二次函数系数a、b、c与图像的关系----精选练习题.doc
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二次函数系数a、b、c与图像的关系
知识要点
二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：
开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．
（2）b由对称轴和a的符号确定：
由对称轴公式x=判断符号．
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：
交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．
（4）b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：
2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0．
（5）当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=-1时，可确定a-b+c的符号．
（6）由对称轴公式x=，可确定2a+b的符号．
一．选择题（共9小题）
1．（2014•威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：
①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．
其中正确的个数是（ ）
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
2．（2014•仙游县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：
①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．
③④
B．
②③
C．
①④
D．
①②③
3．（2014•南阳二模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：
①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④＜0中，正确的结论有（ ）
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
4．（2014•襄城区模拟）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图，有以下结论：
①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．
其中正确结论的个数为（ ）
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
5．（2014•宜城市模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：
①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2．
其中说法正确的是（ ）
A．
①②
B．
②③
C．
②③④
D．
①②④
6．（2014•莆田质检）如图，二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，对称轴在y轴的右侧，则m的取值范围是（ ）
A．
m＞2
B．
m＜3
C．
m＞3
D．
2＜m＜3
7．（2014•玉林一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：
①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．
其中正确结论的个数是（ ）
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
8．（2014•乐山市中区模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与
y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：
①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．
其中正确的是（ ）
A．
①②
B．
③④
C．
①③
D．
①③④
9．（2014•齐齐哈尔二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，下列结论正确的个数为（ ）
①b＜0；②c＜0；③a+c＜0；④4a﹣2b+c＞0．
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
10、（2011•重庆）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）
A、a＞0B、b＜0C、c＜0D、a+b+c＞0
11、（2011•雅安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（ ）
A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤
12、（2011•孝感）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（12，1），下列结论：
①ac＜0；②a+b=0；③4ac-b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数是（ ）
A、1B、2C、3D、4
答案
一．选择题（共9小题）
1．（2014•威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：
①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．
其中正确的个数是（ ）
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
考点：
二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
分析：
由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解答：
解：
抛物线与y轴交于原点，
c=0，（故①正确）；
该抛物线的对称轴是：
，
直线x=﹣1，（故②正确）；
当x=1时，y=a+b+c
∵对称轴是直线x=﹣1，
∴﹣b/2a=﹣1，b=2a，
又∵c=0，
∴y=3a，（故③错误）；
x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，
x=﹣1对应的函数值为y=a﹣b+c，
又∵x=﹣1时函数取得最小值，
∴a﹣b+c＜am2+bm+c，即a﹣b＜am2+bm，
∵b=2a，
∴am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．（故④正确）．
故选：
C．
点评：
本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
2．（2014•仙游县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：
①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．
③④
B．
②③
C．
①④
D．
①②③
考点：
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专题：
数形结合．
分析：
由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解答：
解：
①当x=1时，y=a+b+c=0，故①错误；
②当x=﹣1时，图象与x轴交点负半轴明显大于﹣1，
∴y=a﹣b+c＜0，
故②正确；
③由抛物线的开口向下知a＜0，
∵对称轴为0＜x=﹣＜1，
∴2a+b＜0，
故③正确；
④对称轴为x=﹣＞0，a＜0
∴a、b异号，即b＞0，
由图知抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0
∴abc＜0，
故④错误；
∴正确结论的序号为②③．
故选：
B．
点评：
二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：
开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；
（2）b由对称轴和a的符号确定：
由对称轴公式x=﹣判断符号；
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：
交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；
（4）当x=1时，可以确定y=a+b+c的值；当x=﹣1时，可以确定y=a﹣b+c的值．
3．（2014•南阳二模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：
①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④＜0中，正确的结论有（ ）
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
考点：
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专题：
数形结合．
分析：
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解答：
解：
①∵图象开口向下，∴a＜0；故本选项正确；
②∵该二次函数的图象与y轴交于正半轴，∴c＞0；故本选项正确；
③∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不相同交点，∴根的判别式△=b2﹣4ac＞0；故本选项正确；
④∵对称轴x=﹣＞0，∴＜0；故本选项正确；
综上所述，正确的结论有4个．
故选D．
点评：
本题主要考查了二次函数的图象和性质，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定，做题时要注意数形结合思想的运用，同学们加强训练即可掌握，属于基础题．
