数值分析整理版试题及答案文档格式.doc

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４、矩阵的２－范数＝９。

5、设，则对任意实数，方程组都是病态的。

（用）（）

6、设，，且有（单位阵），则有。

（）

7、区间上关于权函数的直交多项式是存在的，且唯一。

（）1、（　Ⅹ　）2、（　∨　）3、（Ⅹ　）4、（　∨　）5、（Ⅹ　）6、（∨　）7、（　Ⅹ　）8、（Ⅹ　）

一、判断题（10×

1′）

1、若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX＝b一定可以使用高斯消元法求解。

（×

）

2、解非线性方程f（x）=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。

（?

3、若A为n阶方阵，且其元素满足不等式

则解线性方程组AX＝b的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。

4、样条插值一种分段插值。

5、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。

6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。

　　（?

7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX＝b。

8、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。

9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差＝舍入误差。

10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。

1.用计算机求时，应按照从小到大的顺序相加。

2.为了减少误差,应将表达式改写为进行计算。

（对）

3.用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。

4.用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。

复习试题

一、填空题：

1、，则A的LU分解为。

答案：

2、已知，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得,用三点式求得。

2.367，0.25

3、，则过这三点的二次插值多项式中的系数为，拉格朗日插值多项式为。

-1，

4、近似值关于真值有

（2）位有效数字；

5、设可微,求方程的牛顿迭代格式是（）；

答案

6、对,差商

（1）,（0）；

7、计算方法主要研究（截断）误差和（舍入）误差；

8、用二分法求非线性方程f（x）=0在区间（a,b）内的根时，二分n次后的误差限为（）；

10、已知f

（1）＝2，f

（2）＝3，f（4）＝5.9，则二次Newton插值多项式中x2系数为（0.15）；

11、两点式高斯型求积公式≈（），代数精度为（5）；

12、解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为（A的各阶顺序主子式均不为零）。

13、为了使计算的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为，为了减少舍入误差，应将表达式改写为。

14、用二分法求方程在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为0.5，1,进行两步后根的所在区间为0.5，0.75。

15、计算积分,取4位有效数字。

用梯形公式计算求得的近似值为0.4268，用辛卜生公式计算求得的近似值为0.4309，梯形公式的代数精度为1，辛卜生公式的代数精度为3。

16、求解方程组的高斯—塞德尔迭代格式为，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径=。

17、设,则，的二次牛顿插值多项式为。

18、求积公式的代数精度以（高斯型）求积公式为最高，具有（）次代数精度。

19、已知f

（1）=1,f（3）=5,f（5）=-3,用辛普生求积公式求≈（12）。

20、设f

（1）=1，f

（2）=2，f（3）=0，用三点式求（2.5）。

21、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（10）次。

23、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则

（1），（），当时（）。

26、改变函数（）的形式，使计算结果较精确。

27、若用二分法求方程在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分10次。

29、若用复化梯形公式计算，要求误差不超过，利用余项公式估计，至少用477个求积节点。

30、写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代公式，迭代矩阵为，此迭代法是否收敛收敛。

31、设,则9。

32、设矩阵的，则。

33、若，则差商3。

34、数值积分公式的代数精度为2。

35、线性方程组的最小二乘解为。

36、设矩阵分解为，则。

二、单项选择题：

1、Jacobi迭代法解方程组的必要条件是（C）。

A．A的各阶顺序主子式不为零B．

C．D．

2、设，则为（C）．

A．2B．5C．7D．3

3、三点的高斯求积公式的代数精度为（B）。

A．2B．5C．3D．4

4、求解线性方程组Ax=b的LU分解法中，A须满足的条件是（B）。

A．对称阵B．正定矩阵

C．任意阵D．各阶顺序主子式均不为零

5、舍入误差是（A）产生的误差。

A.只取有限位数B．模型准确值与用数值方法求得的准确值

C．观察与测量D．数学模型准确值与实际值

6、3.141580是π的有（B）位有效数字的近似值。

A．6B．5C．4D．7

7、用1+x近似表示ex所产生的误差是（C）误差。

A．模型B．观测C．截断D．舍入

8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是（A）。

A．控制舍入误差B．减小方法误差

C．防止计算时溢出D．简化计算

9、用1+近似表示所产生的误差是（D）误差。

A．舍入B．观测C．模型D．截断

10、-324．7500是舍入得到的近似值，它有（C）位有效数字。

A．5B．6C．7D．8

11、设f（-1）=1,f（0）=3,f

（2）=4,则抛物插值多项式中x2的系数为（A）。

A．–0．5B．0．5C．2D．-2

12、三点的高斯型求积公式的代数精度为（C）。

A．3B．4C．5D．2

13、（D）的3位有效数字是0.236×

102。

（A）0.0023549×

103（B）2354.82×

10－2（C）235.418（D）235.54×

10－1

14、用简单迭代法求方程f（x）=0的实根，把方程f（x）=0表示成x=?

