勾股定理专题复习及题型讲解.doc

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勾股定理复习

一、要点精练

（一）勾股定理

1、（填空题）

已知在Rt△ABC中，∠C=90°。

①若a=3，b=4，则c=________；②若a=40，b=9，则c=________；

③若a=6，c=10，则b=_______；④若c=25，b=15，则a=________。

2、（填空题）

已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10。

①若∠A=30°，则BC=______，AC=_______；[来源:

学科网]②若∠A=45°，则BC=______，AC=_______。

[来源:

学。

科。

网]

3、下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（）

（A）（B）（C）（D）

4、直角三角形的面积为，斜边上的中线长为，则这个三角形周长为（）

（A）（B）

（C）（D）

解:

设两直角边分别为,斜边为,则,.

由勾股定理,得.

所以.

所以.所以.

故选（C）

5、直角三角形的三边是,并且都是正整数,则三角形其中一边的长可能是（）

（A）61（B）71（C）81（D）91

解:

因为.根据题意,有.

整理,得.所以.

所以.

即该直角三角形的三边长是.

因为只有81是3的倍数.

故选（C）

6、在中,,则边的长为______.

7、直角三角形的三边是,并且都是正整数,则三角形其中一边的长可能是（）

（A）61（B）71（C）81（D）91

（二）勾股定理的验证及其验证过程的相关应用

1、下图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的边长分别为a、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a+b的正方形内.

①图乙和图丙中

（1）

（2）（3）是否为正方形？

为什么？

②图中

（1）

（2）（3）的面积分别是多少？

③图中

（1）

（2）的面积之和是多少？

④图中

（1）

（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？

为什么？

由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？

参考答案

①图乙、图丙中

（1）

（2）（3）都是正方形.易得

（1）是以a为边长的正方形，

（2）是以b为边长的正方形，（3）的四条边长都是c，且每个角都是直角，所以（3）是以c为边长的正方形.

②图中

（1）的面积为a2,

（2）的面积为b2,（3）的面积为c2.

③图中

（1）

（2）面积之和为a2+b2.

④图中

（1）

（2）面积之和等于（3）的面积.

因为图乙、图丙都是以a+b为边长的正方形，它们面积相等，

（1）

（2）的面积之和与（3）的面积都等于（a+b）2减去四个Rt△ABC的面积.

由此可得：

任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理.

2、

（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？

该如何考虑呢？

（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72？

参考答案

（1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形，如右图：

AC=4，BC=3,

S正方形ABED=S正方形FCGH－4SRt△ABC

=（3+4）2－4××3×4=72－24=25

即AB2=25，又AC=4，BC=3，

AC2+BC2=42+32=25

∴AB2=AC2+BC2

（2）如图（图见题干中图）

S正方形ABED=S正方形KLCJ－4SRt△ABC=（4+7）2－4××4×7=121－56=65=42+72

3、如图2，以三角形的三边为直径分别向三角形外侧作半圆，其中两个半圆的面积和等于另一个半圆的面积，则此三角形的形状为_____.

解:

根据题意，有，即

.

整理,得.

故此三角形为直角三角形.

4、如图4，已知中，，以的各边为边在外作三个正方形，分别表示这三个正方形的面积，，则

解：

由勾股定理，知，即，所以．

图5

5．如图5,已知，中，，从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长，则斜边之长为______.

解：

、是中线，设，由已知，，

所以两式相加，

得，所以

（三）勾股定理的应用

1、在一个直角三角形中，若斜边的长是，一条直角边的长为，那么这个

直角三角形的面积是（）

（A）（B）（C）（D）

解：

由勾股定理知，另一条直角边的长为，所以这个直角三角形的面积为.

2、如图1,一架2.5米长的梯子,斜靠在一竖直的墙上,这时梯足到墙底端的距离为0.7米,如果梯子的顶端下滑0.4米,则梯足将向外移（）

（A）0.6米（B）0.7米（C）0.8米（D）0.9米

解:

依题设.在中,由勾股定理,得

图1

由,

得.

在中,由勾股定理,得

所以

故选（C）

3、如图3,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行_____米.

解：

由勾股定理，知最短距离为.

