二次函数知识点总结和题型总结.docx

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二次函数知识点总结和题型总结

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：

一般地，形如（是常数，）的函

数，叫做二次函数。

这里需要强调：

①a≠0②最高次数为2③代数式一定是整式

2.二次函数的结构特征：

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．

⑵是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．

例题：

例1、已知函数y=（m－1）xm2+1+5x－3是二次函数，求m的值。

练习、若函数y=（m2+2m－7）x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围

为。

二、二次函数的基本形式

1.二次函数基本形式：

的性质：

a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

向上

轴

时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

轴

时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

2.的性质：

上加下减。

的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

向上

轴

时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

轴

时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

3.的性质：

左加右减。

的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

向上

X=h

时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

X=h

时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

4.的性质：

的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

向上

X=h

时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

X=h

时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

二次函数的对称轴、顶点、最值

（技法：

如果解析式为顶点式y=a（x－h）2+k，则最值为k；如果解析式为一般式y=ax2+bx+c则最值为）

1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为。

2．抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝，c＝.

3．抛物线y＝x2＋3x的顶点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4．若抛物线y＝ax2－6x经过点（2，0），则抛物线顶点到坐标原点的距离为（）

A. B. C.D.

5．若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c（）

A.开口向上，对称轴是y轴B.开口向下，对称轴是y轴

C.开口向下，对称轴平行于y轴D.开口向上，对称轴平行于y轴

6．已知二次函数y=mx2+（m－1）x+m－1有最小值为0，则m＝。

三、二次函数图象的平移

1.平移步骤：

方法一：

⑴将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；

⑵保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

2.平移规律

在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．

方法二：

⑴沿轴平移:

向上（下）平移个单位，变成

（或）

⑵沿轴平移：

向左（右）平移个单位，变成（或）

函数y=ax2+bx+c的图象和性质例题：

1．抛物线y=x2+4x+9的对称轴是。

2．抛物线y=2x2－12x+25的开口方向是，顶点坐标是。

3．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：

（1）y=x2－2x+1；

（2）y=－3x2+8x－2；（3）y=－x2+x－4

4、把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得

图象的解析式是y=x2－3x+5，试求b、c的值。

5、把抛物线y=－2x2+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，

问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。

四、二次函数与的比较

从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．

五、二次函数图象的画法

五点绘图法：

利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：

顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：

开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.

六、二次函数的性质

1.当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．

当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．

2.当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．

例题：

函数y=a（x－h）2的图象与性质

1．填表：

抛物线

开口方向

对称轴

顶点坐标

2．试说明函数y=（x－3）2的图象特点及性质（开口、对称轴、顶点坐标、增

减性、最值）。

3．二次函数y=a（x－h）2的图象如图：

已知a=，OA＝OC，试求该抛物线的解

析式。

二次函数的增减性

1.二次函数y=3x2－6x+5，当x>1时，y随x的增大而；当x<1时，y

随x的增大而；当x=1时，函数有最值是。

2.已知函数y=4x2－mx+5，当x>－2时,y随x的增大而增大；当x<－2时，y

随x的增大而减少；则x＝1时,y的值为。

3.已知二次函数y=x2－（m+1）x+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是.

4.已知二次函数y=－x2+3x+的图象上有三点A（x1,y1）,B（x2,y2）,C（x3,y3）且3

七、二次函数解析式的表示方法

1.一般式：

（，，为常数，）；

2.顶点式：

（，，为常数，）；

3.两根式：

（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.

注意：

任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1.二次项系数

二次函数中，作为二次项系数，显然．

⑴当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；

⑵当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．

总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．

2.一次项系数

在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．

⑴在的前提下，

当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；

当时，，即抛物线的对称轴就是轴；

当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．

⑵在的前提下，结论刚好与上述相反，即

当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；

当时，，即抛物线的对称轴就是轴；

当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．

总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．

的符号的判定：

对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”

