分式的运算教案.doc
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分式的运算
一、旧知识复习
(一);;
(二),;
(三),;
(四),
(五)
(1)am×an=(m、n都是正整数);
(2)(m、n都是正整数);
(3)(ab)n=(m,n都是正整数);(4)(,均为正整数,且);
(5)
二、核心知识点
知识点一:
分式的乘法法则
与分数的乘法法则类似,我们得到分式的乘法法则:
两个分式相乘,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母.
符号表示:
.
要点诠释:
(1)分式与分式相乘时,若分子和分母都是多项式,则先分解因式,看能否约分,然后再相乘。
(2)整式与分式相乘,可以直接把整式(整式的分母看作1)与分式的分子相乘作为积的分子,分母不
变,当然能约分的要约分。
知识点二:
分式的除法法则
与分数的除法法则类似,我们得到分式的除法法则:
两个分式相除,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.
符号表示:
.
要点诠释:
(1)当分式的分子与分母都是单项式时,运算步骤是:
把除式中的分子与分母颠倒位置后,与被除式
相乘,其它与乘法运算步骤相同。
(2)当分子与分母都是多项式时:
运算步骤是:
①把各个分式的分子与分母分解因式;
②把除式的分子与分母颠倒位置后,与被除式相乘;
③约分,得到计算结果.
知识点三:
分式的乘方
几个相同分式的积的运算叫做分式的乘方。
法则:
分式的乘方,等于把分式的分子、分母分别乘方。
符号表示:
(为正整数)。
要点诠释:
(1)分式的乘方,必须把分式加上括号。
(2)在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时,应先算乘方,再算乘、除,有多项式时应先
分解因式,再约分。
知识点四:
分式的加减法则
同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减;异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减.
符号表示:
,.
要点诠释:
(1)同分母分式相加减时应注意:
①当分式的分子是多项式时,应先添括号,再去括号合并同类项,从而避免符号错误。
②分式的分子相加减后,若结果为多项式,应先考虑因式分解后与分母约分,将结果化为最简分
式或整式。
(2)异分母分式相加减时应注意:
①把异分母的分式化成同分母的分式,在这个过程中必须保证化成的分式与其原来的分式相等;
②通分的根据是分式的基本性质,分母需要乘“什么”,分子也必须随之乘“什么”;分式的分
子、分母同时乘的整式是最简公分母除以分母所得的商。
识点五:
整数指数幂运算性质
(1)(m,n是整数);
(2)(m,n是整数);
(3)(n是整数);(4)(≠0,m,n是整数,);
(5)(n是整数,b≠0); (6)(a≠0,n是正整数);
特别地,当a≠0时,a0=1.
知识点六:
分式的混合运算
分式的混合运算顺序和实数的运算顺序相同,先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号要先算括号里面的,计算结果要化为整式或最简分式。
规律方法指导
1.明确运算顺序是正确进行分式恒等变形的前提.如果在运算过程中能灵活运用“结合律”、“分配
律”以及去(添)括号法则等手段往往能够使问题变得简单.
2.根据所给条件化简分式是分式运算的深化和延续.其方法经常是根据等式性质对所给条件实行变化,
转化成所需要的形式,根据整式和分式运算法则对式子实行恒等变形,并在变形过程中把条件代入
进去,以达到化简或求值的目的.
3.因式分解是整式也是分式恒等变形中非常重要、经常要用到的数学方法.在今后的学习中也要用到因
式分解,所以必须引起重视.
三、典型题
类型一:
分式的乘除运算
例1.计算:
(1);
(2).
思路点拨:
应用乘除法的法则进行运算.如果有乘方运算,先进行乘方运算,然后将除法变为乘法;分子、分母能因式分解的先因式分解;能够约分的要进行约分,注意符号的变化.
解析:
(1)
.
(2)
.
总结升华:
(1)对分子、分母作因式分解与除法运算转化成乘法运算可同时进行;
(2)运算中出现整式时,若是乘积运算,只须将它与其它分式的分子相乘;当它是除式时,则只取它
本身的倒数,再与其它分式相乘;
(3)注意,第
(2)题千万别错写成的形式;
(4)计算的结果,如果可能,尽量不让分式前边带有负号,如
(1)题.
【变式1】计算:
(1);
(2).
【答案】
(1);
(2)
.
【变式2】计算:
【答案】
.
【变式3】计算并说出每一步的算理。
思路点拨:
分式乘除法的混合运算先统一成为乘法运算,再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式,最后进行约分,注意最后的计算结果要是最简的.
解析:
=(先把除法统一成乘法运算)
=(判断运算的符号)
=(约分到最简分式)
类型二:
分式的加减运算
例2.计算:
(1);
(2);(3)
思路点拨:
(1)应用加减法的法则进行运算.异分母分式做加减运算前先通分,通分前如果分母可以因式分解要
先进行因式分解.
(2)第一小题分母相同,根据法则直接计算;第二小题的最简公分母为(x+y)(x-y);第三小题
的后两项-a-2=-.
