初中数学方程与不等式提高练习和常考题与压轴难题(含解析).doc
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初中数学方程与不等式提高练习和常考题与压轴难题（含解析）
一．选择题（共16小题）
1．若关于x的方程x﹣3k=5（x﹣k）+1的解为负数，则k的值为（ ）
A．k＞ B．k＜ C．k= D．k＞且k≠2
2．下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ）
①xy+2x﹣y=7；②4x+1=x﹣y；③+y=5；④x=y；⑤x2﹣y2=2
⑥6x﹣2y⑦x+y+z=1⑧y（y﹣1）=2y2﹣y2+x．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．关于x的一元二次方程有实数根，则实数a满足（ ）
A． B． C．a≤且a≠3 D．
4．设α，β是方程x2+9x+1=0的两根，则（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）的值是（ ）
A．0 B．1 C．2000 D．4000000
5．若a，b，c为三角形三边，则关于x的二次方程x2+（a﹣b）x+c2=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
6．已知方程﹣a=，且关于x的不等式组只有4个整数解，那么b的取值范围是（ ）
A．﹣1＜b≤3 B．2＜b≤3 C．8≤b＜9 D．3≤b＜4
7．观察下列方程：
（1）；
（2）；（3）；（4）
其中是关于x的分式方程的有（ ）
A．
（1） B．
（2） C．
（2）（3） D．
（2）（4）
8．当1≤x≤2时，ax+2＞0，则a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣1 B．a＞﹣2 C．a＞0 D．a＞﹣1且a≠0
9．若关于x的不等式整数解共有2个，则m的取值范围是（ ）
A．3≤m＜4 B．3＜m＜4 C．3＜m≤4 D．3≤m≤4
10．为引导居民节约用水，某市出台了城镇居民作用水阶梯水价制度．每年水费的计算方法为：
年交水费=第一阶梯水价×第一阶梯用水量+第二阶梯水价×第二阶梯用水量+第三阶梯水价×第三阶梯用水量．该市某同学家在实施阶梯水价制度后的第一年缴纳水费1730元，则该同学家这一年的用水量为（ ）
某市居民用水阶梯水价表
阶梯
户年用水量v（m3）
水价（元/m3）
第一阶梯
0≤v≤180
5
第二阶梯
180＜v≤260
7
第三阶梯
v＞260
9
A．250m3 B．270m3 C．290m3 D．310m3
11．父子二人并排垂站立于游泳池中时，爸爸露出水面的高度是他自身身高的，儿子露出水面的高度是他自身身高的，父子二人的身高之和为3.2米．若设爸爸的身高为x米，儿子的身高为y米，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
12．方程3x+y=9在正整数范围内的解的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．有无数个
13．把一元二次方程x2﹣4x+1=0，配成（x+p）2=q的形式，则p、q的值是（ ）
A．p=﹣2，q=5 B．p=﹣2，q=3 C．p=2，q=5 D．p=2，q=3
14．若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx﹣k的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
15．在求3x的倒数的值时，嘉淇同学误将3x看成了8x，她求得的值比正确答案小5．依上述情形，所列关系式成立的是（ ）
A．=﹣5 B．=+5 C．=8x﹣5 D．=8x+5
16．若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3
二．填空题（共14小题）
17．对于实数x，规定（xn）′=nxn﹣1，若（x2）′=﹣2，则x= ．
18．销售某件商品可获利30元，若打9折每件商品所获利润比原来减少了10元，则该商品的进价是 元．
19．若关于x、y的二元一次方程组的解是，那么关于x、y的二元一次方程组的解是x= ，y= ．
20．已知实数m，n满足m﹣n2=1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于 ．
21．已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣3x+8=0，则△ABC的周长是 ．
22．若两个不等实数m、n满足条件：
m2﹣2m﹣1=0，n2﹣2n﹣1=0，则m2+n2的值是 ．
23．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染．每轮感染中平均一台电脑会感染 台电脑．
24．若m是实数，则关于x的方程x2﹣mx++m+=0的根的情况是 ．
