如图1,正方形与正方形AEFG的边AB、AE(AB<AE)在一条直线上,正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转,设旋转角为.在旋转过程中,两个正方形只有点A重合,其它顶点均不重合,连接BE、DG.
(1)当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时,求证:
BE=DG;
(2)当点C在直线上时,连接FC,直接写出∠FCD的度数;
(3)如图3,如果=45°,AB=2,AE=,求点G到BE的距离.
解析:
24.
(1)证明:
如图2,∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAE+∠EAD=90°.
∵四边形AEFG是正方形,
∴AE=AG,∠EAD+∠DAG=90°.
∴∠BAE=∠DAG.…………………………………1分
∴△≌△.
∴BE=DG.……………………………………………………………………………2分
(2)解:
45°或135°.…………………………………………………………………………4分
(3)解:
如图3,连接GB、GE.
由已知α=45°,可知∠BAE=45°.
又∵GE为正方形AEFG的对角线,
∴∠AEG=45°.
∴AB∥GE.
∵,
∴GE=8,
.………………………………………………………………5分
过点B作BH⊥AE于点H.
∵AB=2,
∴.
∴.
∴.………………………………………………………………………6分
设点G到BE的距离为h.
∴.
∴.……………………………………………………………