（x），则f（x）=0的根是（B）。

（A）y=?

（x）与x轴交点的横坐标（B）y=x与y=?

（x）交点的横坐标

（C）y=x与x轴的交点的横坐标（D）y=x与y=?

（x）的交点

15、用列主元消去法解线性方程组，第1次消元，选择主元为（A）。

（A）－4（B）3（C）4（D）－9

16、拉格朗日插值多项式的余项是（B）,牛顿插值多项式的余项是（C）。

（A）f（x,x0,x1,x2,…,xn）（x－x1）（x－x2）…（x－xn－1）（x－xn），

（B）

（C）f（x,x0,x1,x2,…,xn）（x－x0）（x－x1）（x－x2）…（x－xn－1）（x－xn），

（D）

17、等距二点求导公式f?

（x1）?

（A）。

18、用牛顿切线法解方程f（x）=0，选初始值x0满足（A）,则它的解数列{xn}n=0,1,2,…一定收敛到方程f（x）=0的根。

19、为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是（A）。

（A）

（C）

21、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（　　）。

（1）,

（2）,（3）,（4）

22、在牛顿-柯特斯求积公式：

中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（　）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。

（1），

（2），（3），（4），

23、有下列数表

x

0.5

1.5

2.5

f（x）

-2

-1.75

0.25

4.25

所确定的插值多项式的次数是（　　）。

（1）二次；

（2）三次；

（3）四次；

（4）五次

25、取计算，下列方法中哪种最好？

（　　　　）

（A）；

（B）；

（C）；

（D）。

27、由下列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是（　　　　）

１

２

３

3.5

5.0

8.0

11.5

28、形如的高斯（Gauss）型求积公式的代数精度为（　　　　）

29、计算的Newton迭代格式为（）

30、用二分法求方程在区间内的实根，要求误差限为，则对分次数至少为（）

（A）10；

（B）12；

（C）8；

（D）9。

32、设是以为节点的Lagrange插值基函数，则（）

33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式，至少具有（）次代数精度

（A）5；

（B）4；

（C）6；

（D）3。

35、已知方程在附近有根，下列迭代格式中在不收敛的是（）

36、由下列数据

3

-5

确定的唯一插值多项式的次数为（）

（A）4；

（B）2；

（C）1；

37、5个节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为（）

（A）8；

（B）9；

（C）10；

（D）11。

三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打?

，否则打?

1、已知观察值,用最小二乘法求n次拟合多项式时，的次数n可以任意取。

2、用1-近似表示cosx产生舍入误差。

3、表示在节点x1的二次（拉格朗日）插值基函数。

4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。

5、矩阵A=具有严格对角占优。

四、计算题：

1、用高斯-塞德尔方法解方程组，取，迭代四次（要求按五位有效数字计算）。

迭代格式

k

2.7500

3.8125

2.5375

0.20938

3.1789

3.6805

0.24043

2.5997

3.1839

0.50420

2.4820

3.7019

2、求A、B使求积公式的代数精度尽量高,并求其代数精度；

利用此公式求（保留四位小数）。

是精确成立，即

得

求积公式为

当时，公式显然精确成立；

当时，左=，右=。

所以代数精度为3。

3、已知

5

6

分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求的三次插值多项式，并求的近似值（保留四位小数）。

差商表为

一阶均差

二阶均差

三阶均差

6、已知区间[0.4，0.8]的函数表

0.40.50.60.70.8

0.389420.479430.564640.644220.71736

如用二次插值求的近似值，如何选择节点才能使误差最小？

并求该近似值。

应选三个节点，使误差

尽量小，即应使尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。

即取节点最好，实际计算结果

且

7、构造求解方程的根的迭代格式，讨论其收敛性，并将根求出来，。

令.

且，故在（0,1）内有唯一实根.将方程变形为

则当时

故迭代格式

收敛。

取，计算结果列表如下：

n

0.035127872

0.096424785

0.089877325

7

0.090595993

0.090517340

0.090525950

0.090525008

且满足.所以.

8﹑利用矩阵的LU分解法解方程组。

令得，得.

9﹑对方程组

（1）试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由；

（2）取初值，利用

（1）中建立的迭代公式求解，要求。

调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优

故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为

取,经7步迭代可得：

.

10、已知下列实验数据

xi

1.36

1.95

2.16

f（xi）

16.844

17.378

18.435

试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。

当0<

x<

1时，ex，则，且有一位整数.

要求近似值有5位有效数字，只须误差.