25．若关于x的方程=+1无解，则a的值是 ．
26．数学家们在研究15、12、10这三个数的倒数时发现：
﹣=﹣．因此就将具有这样性质的三个数称之为调和数，如6、3、2也是一组调和数．现有一组调和数：
x、5、3（x＞5），则x的值是 ．
27．若不等式组有解，则a的取值范围是 ．
28．如图A、B、C、D四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为 ．
29．在一次数学知识竞赛中，竞赛题共30题．规定：
答对一道题得4分，不答或答错一道题倒扣2分，得分不低于60分者得奖．得奖者至少应答对 道题．
30．若关于x的不等式的解集为x＜2，则k的取值范围是 ．
三．解答题（共10小题）
31．甲，乙两位同学在解方程组时，甲正确地解得方程组的解为．乙因大意，错误地将方程中系数C写错了，得到的解为；若乙没有再发生其他错误，试确定a，b，c的值．
32．解方程组．
33．参加一次篮球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛30场，共有多少个队参加比赛？
34．甲、乙两班同学同时从学校沿一路线走向离学校S千米的军训地参加训练．甲班有一半路程以V1千米/小时的速度行走，另一半路程以V2千米/小时的速度行走；乙班有一半时间以V1千米/小时的速度行走，另一半时间以V2千米/小时的速度行走．设甲、乙两班同学走到军训基地的时间分别为t1小时、t2小时．
（1）试用含S、V1、V2的代数式表示t1和t2；
（2）请你判断甲、乙两班哪一个的同学先到达军训基地并说明理由．
35．对x，y定义一种新运算T，规定：
T（x，y）=（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：
T（0，1）==b，已知T（1，1）=2.5，T（4，﹣2）=4．
（1）求a，b的值；
（2）若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数P的取值范围．
36．已知x=3是关于x的不等式的解，求a的取值范围．
37．如果关于x的不等（2m﹣n）x+m﹣5n＞0的解集为x＜，试求关于x的不等式mx＞n的解集．
38．某养鸡厂计划购买甲、乙两种鸡苗共2000只进行饲养，已知甲种小鸡苗每只二元，乙种小鸡苗每只三元．
（1）若购买不超过4700元，应最少购买甲种小鸡苗多少只？
（2）相关资料表示，甲、乙两种小鸡苗的成活率分虽是94%和99%，若要使这两种小鸡苗成活率不低于96%且购买小鸡苗的总费用最低，应购买甲、乙两种小鸡各多少只？
最少费用是多少元？
39．为了相应“足球进校园”的号召，某体育用品商店计划购进一批足球，第一次用6000元购进A品牌足球m个，第二次又用6000元购进B品牌足球，购进的B品牌足球的数量比购进的A品牌足球多30个，并且每个A品牌足球的进价是每个B品牌足球的进价的．
（1）求m的值；
（2）若这两次购进的A，B两种品牌的足球分别按照a元/个，a元/个两种价格销售，全部销售完毕后，可获得的利润不低于4800元，求出a的最小值．
40．为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元．
初中数学方程与不等式提高练习和常考题与压轴难题（含解析）
参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题）
1．（2015春•蓬溪县校级月考）若关于x的方程x﹣3k=5（x﹣k）+1的解为负数，则k的值为（ ）
A．k＞ B．k＜ C．k= D．k＞且k≠2
【分析】本题首先要解这个关于x的方程，根据解是负数，可以得到一个关于k的不等式，就可以求出k的范围．
【解答】解：
x﹣3k=5（x﹣k）+1
，
根据题意得，
解得k＜；
故选B．
【点评】本题是一个方程与不等式的综合题目．解关于x的不等式是本题的一个难点．
2．（2014春•文登市校级期中）下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ）
①xy+2x﹣y=7；②4x+1=x﹣y；③+y=5；④x=y；⑤x2﹣y2=2
⑥6x﹣2y⑦x+y+z=1⑧y（y﹣1）=2y2﹣y2+x．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别．
【解答】解：
①xy+2x﹣y=7，不是二元一次方程，因为其未知数的最高次数为2；
②4x+1=x﹣y，是二元一次方程；
③+y=5，不是二元一次方程，因为不是整式方程；
④x=y是二元一次方程；
⑤x2﹣y2=2不是二元一次方程，因为其未知数的最高次数为2；
⑥6x﹣2y，不是二元一次方程，因为不是等式；
⑦x+y+z=1，不是二元一次方程，因为含有3个未知数；
⑧y（y﹣1）=2y2﹣y2+x，是二元一次方程，因为变形后为﹣y=x．
故选C．
【点评】二元一次方程必须符合以下三个条件：
（1）方程中只含有2个未知数；
（2）含未知数项的最高次数为一次；