解析:
(1)
(2)
(3)
总结升华:
(1)异分母分式相加减步骤如下:
分母能分解因式的分解因式,确定最简公分母,通分,同分母分式
加减,化成最简形式.
(2)分式与整式进行加减,要把整式当成分母为“1”的式子,然后与分式进行通分,再计算.
(3)分式中的分数线有括号的作用,单个的分式分子、分母不用加括号,只要几个分式统一成一个分
式时,原来隐藏的括号全要写出来.
【变式】
(1);
(2);
【答案】分析:
(1)整式与分式的加减运算就如同整数与分数的加减运算,需把整式看成分母为1的形式与分式通分.
(1)原式.
分析:
(2)虽分母不完全相同,但只有符号差别,把第二项提个负号便可转化为同分母分式运算.
(2)原式.
例3.先化简,再求值:
,其中。
思路点拨:
将各式的分子、分母分解因式,约分后再计算。
解析:
原式
当a=3时,原式
总结升华:
当分式的分子、分母有公因式时,应先约分,再通分,可化繁为简。
类型三:
分式的混合运算
例4.计算:
(1);
(2)
思路点拨:
(1)式中有乘方、除法运算,应先算乘方,再算除法;
(2)式中有分式的加法、除法运算,应先算除法,后算加法.
解析:
(1) 。
(2)
。
总结升华:
分式的混合运算,要特别注意运算顺序及符号的处理;式中有括号,应先算括号里面的。
【变式】计算:
【答案】
类型四:
化简求值类型题
例5.先化简,再求值.
思路点拨:
分式的四则混合运算顺序与分数的四则运算顺序一样,先乘方,再乘除,最后加减,有括号要先算括号内的.有些题目先运用乘法分配律,再计算更简便些.
解析:
总结升华:
分式混合运算法则口诀:
分式四则运算,顺序乘除加减,乘除同级运算,除法符号须变(乘);乘法进行化简,因式分解在先,分子分母相约,然后再行运算;加减分母需同,分母化积关键;找 出最简公分母,通分不是很难;变号必须两处,结果要求最简.
【变式1】计算:
,并求时原式的值。
【答案】=
=
当时,原式==1
【变式2】按下列程序计算:
(1)填表.
输入n
3
…
输出答案
1
1
(2)请将题中计算程序用代数式表达出来,并化简.
【答案】第
(1)题较容易,只要按程序所提供的运算方法和顺序进行计算,就能得到正确的答案.有 趣的是,尽管输入的n不同,但输出答案均是1.进而可以猜想第
(2)题的所列代数式化简后的结果应 是1.
(1)均填1
(2)
例6.已知,求的值.
思路点拨:
化简求值、整体代入
解析:
= =
= ,
原式=1.
【变式1】先化简,再求值:
,其中a满足.
【答案】原式
因
【变式2】小玲遇到一道题:
“先化简,再求的值,其中.”小玲做题时把“”错抄成了“”,但她的计算结果也是正确的.请你解释这是怎么回事.
【答案】把“”错抄成了“”,计算结果也正确,其原因可能是原式化简的结果为常数或是x偶次方的代数式.应该先化简,再仔细观察.
因为
且或时,x2的值均为3,原式的计算结果都为7,
所以把“”错抄成了“”,计算结果也是正确的.
类型五:
比较复杂的分式加减法
例7.
思路点拨:
可以前两项先通分加起来,再跟第3项相加,所得结果再跟第4项做和.
解析:
原式.
例8.计算:
。
思路点拨:
当分式中的因式互为相反数时,可先换元,再通分,可化繁为简。
解析:
设,则
原式
【变式1】计算
【答案】原式=
==
【变式2】计算
【答案】原式=
= =0
类型六:
对称分式或接近对称分式的加减运算
例9.计算
思路点拨:
应用加减法的法则进行运算,观察每一个分式的特点以及整个分式的特点,寻找最简单的解题途径.
解析:
原式=
==
=
总结升华:
当分子的次数达到或超过分母时,将分式化为整式与最简分式的和,可以降低难度.
【变式】计算:
++
【答案】原式=++
=-+-+-=0
类型七:
分式的拆分
例10.观察下面的变形规律:
=1-;=-;=-;……
解答下面的问题:
(1)若n为正整数,请你猜想=________________;
(2)证明你猜想的结论;
(3)求和:
+++…+.
思路点拨:
本题可巧用分式减法的逆运算,将分式进行拆项、合并。
解析:
(1)
(2)证明:
-=-==.
(3)原式=1-+-+-+…+-=.
总结升华:
把分式拆项相消后,会减少项数,使通分运算更简便。
【变式】计算:
++……+
思路点拨:
应用加减法的法则进行运算,有些分式可以拆分,如=达到简化运算的目的.
解析:
原式=-+-+……+- =-=
总结升华:
如果分式分母中的两个因式相差为1,逆用分式减法法则拆项.即表示为:
=-.
-12-