由，只要

即可，解得

所以，因此至少需将[0,1]68等份。

11、用列主元素消元法求解方程组。

回代得。

12、取节点,求函数在区间[0,1]上的二次插值多项式,并估计误差。

又

故截断误差。

14、给定方程

1）分析该方程存在几个根；

2）用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字；

3）说明所用的迭代格式是收敛的。

1）将方程

（1）

改写为

（2）

作函数，的图形（略）知

（2）有唯一根。

2）将方程

（2）改写为

构造迭代格式

计算结果列表如下：

8

9

xk

1.22313

1.29431

1.27409

1.27969

1.27812

1.27856

1.27844

1.27847

1.27846

3），

当时，，且

所以迭代格式对任意均收敛。

15、用牛顿（切线）法求的近似值。

取x0=1.7,计算三次，保留五位小数。

是的正根，，牛顿迭代公式为

，即

取x0=1.7,列表如下：

1.73235

1.73205

16、已知f（-1）=2，f

（1）=3，f

（2）=-4，求拉格朗日插值多项式及f（1，5）的近似值，取五位小数。

17、n=3,用复合梯形公式求的近似值（取四位小数）,并求误差估计。

，时，

至少有两位有效数字。

18、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组=，

取x（0）=（0,0,0）T,列表计算三次，保留三位小数。

Gauss-Seidel迭代格式为：

系数矩阵严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛.

取x（0）=（0,0,0）T，列表计算如下:

1.667

0.889

-2.195

2.398

0.867

-2.383

2.461

0.359

-2.526

20、（8分）用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据：

19

25

30

38

19.0

32.3

49.0

73.3

解方程组

其中

解得：

所以，

21、（15分）用的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算时，试用余项估计其误差。

用的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算出该积分的近似值。

22、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式

（1）对应迭代格式；

（2）对应迭代格式；

（3）对应迭代格式。

判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。

（1），，故收敛；

（2），，故收敛；

（3），，故发散。

选择

（1）：

，，，，，

23、（8分）已知方程组，其中

（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。

（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。

Jacobi迭代法：

Gauss-Seidel迭代法：

25、数值积分公式形如

试确定参数使公式代数精度尽量高；

（2）设，推导余项公式，并估计误差。

将分布代入公式得：

构造Hermite插值多项式满足其中

则有：

27、（10分）已知数值积分公式为：

，试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。

显然精确成立；

时，；

所以，其代数精确度为3。

28、（8分）已知求的迭代公式为：

证明：

对一切，且序列是单调递减的，

从而迭代过程收敛。

故对一切。

又所以，即序列是单调递减有下界，从而迭代过程收敛。

29、（9分）数值求积公式是否为插值型求积公式？

为什么？

其代数精度是多少？

是。

因为在基点1、2处的插值多项式为

。

其代数精度为1。

30、（6分）写出求方程在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。

（6分），n=0,1,2,…

∴对任意的初值,迭代公式都收敛。

31、（12分）以100,121,144为插值节点，用插值法计算的近似值，并利用余项估计误差。

用Newton插值方法：

差分表：

100

121

144

10

11

12

0.0476190

0.0434783

-0.0000941136

10+0.0476190（115-100）-0.0000941136（115-100）（115-121）

=10.7227555

32、（10分）用复化Simpson公式计算积分的近似值，要求误差限为。

或利用余项：

33、（10分）用Gauss列主元消去法解方程组：

3.00001.00005.000034.0000

0.00003.66670.333312.6667

0.00005.3333-2.33334.3333

0.000001.93759.6875

34、（8分）求方程组的最小二乘解。

若用Householder变换，则：

最小二乘解：

（-1.33333，2.00000）T.

36、（6分）构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：

取f（x）=1,x，令公式准确成立，得：

f（x）=x2时，公式左右=1/4;

f（x）=x3时，公式左=1/5,公式右=5/24

∴公式的代数精度=2

37、（15分）已知方程组，其中，，

（1）写出该方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；

（2）判断

（1）中两种方法的收敛性，如果均收敛，说明哪一种方法收敛更快；

（1）Jacobi迭代法的分量形式

Gauss-Seidel迭代法的分量形式

（2）Jacobi迭代法的迭代矩阵为

，，Jacobi迭代法收敛

Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为

，，Gauss-Seidel迭代法发散

40、（10分）已知下列函数表：

27

（1）写出相应的三次Lagrange插值多项式；

（2）作均差表，写出相应的三次Newton插值多项式，并计算的近似值。

（1）

（2）均差表：

42、（10分）取5个等距节点，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分的近似值（保留4位小数）。

5个点对应的函数值

0.666667

0.333333

0.181818

0.111111

----------------------------------------------------------（2分）

（1）复化梯形公式（n=4,h=2/4=0.5）：

（2）复化梯形公式（n=2,h=2/2=1）：

43、（10分）已知方程组，其中

（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；

（2）讨论上述两种迭代法的收敛性。

（1）Jacobi迭代法：

Jacobi迭代矩阵：

收敛性不能确定

（2）Gauss-Seidel迭代法：

Gauss-Seidel迭代矩阵：

该迭代法收敛

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