（3）方程是整式方程．注意⑧整理后是二元一次方程．
3．（2013•海拉尔区校级三模）关于x的一元二次方程有实数根，则实数a满足（ ）
A． B． C．a≤且a≠3 D．
【分析】讨论：
当a﹣3=0，原方程变形为一元一次方程，有一个实数根；当a﹣3≠0，△=（﹣）2﹣4×（a﹣3）×1≥0，然后综合这两种情况即可．
【解答】解：
当a﹣3=0，方程变形为﹣x+1=0，此方程为一元一次方程，有一个实数根；
当a﹣3≠0，△=（﹣）2﹣4×（a﹣3）×1≥0，解得a≤且a≠3．
所以a的取值范围为a≤且a≠3．
故选C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：
当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
4．（2009•桂平市二模）设α，β是方程x2+9x+1=0的两根，则（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）的值是（ ）
A．0 B．1 C．2000 D．4000000
【分析】欲求（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）=（α2+9α+1+2000α）（β2+9β+1+2000β），再利用根与系数的关系代入数值计算即可．
【解答】解：
∵α，β是方程x2+9x+1=0的两个实数根，
∴α+β=﹣9，α•β=1．
（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）
=（α2+9α+1+2000α）（β2+9β+1+2000β）
又∵α，β是方程x2+9x+1=0的两个实数根，
∴α2+9α+1=0，β2+9β+1=0．
∴（α2+9α+1+2000α）（β2+9β+1+2000β）
=2000α•2000β
=2000×2000αβ，
而α•β=1，
∴（α2+9α+1+2000α）（β2+9β+1+2000β）=4000000．
故选D．
【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
5．（1999•烟台）若a，b，c为三角形三边，则关于x的二次方程x2+（a﹣b）x+c2=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【分析】先求出△=b2﹣4ac，再结合a，b，c为三角形的三边，即可判断根的情况．
【解答】解：
∵x2+（a﹣b）x+c2=0，
∴△=b2﹣4ac==（a﹣b）2﹣c2=（a﹣b﹣c）（a﹣b+c）
∵a，b，c为三角形三边，
∴b+c＞a，a+c＞b
∴a﹣b﹣c＜0，a﹣b+c＞0
∴（a﹣b﹣c）（a﹣b+c）＜0，
即二次方程x2+（a﹣b）x+c2=0无实数根．
故选C．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用及三角形三边的关系．
6．（2014•德阳）已知方程﹣a=，且关于x的不等式组只有4个整数解，那么b的取值范围是（ ）
A．﹣1＜b≤3 B．2＜b≤3 C．8≤b＜9 D．3≤b＜4
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到a的值，经检验确定出分式方程的解，根据已知不等式组只有4个正整数解，即可确定出b的范围．
【解答】解：
分式方程去分母得：
3﹣a﹣a2+4a=﹣1，即（a﹣4）（a+1）=0，
解得：
a=4或a=﹣1，
经检验a=4是增根，故分式方程的解为a=﹣1，
已知不等式组解得：
﹣1＜x≤b，
∵不等式组只有4个整数解，
∴3≤b＜4．
故选：
D
【点评】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题意是解本题的关键．
7．观察下列方程：
（1）；
（2）；（3）；（4）
其中是关于x的分式方程的有（ ）
A．
（1） B．
（2） C．
（2）（3） D．
（2）（4）
【分析】根据分式方程的定义：
分母里含有字母的方程叫做分式方程判断．
【解答】解：
（1）（4）中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
而
（2）（3）的方程分母中含未知数x，所以是分式方程．
故选C．
【点评】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：
仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
8．（2015•黄石）当1≤x≤2时，ax+2＞0，则a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣1 B．a＞﹣2 C．a＞0 D．a＞﹣1且a≠0
【分析】当x=1时，a+2＞0；当x=2，2a+2＞0，解两个不等式，得到a的范围，最后综合得到a的取值范围．
【解答】解：
当x=1时，a+2＞0
