反比例函数的图像和性质的综合应用.doc

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反比例函数的图像和性质的综合应用

【基础知识精讲】

1、反比例函数：

一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=

（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数．

反比例函数y=（k≠0）还可以写成：

①（k≠0）②（k≠0）.

2、反比例函数的概念需注意以下几点：

（1）k为常数，k≠0；

（2）中分母x的指数为1；（3）自变量x的取值范围是x≠0的一切实数；

（4）因变量y的取值范围是y≠0的一切实数．

3、反比例函数的图象．

4、反比例函数y=具有如下的性质:

性质1、反比例函数（）

（1）当时，图象在一、三象限；在每个象限内，随增大而减小；

（2）、当时，图象在二、四象限；在每个象限内，随增大而增大；

性质2、反比例函数（）的图象是中心对称图形，也是轴对称图形；

因此，当点P（a，b）在图象上时，Q（－a，－b）和R（b，a）也在图象上。

Y

O

P（x,y）

M

N

5、反比例函数y=（k≠0）中的几何意义：

X

过函数y=（k≠0）的图像上任一点

作PM⊥轴，PN⊥轴，所得矩形PMON的面积

S矩形=∣∣=∣∣,S△POM=∣∣。

一、【基础训练】

1.反比例函y=的图象的两个分支分别在第二、四象限内,那么m的取值范围是（）A.m<0B.m>0C.m<5D.m>5

2.设A（x1,y1）、B（x2,y2）是反比例函数y=-图象上的两点,若x1y1>0D.y1>y2>0

3.函数y=（2m2-7m-9）是反比例函数,且图象在每个象限内y随x的增大而减小,则m=_____.

4.如图,A、B是函数y=的图象上关于原点O对称的任意两点,

AC平行于y轴,BC平行于x轴,则△ABC的面积为________.

5.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，A、B、C在双曲线上，BD^x轴于D,CE^y轴于E,点，F在x轴上，且AO=AF,则图中阴影部分的面积之和为.

y

F

E

E

C

B

A

x

O

6．如图，已知矩形OABC的面积为，它的对角线OB与双曲线y=

交于点D，且OB：

OD=5：

3，则k=________．

7.如图，平行四边形AOBC中，对角线交于点E，双曲线（k>0）经过A、E两点，若平行四边形AOBC的面积为18，则k=.

8.如图,直线和双曲线交于A、B亮点,P是线段AB上的点（不与A、B重合）,过点A、B、P分别向x轴作垂线,垂足分别是C、D、E,连接OA、OB、OP,设△AOC面积是S1、△BOD面积是S2、△POE面积是S3、则（）

A.S1＜S2＜S3B.S1>S2>S3C.S1=S2>S3D.S1=S2

9.如图，正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数y＝（x＞0）的图像上，顶点A1、B1分别在x轴和y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点A3在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为

10.如图，已知动点A在函数的图象上，轴于点B，轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC。

直线DE分别交轴于点P，Q。

当时，图中阴影部分的面积等于_______.

O

A

B

C

x

y

y=x

11．如图所示，已知菱形OABC，点C在x轴上，

直线y=x经过点A，菱形OABC的面积是．若反比例函数的

图象经过点B，求此反比例函数表达式。

12.如图，一次函数的图象与反比例函数（x>0）的图象交于点P，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、点D，且S△DBP=27，。

（1）求点D的坐标；

（2）求一次函数与反比例函数的表达式；x

y

A

O

P

B

C

D

（3）根据图象写出当x取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？

13.如图，已知反比例函数的图象经过

点（，8），直线经过该反比例函数图象上的点Q（4，）．

（1）求上述反比例函数和直线的函数表达式；

（2）设该直线与轴、轴分别相交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连结0P、OQ，求△OPQ的面积．

14.如图，正比例函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于点，过点作轴的垂线，垂足为，已知的面积为1.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）如果为反比例函数在第一象限图象上的点（点与点不重合），且点的横坐标为1，在轴上求一点，使最小.

（第14题）

二、【精讲精炼】

考点一:

与几何图形有关的问题

例1如图，已知点在函数的图象上，

矩形ABCD的边BC在轴上，E是对角线BD的中点，且该函数图象也经过A、E两点，E点横坐标为.

⑴求的值；

⑵求点的横坐标；

⑶当时，求的值.

[实战演练]：

（1）如图所示，矩形AOCB的两边OC、OA分别位于轴、轴上，点B的坐标为，D是AB边上的一点，将沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数图象上，求该函数解析式.