总结：

3.常数项

⑴当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；

⑵当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；

⑶当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．

总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．

总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

例题：

函数的图象特征与a、b、c的关系

1.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则a、b、c的符号为（　　　）

A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b>0,c=0

C.a>0,b<0,c=0 D.a>0,b<0,c<0

2.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象2如图所示，则下列结论正确的是（）

A．a+b+c>0 B．b>-2a

C．a-b+c>0 D．c<0

3.抛物线y=ax2+bx+c中，b＝4a，它的图象如图3，有以下结论：

①c>0；②a+b+c>0 ③a-b+c>0 ④b2-4ac<0 ⑤abc<0；其中正确的为（）

A．①② B．①④ C．①②③ D．①③⑤

4.当b<0是一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（）

5.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是图所示的（）

6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图5所示，那么abc，b2－4ac，2a＋b，

a＋b＋c四个代数式中，值为正数的有（）

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

7.在同一坐标系中，函数y=ax2+c与y=（a

ABCD

8.反比例函数y=的图象在一、三象限，则二次函数y＝kx2-k2x-1c的图象大致为图中的（）

ABCD

9.反比例函数y=中，当x>0时，y随x的增大而增大，则二次函数y＝kx2+2kx的图象大致为图中的（）

ABCD

二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3.已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

例题：

函数解析式的求法

一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解；

1．已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二

次函数的解析式。

2．已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点且BC＝5，求该二

次函数的解析式。

二、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式y=a（x－h）2+k求解。

3．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二

次函数的解析式。

4．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P（2，0）点，求二

次函数的解析式。

三、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a（x－x1）（x－x2）。

5．二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次

函数的解析式。

九、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

1.关于轴对称

关于轴对称后，得到的解析式是；

关于轴对称后，得到的解析式是；

2.关于轴对称

关于轴对称后，得到的解析式是；

关于轴对称后，得到的解析式是；

3.关于原点对称

关于原点对称后，得到的解析式是；

关于原点对称后，得到的解析式是；

4.关于顶点对称（即：

抛物线绕顶点旋转180°）

关于顶点对称后，得到的解析式是；

关于顶点对称后，得到的解析式是．

5.关于点对称

关于点对称后，得到的解析式是

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

十、二次函数与一元二次方程：

1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：

一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.

图象与轴的交点个数：

①当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.

②当时，图象与轴只有一个交点；

③当时，图象与轴没有交点.

当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；

当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．

2.抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；

3.二次函数常用解题方法总结：

⑴求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

抛物线与轴有两个交点

二次三项式的值可正、可零、可负

一元二次方程有两个不相等实根

抛物线与轴只有一个交点

二次三项式的值为非负

一元二次方程有两个相等的实数根

抛物线与轴无交点

二次三项式的值恒为正

一元二次方程无实数根.

例题：

二次函数与x轴、y轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）

1.如果二次函数y＝x2＋4x＋c图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c＝（写一个即可）

2.二次函数y＝x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为　

3.抛物线y＝－3x2＋2x－1的图象与x轴交点的个数是（）

A.没有交点B.只有一个交点C.有两个交点D.有三个交点

4.如图所示，二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则△ABC的面积为（）

A.6B.4 C.3D.1

5.已知抛物线y＝5x2＋（m－1）x＋m与x轴的两个交点在y轴同侧，它们的距离平方等于为，则m的值为（）

A.－2 B.12 C.24 D.48

6.已知抛物线y＝x2-2x-8，

（1）求证：

该抛物线与x轴一定有两个交点；

（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。

十一、函数的应用

二次函数应用

　二次函数图像与性质口诀:

二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点,它们确定图象现；开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别，符号与a相关联；顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。

若求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。

　二次函数抛物线，选定需要三个点，a的正负开口判，c的大小y轴看，△的符号最简便，x轴上数交点，a、b同号轴左边抛物线平移a不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。

例题：

二次函数应用

（一）经济策略性

1.某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格。

经检验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件。

假定每月销售件数y（件）是价格X的一次函数.

（1）试求y与x的之间的关系式.

（2）在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润，每月的最大利润是多少？

（总利润=总收入－总成本）

2.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元。

（1）设X天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于X的函数关系式。

（2）如果放养X天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售额为Q元，写出Q关于X的函数关系式。

（2）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润=销售总额—收购成本—费用），最大利润是多少？

3.某商场批单价为25元的旅游鞋。

为确定一个最佳的销售价格，在试销期采用多种价格进性销售，经试验发现：

按每双30元的价格销售时，每天能卖出60双；按每双32元的价格销售时，每天能卖出52双，假定每天售出鞋的数量Y（双）是销售单位X的一次函数。

（1）求Y与X之间的函数关系式；

（2）在鞋不积压，且不考虑其它因素的情况下，求出每天的销售利润W（元）与销售单价X之间的函数关系式；

（3）销售价格定为多少元时，每天获得的销售利润最多？

是多少？