解得：
a＞﹣2；
当x=2，2a+2＞0，
解得：
a＞﹣1，
∴a的取值范围为：
a＞﹣1．
【点评】本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是熟记不等式的性质．
9．（2012•鼓楼区一模）若关于x的不等式整数解共有2个，则m的取值范围是（ ）
A．3≤m＜4 B．3＜m＜4 C．3＜m≤4 D．3≤m≤4
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含m的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m的不等式，从而求出m的范围．
【解答】解：
解得不等式组的解集为：
2≤x＜m，
因为不等式组只有2个整数解，
所以这两个整数解为：
2，3，
因此实数m的取值范围是3＜m≤4．
故选：
C．
【点评】本题考查了一元一次不等组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定m的范围，是解决本题的关键．
10．（2016•山西模拟）为引导居民节约用水，某市出台了城镇居民作用水阶梯水价制度．每年水费的计算方法为：
年交水费=第一阶梯水价×第一阶梯用水量+第二阶梯水价×第二阶梯用水量+第三阶梯水价×第三阶梯用水量．该市某同学家在实施阶梯水价制度后的第一年缴纳水费1730元，则该同学家这一年的用水量为（ ）
某市居民用水阶梯水价表
阶梯
户年用水量v（m3）
水价（元/m3）
第一阶梯
0≤v≤180
5
第二阶梯
180＜v≤260
7
第三阶梯
v＞260
9
A．250m3 B．270m3 C．290m3 D．310m3
【分析】利用表格中数据得出水费不超过1460元时包括第三阶梯水价费用，进而得出等量系求出即可．
【解答】解：
设该同学这一年的用水量为x，
根据表格知，180×5+80×7=1460＜1730，则该同学家的用水量包括第三阶梯水价费用．
依题意得：
180×5+80×7+（x﹣260）×9=1730，
解得x=290．
故选：
C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用．根据表格中数据得出正确是等量关系是解题关键．
11．（2017•河北一模）父子二人并排垂站立于游泳池中时，爸爸露出水面的高度是他自身身高的，儿子露出水面的高度是他自身身高的，父子二人的身高之和为3.2米．若设爸爸的身高为x米，儿子的身高为y米，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意可得两个等量关系：
①爸爸的身高+儿子的身高=3.2米；②父亲在水中的身高（1﹣）x=儿子在水中的身高（1﹣）y，根据等量关系可列出方程组．
【解答】解：
设爸爸的身高为x米，儿子的身高为y米，由题意得：
，
故选：
D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系，解决此题的关键是知道父亲和儿子没在水中的身高是相等的．
12．（2016春•沈丘县期末）方程3x+y=9在正整数范围内的解的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．有无数个
【分析】由题意求方程的解且要使x，y都是正整数，将方程移项将x和y互相表示出来，在由题意要求x＞0，y＞0根据以上两个条件可夹出合适的x值从而代入方程得到相应的y值．
【解答】解：
由题意求方程3x+y=9的解且要使x，y都是正整数，
∴y=9﹣3x＞0，
∴x≤2，
又∵x≥0且x为正整数，
∴x值只能是x=1，2，代入方程得相应的y值为y=6，3．
∴方程3x+y=9的解是：
，；
故选：
B．
【点评】本题是求不定方程的整数解，主要考查方程的移项，合并同类项，系数化为1等技能，先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的取值范围，然后枚举出适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值．
13．（2017•安徽模拟）把一元二次方程x2﹣4x+1=0，配成（x+p）2=q的形式，则p、q的值是（ ）
A．p=﹣2，q=5 B．p=﹣2，q=3 C．p=2，q=5 D．p=2，q=3
【分析】移项后，两边配上一次项系数一半的平方即可得．
【解答】解：
∵x2﹣4x=﹣1，
∴x2﹣4x+4=﹣1+4，即（x﹣2）2=3，
则p=﹣2，q=3，
故选：
B．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：
直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
14．（2016•通辽）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx﹣k的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先根据一元二次方程有两个不相等的实数根确定k的取值范围，然后根据一次函数的性质确定其图象的位置．
