初三数学期末复习专题提优《抛物线与特殊三角形》.doc
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初三数学期末复习专题提优《抛物线与特殊三角形》
抛物线中的特殊三角形问题已经成为各地中考试题的热点题型之一，这类试题一般是通过运算考查等腰三角形或者直角三角形的判定条件，计算三角形的面积与周长，综合性强，区分度好，沟通几何、代数、三角等知识间的联系，要求学生具有能够阅读图形、分析图形、分离基本图形的能力，较熟练地应用方程思想、分类讨论思想、转化思想、数形结合思想等常见的数学思想.
类型一抛物线与等腰三角形
1.如图，抛物线的顶点是原点，抛物线经过点（8,－8）,点坐标为（0,－2），直线为=2，直线平行于轴.点是抛物线上任意一点，过点作，垂足为点.
（1）求抛物线的函数表达式;
（2）求证:
;
（3）当是等腰直角三角形时，求点的坐标.
2.如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点,抛物线的对称轴交轴于点，已知.
（1）求抛物线的表达式;
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形?
如果存在，直接写出点的坐标;如果不存在，请说明理由.
3.如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，抛物线的对称轴与轴相交于点是抛物线在轴上方的一个动点（点不在同一条直线上）.分别过点作直线的垂线，垂足分别为，连接.
（1）求点的坐标（直接写出结果），并证明是等腰三角形;
（2）能否为等腰直角三角形?
若能，求此时点的坐标;若不能，说明理由;
（3）若将“是抛物线在轴上方的一个动点（点不在同一条直线上）”改为“是抛物线在轴下方的一个动点”，其他条件不变，能否为等腰直角三角形?
若能，求此时点的坐标（直接写出结果）;若不能，说明理由.
4.如图，抛物线与轴交于A、B两点，且B（1,0）。
（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；
（2）如图1，点P是直线上的动点，当直线平分∠APB时，求点P的坐标；（3）如图2，已知直线分别与轴轴交于C、F两点。
点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过点Q作轴的平行线，交直线CF于点D，点E在线段CD的延长线上，连接QE。
问以QD为腰的等腰△QDE的面积是否存在最大值？
若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由。
类型二抛物线与直角三角形
5.如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是（4,0），并且，动点在过三点的抛物线上.
（1）求抛物线的表达式;
（2）是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?
若存在，求出所有符合条件的点的坐标;若不存在，说明理由.
6.如图，直线与抛物线相交于和，点是线段上异于的动点，过点作轴，交抛物线于点.
（1）求抛物线的解析式;
（2）是否存在这样的点，使线段的长有最大值?
若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由;
（3）当为直角三角形时，求点的坐标.
7.如图，已知一条直线过点（0,4），且与抛物线交于两点，其中点的横坐标是－2.
（1）求这条直线的函数关系式及点的坐标;
（2）在轴上是否存在点，使得是直角三角形?
若存在，求出点的坐标;若不存在，请说明理由;
（3）过线段上一点，作轴，交抛物线于点，点在第一象限，点（0,1），当点的横坐标为何值时，的长度最大?
最大值是多少?
8．抛物线y=﹣x2+4ax+b（a＞0）与x轴相交于O、A两点（其中O为坐标原点），过点P（2，2a）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为C（其中B、C不重合），连接AP交y轴于点N，连接BC和PC．
（1）a=时，求抛物线的解析式和BC的长；
（2）如图a＞1时，若AP⊥PC，求a的值．
参考答案
1.
（1）
（2）,
（3）
2.
（1）抛物线经过
，把点代入方程式得，抛物线表达式为.
（2）作如图辅助线，
可得出抛物线的对称轴，
是等腰三角形，.
.
3.
（1）作如图①辅助线，
由题意知，
，是等腰三角形.
（2）能，如图②，可推出，，
设直线的表达式为，即解得，
设，解得（舍去），，此时.
（3）能，点的坐标为.
4.
（1）把B（1,0）代入y=ax+2x-3
得a+2-3=0,解得a=1
∴y=x+2x-3,A（-3,0）
（2）若y=x平分∠APB，则∠APO=∠BPO
如答图1，若P点在x轴上方，PA与y轴交于点
∵∠POB=∠PO=45°，∠APO=∠BPO，PO=PO
∴△≌△OPB
∴=1,
∴PA:
y=3x+1
∴
若P点在x轴下方时，
综上所述，点P的坐标为
（3）如图2，做QHCF，
CF:
y=-，C,F
tan∠OFC=
DQ∥y轴
∠QDH=∠MFD=∠OFC
tan∠HDQ=
不妨记DQ=1,则DH=,HQ=
QDE是以DQ为腰的等腰三角形
若DQ=DE,则
若DQ=QE,则
＜
当DQ=QE时则△DEQ的面积比DQ=DE时大
设Q
当DQ=t=
以QD为腰的等腰
5.
（1）设抛物线的表达式为，得到方程组
，可解得抛物线表达式为.
（2）存在.①当以为直角顶点时，过点作交抛物线于点，过点作轴的垂线，垂足为.
由题意可推出,
设，解得（舍去），，.
②当以点为直角顶点，过点作交抛物线于，交轴于，过点作轴的垂线，垂足为.
轴，.
设，解得，（舍去），.
6.
（1）由题意得.
在抛物线上，解得，
抛物线表达式.
（2）设动点
，
，
当时，取得最大值，此时.
综上，存在符合条件的点，使线段的长有最大值.
（3）显然，
当时，如图①，设直线的解析式为.
代入，解得，
由，得或（舍去）.
当时，坐标为.
当时，如图②，由知点的纵坐标，
由，得（舍去），，
当时，此时，坐标为.
综上知，满足条件的点有两个，坐标分别为或.
7.
（1）设函数关系式为，将代入，解得.
函数关系式为.
点的坐标为.
（2）作如图①辅助线，
①若，则，解得.
②若，则，解得或.
③若，则，解得.
综上，点的坐标为.
（3）设,如图②，在中，
当时，又，取到最大值18.
当点的横坐标为6时，的长度最大，最大值是18.
8.
（1）∵抛物线y=﹣x2+4ax+b（a＞0）经过原点O，
∴b=0，
∵a=，∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x，
∵x=2时，y=8，∴点B坐标（2，8），
∵对称轴x=3，B、C关于对称轴对称，
∴点C坐标（4，8），∴BC=2．
（2）∵AP⊥PC，
∴∠APC=90°，
∵∠CPB+∠APM=90°，∠APM+∠PAM=90°，
∴∠CPB=∠PAM，
∵∠PBC=∠PMA=90°，
∴△PCB∽△APM，
∴=，
∴=，
整理得a2﹣4a+2=0，解得a=2±，
∵a＞0，
∴a=2+．
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