考点二、两图像的交点问题

例2．如图，A、B分别是x、y轴上的一点，且OA=OB=1，P是函数y=（x>0）图象上的一动点，过P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，M、N分别为垂足，PM、PN分别交AB于E、F．

B

A

O

N

M

E

F

P

C

D

（1）证明AF·BE=1．

（2）若平行于AB的直线与双曲线只有一个公共点，

求公共点的坐标．

[实战演练]：

1．如图，已知反比例函数y=（k<0）的图象经过点A（-，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为．

（1）求k和m的值；

（2）若一次函数y=ax+1的图象经过点A，并且与x轴相交于点C，求∠ACO的度数和│AO│：

│AC│的值．

考点3：

相似在反比例函数中的应用

例3、如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两

点，．

（1）求反比例函数和一次函数的关系式；

（2）在直线上是否存在一点，使∽，若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由．

[实战演练3]

如图，直线l经过点A（1，0），且与双曲线y＝（x＞0）交于点B（2，1），过点P（p，p－1）

（p＞1）作x轴的平行线分别交曲线y＝（x＞0）和y＝－（x＜0）于M，N两点.

（1）求m的值及直线l的解析式；

（2）若点P在直线y＝2上，求证：

△PMB∽△PNA；

（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△APM？

若存在，

请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由.

考点四：

反比例函数与方程和不等式

例4.如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点.

（1）求反比例函数和一次函数的解析式.

（2）求直线与轴的交点的坐标及的面积.

（3）求方程的解（请直接写出答案）；

（4）求不等式的解集（请直接写出答案）.

[实战演练4]

1.如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点．

（1）求、的值；

（2）直接写出时x的取值范围；

A

B

D

y

E

C

x

O

P

（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC//OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由．

培优训练

1.若M（）,N,P三点都在的图象上,则,,的大小关系为（）

A.>>B.>>C.>>D.>>

2、如图，已知动点A在函数的

图象上，轴于点B，轴于点C，延长CA至

点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC。

直线DE分

别交轴于点P，Q。

当时，图中阴影部分的

面积等于_______

3.如图，ABCD的顶点A，B

的坐标分别是A（－1，0），B（0，－2），顶点C，

D在双曲线上，边AD交轴于点E，且四边

形BCDE的面积是△ABE面积的5倍，则=

4.如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=k/x的图象交于A、B、两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知A（a,b），且a∶b=3∶1，OA=，点B的坐标为（m，-2）。

（1）求反比例函数的解析式

（2）求一次函数的解析式

（3）在y轴上存在一点P，是的△PDC与△ODC相似，

请你求出P点的坐标。

5.如图，在直角坐标平面内，函数（，是常数）的图象经过，，其中．过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为，连结，，．

（1）若的面积为4，求点的坐标；

（2）求证：

；

（3）当时，求直线的函数解析式．

6.如图，一次函数的图象与反比例函数（x＜0）的图象相交于A点，与y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C（2，0），当x＜－1时，一次函数值大于反比例函数值，当x＞－1时，一次函数值小于反比例函数值．

（1）求一次函数的解析式；

（2）设函数（x＞0）的图象与（x＜0）的图象关于y轴对称，在（x＞0）的图象上取一点P（P点的横坐标大于2），过P点作PQ⊥x轴，垂足是Q，若四边形BCQP的面积等于2，求P点的坐标．

家庭作业

第一部分：

选择题

1.已知一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限,则函数y=的图象在（）

A.第一、三象限;B.第二、四象限C.第三、四象限;D.第一、二象限

第二部分：

填空题

2、反比例函数y=的图象在每一象限内，y随x的增大而增大，则n的值是______

3.（2011贵州遵义）如图，已知双曲线，，

点P为双曲线上的一点，且PA⊥轴于点A，PB⊥轴于

点B，PA、PB分别次双曲线于D、C两点，则△PCD的面积

为。

4．在平面直角坐标系中，有反比例函数y=与y=－

的图象和正方形ABCD，原点O与对角线AC、BD的交点

重叠，且如图所示的阴影部分面积为8，则AB= ．

第三部分：

解答题

5.如图，直线与双曲线交于点A、E，直线AB交双曲线于另一

点B，与x轴、y轴分别交于点C、D.已知B（m,n），

且m∶n=2∶1.直线EB交x轴于点F.

⑴求A、B两点的坐标；

⑵求证：

△COD∽△CBF.

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