【解答】解：
∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k+1=0有两个不相等的实数根，
∴（﹣2）2﹣4（﹣k+1）＞0，
即k＞0，
∴﹣k＜0，
∴一次函数y=kx﹣k的图象位于一、三、四象限，
故选B．
【点评】本题考查了根的判别式及一次函数的图象的问题，解题的关键是根据一元二次方程的根的判别式确定k的取值范围，难度不大．
15．（2016•河北）在求3x的倒数的值时，嘉淇同学误将3x看成了8x，她求得的值比正确答案小5．依上述情形，所列关系式成立的是（ ）
A．=﹣5 B．=+5 C．=8x﹣5 D．=8x+5
【分析】根据题意知：
8x的倒数+5=3x的倒数，据此列出方程即可．
【解答】解：
根据题意，可列方程：
=+5，
故选：
B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找到3x的倒数与8x的倒数间的等量关系，列出方程．
16．（2017•米东区校级一模）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3
【分析】先将每一个不等式解出，然后根据不等式的解集是x＞3求出m的范围
【解答】解：
①x+8＜4x﹣1
﹣3x＜﹣9
x＞3
②x＞m
∵不等式组的解集为x＞3
∴m≤3
故选（C）
【点评】本题考查不等式组的解法，解题的关键是熟练一元一次不等式的解法，以及正确理解不等式组的解集，本题属于中等题型．
二．填空题（共14小题）
17．（2008•丰台区一模）对于实数x，规定（xn）′=nxn﹣1，若（x2）′=﹣2，则x= ﹣1 ．
【分析】根据规定，得：
当n=2时，则（x2）′=2x，解方程即可．
【解答】解：
根据题意得：
2x=﹣2，
x=﹣1．
故答案为：
﹣1．
【点评】此题的关键是正确理解规定的运算，能够把方程的左边按要求进行转换．
18．（2005•乌鲁木齐）销售某件商品可获利30元，若打9折每件商品所获利润比原来减少了10元，则该商品的进价是 70 元．
【分析】本题的等量关系为：
原售价的9折=新售价，而原售价=30+进价，新售价=30+进价﹣10．
【解答】解：
设该商品的进价是x元，则（30+x）×0.9=30+x﹣10
解得x=70，
则该商品的进价是70元．
【点评】此题首先读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
19．（1998•广东）若关于x、y的二元一次方程组的解是，那么关于x、y的二元一次方程组的解是x= 4 ，y= 3 ．
【分析】本题先代入解求出得，再将其代入二元一次方程组得到，解出即可．
【解答】解：
∵二元一次方程组的解是，
∴有，
解得；
将代入二元一次方程组，
得，
解得．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的解法，关键是熟练掌握二元一次方程组的解法即代入消元法和加减消元法．
注意：
在运用加减消元法消元时，两边同时乘以或除以一个不为0的整数或整式，一定注意不能漏项．
20．（2014•南通）已知实数m，n满足m﹣n2=1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于 4 ．
【分析】已知等式变形后代入原式，利用完全平方公式变形，根据完全平方式恒大于等于0，即可确定出最小值．
【解答】解：
∵m﹣n2=1，即n2=m﹣1≥0，m≥1，
∴原式=m2+2m﹣2+4m﹣1=m2+6m+9﹣12=（m+3）2﹣12，
则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于（1+3）2﹣12=4．
故答案为：
4．
【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
21．（2013•绵阳）已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣3x+8=0，则△ABC的周长是 6或12或10 ．
【分析】根据题意得k≥0且（3）2﹣4×8≥0，而整数k＜5，则k=4，方程变形为x2﹣6x+8=0，解得x1=2，x2=4，由于△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣6x+8=0，
所以△ABC的边长可以为2、2、2或4、4、4或4、4、2，然后分别计算三角形周长．
【解答】解：
根据题意得k≥0且（3）2﹣4×8≥0，
解得k≥，
∵整数k＜5，
∴k=4，
∴方程变形为x2﹣6x+8=0，解得x1=2，x2=4，
∵△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣
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