4．（2014•襄城区模拟）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图，有以下结论：
①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．
其中正确结论的个数为（ ）
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
考点：
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分析：
由函数y=x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x=﹣1时，y=1﹣b+c＞0；当x=3时，y=9+3b+c=3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．
解答：
解：
∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，
∴b2﹣4ac＜0；
故①正确；
当x=﹣1时，y=1﹣b+c＞0，
故②错误；
∵当x=3时，y=9+3b+c=3，
∴3b+c+6=0；
③正确；
∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
∴x2+bx+c＜x，
∴x2+（b﹣1）x+c＜0．
故④正确．
故选C．
点评：
主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
5．（2014•宜城市模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：
①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2．
其中说法正确的是（ ）
A．
①②
B．
②③
C．
②③④
D．
①②④
考点：
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分析：
根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b=2a＞0，则2a﹣b=0，则可对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则abc＜0，于是可对①进行判断；由于x=﹣2时，y＜0，则得到4a﹣2b+c＜0，则可对③进行判断；通过点（﹣5，y1）和点（2，y2）离对称轴的远近对④进行判断．
解答：
解：
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x=﹣=﹣1，
∴b=2a＞0，则2a﹣b=0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵x=2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，所以③错误；
∵点（﹣5，y1）离对称轴要比点（2，y2）离对称轴要远，
∴y1＞y2，所以④正确．
故选D．
点评：
本题考查了二次函数图象与系数的关系：
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：
左同右异）．抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数：
△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
6．（2014•莆田质检）如图，二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，对称轴在y轴的右侧，则m的取值范围是（ ）
A．
m＞2
B．
m＜3
C．
m＞3
D．
2＜m＜3
考点：
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分析：
由于二次函数的对称轴在y轴右侧，根据对称轴的公式即可得到关于m的不等式，由图象交y轴于负半轴也可得到关于m的不等式，再求两个不等式的公共部分即可得解．
解答：
解：
∵二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，
∴m﹣3＜0，
解得m＜3，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴x=，
解得m＞2，
∴2＜m＜3．
故选：
D．
点评：
此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是利用对称轴的公式以及图象与y轴的交点解决问题．
7．（2014•玉林一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：
①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．
其中正确结论的个数是（ ）
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
考点：
二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
分析：
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解答：
解：
∵抛物线的开口方向向下，
∴a＜0；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；
由图象可知：
对称轴x==﹣1，
∴2a=b，2a+b=4a，
∵a≠0，
∴2a+b≠0，②错误；
∵图象过点A（﹣3，0），
∴9a﹣3b+c=0，2a=b，
所以9a﹣6a+c=0，c=﹣3a，③正确；
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0
由图象可知：
当x=1时y=0，
∴a+b+c=0，④正确．
故选C．
点评：
考查了二次函数图象与系数的关系，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
8．（2014•乐山市中区模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与
y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：
①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．
其中正确的是（ ）
A．
①②
B．
③④
C．
①③
D．
①③④
考点：
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分析：
①由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点A（﹣1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断；
②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b=﹣2a，将其代入（3a+b），并判定其符号；
③根据两根之积=﹣3，得到a=，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围；
④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=c，利用c的取值范围可以求得n的取值范围．
解答：
解：
①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x=1，
∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），
∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．
故①正确；
②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．
∵对称轴x==1，
∴b=﹣2a，
∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，即3a+b＜0．
故②错误；
③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0），
∴﹣1×3=﹣3，
=﹣3，则a=．
∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），
∴2≤c≤3，
∴﹣1≤≤，即﹣1≤a≤．
故③正确；
④根据题意知，a=，=1，
∴b=﹣2a=，
∴n=a+b+c=c．
∵2≤c≤3，
≤≤4，≤n≤4．
故④正确．
综上所述，正确的说法有①③④．
故选D．
点评：
本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
9．（2014•齐齐哈尔二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，下列结论正确的个数为（ ）
①b＜0；②c＜0；③a+c＜0；④4a﹣2b+c＞0．
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
考点：
二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
分析：
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解答：
解：
①∵y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，
∴对称轴在y轴的右侧，
即：
﹣＞0，
∵a＞0
∴b＜0，故①正确；
②显然函数图象与y轴交于负半轴，
∴c＜0正确；
③∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），
∴a﹣b+c=0，
即a+c=b，
∵b＜0，
∴a+c＜0正确；
④∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），且a＞0，
∴当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c＞0，
故④正确，
故选D．
点评：
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
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