4、

（四）直角三角形的判别

1、下列各组数中以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是

A、a=2，b=3,c=4 B、a=7,b=24,c=25

C、a=6,b=8,c=10 D、a=3,b=4,c=5

2、如果一个三角形的一条边是另一边的2倍，并且有一个角是，那么这个三角形的形状是（）

A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定

3、

4、如图，在等腰直角的斜边上取异于的两点,使求证：

以为边的三角形是直角三角形。

略（提示:

分别以AE,AF为轴,将内部翻转）

5、如果一个三角形的三边长分别为，则这三角形是直角三角形

　　分析：

验证三边是否符合勾股定量的逆定理

　　证明：

∵∴∵∠C＝

6、　已知：

如图，四边形ABCD中，∠B＝，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13求四边形ABCD的面积

　　分析：

我们不知道这个四边形是否为特殊的四边形，所以将四边形分割为两个三角形，只要求出这两个三角形的面积，四边形的面积就等于这两个三角形的面积和．

（五）利用勾股定理求最短路线

1、如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形

油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入

一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，

问这根铁棒最长应有多长？

图1

2、在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：

有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？

勾股定理中的常见题型例析

勾股定理是几何计算中运用最多的一个知识点．考查的主要方式是将其综合到几何应用的解答题中，常见的题型有以下几种：

一、探究开放题

例1如图1，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去……．

（1）记正方形ABCD的边长为＝1，依上述方法所作的正方形的边长依次为，，，…，，求出，，的值．

（2）根据以上规律写出第n个正方形的边长的表达式．

分析：

依次运用勾股定理求出a2，a3，a4，再观察、归纳出一般规律．

解：

（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=CD=AD=1．

由勾股定理，得AC＝，

同理，AE=2，EH=．即a2=，a3=2，a4=．

（2）∵，，，，

∴．

点拨：

探究开放题形式新颖、思考方向不确定，因此综合性和逻辑性较强，它着力于考查观察、分析、比较、归纳、推理等方面的能力，对提高同学们的思维品质和解决问题的能力具有十分重要的作用．

二、动手操作题

例2如图2，图（１）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边长分别为a和b，斜边长为c．图（２）是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．

（１）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形；

（２）用这个图形证明勾股定理；

（３）假设图（１）中的直角三角形有苦干个，你能运用图（１）所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？

请画出拼后的示意图（无需证明）．

解：

（1）所拼图形图3所示，它是一个直角梯形．

（2）由于这个梯形的两底分别为a、b，腰为（a+b），所以梯形的面积为．又因为这个梯形的面积等于三个直角三角形的面积和，所以梯形的面积又可表示为：

．

∴．∴．

（3）所拼图形如图4．

点拨：

动手操作题内容丰富，解法灵活，有利于考查解题者的动手能力和创新设计的才能。

本题通过巧妙构图，然后运用面积之间的关系来验证勾股定理。

三、阅读理解题

例3已知a，b，c为△ABC的三边且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判断△ABC的形状．小明同学是这样解答的．

解：

∵a2c2－b2c2=a4－b4，∴

∴．订正：

∴△ABC是直角三角形．

横线与问号是老师给他的批注，老师还写了如下评语：

“你的解题思路很清晰，但解题过程中出现了错误，相信你再思考一下，一定能写出完整的解题过程．”请你帮助小明订正此题，好吗？

分析：

这类阅读题在展现问题全貌的同时，在关键处留下疑问点，让同学们认真思考，以补充欠缺的部分，这相当于提示了整体思路，而让学生在整体理解的基础上给予具体的补缺．因此，本题可作如下订正：

解：

∵a2c2－b2c2=a4－b4，∴．

∴，∴或．

∴或．∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．

点拨：

阅读理解题它与高考中兴起的信息迁移题有异曲同工之巧．解决的关键是抓住疑问点，补全漏洞．

四、方案设计题

例4给你一根长为30cm的木棒，现要你截成三段，做一个直角三角形，怎样截取（允许有余料）？

请你设计三种方案．

分析：

构造直角三角形，可根据勾股定理的逆定理来解决．

解：

方案一：

分别截取3cm，4cm，5cm；

方案二：

分别截取6cm，8cm，10cm；

方案三：

分别截取5cm，12cm，13cm．

点拨：

本题首先依据勾股定理的逆定理进行分析，设计出方案，然后再通过测量、截取、加工等活动方能完成．既要思考，又要动手．让学生在这个过程中，体会做数学的快乐．

五、折叠题

1、矩形纸片中，厘米，厘米，现将重合，

使纸片折叠压平，设折痕为，重叠部分AEF的面积

六、实际应用题

C

1、为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB=25km，CA=15km，DB=10km，试问：

图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等?

（8分）

七、极具“热点”的动态探究题

1、如图１，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾斜角α为．

⑴求AO与BO的长；

⑵若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行.如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:

BD=2:

3，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米?

中考题型分析

1、（2011四川凉山州，15，4分）把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么”的逆命题改写成“如果……，那么……”的形式：

。

【答案】如果三角形三边长a，b，c，满足，那么这个三角形是直角三角形

2、（2011四川广安，28，10分）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长为6m、8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．

3、（2011贵州贵阳，7，3分）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是

（A）3.5（B）4.2（C）5.8（D）7

【答案】D

4、（2011河北，9，3分）如图3，在△ABC中，∠C=90°，BC=6,D,E分别在AB,AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（）

A． B．2C．3 D．4

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