人教版九年级上册二次函数综合复习.docx
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二次函数综合复习
专题一二次函数的定义
形如y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的函数叫做二次函数．其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。
例1.如果函数是二次函数,则k的值是______。
变式练习
1.若y=（m-1）xm2+1是二次函数，则m的值为。
2.函数y=a-5xa2+4a+5+2x-1,当_______时,它是一次函数;当_______时,它是二次函数。
3.当m为何值时，y=（m+1）xm2-3m-2是二次函数
专题二确定二次函数解析式
1.一般式：
y=ax2+bx+c已经抛物线任意三点求解析式
2.顶点式：
y=a（x-h）2+k已知抛物线顶点和一点或已知对称轴和另外两点求解析式
3.交点式：
y=a（x-x1）（x-x2）已知抛物线与x轴的两交点和另一点
1.巧取交点式法：
知识归纳：
二次函数交点式：
y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）,x1，x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。
已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。
①典型例题一：
告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。
例1：
已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。
②典型例题二：
告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。
例2：
已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。
2.巧用顶点式：
顶点式y=a（x－h）2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点。
当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。
在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。
在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．
①典型例题一：
告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。
例3：
已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式。
②典型例题二：
告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。
例4：
已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。
③典型例题三：
告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。
例5：
（1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式.
（2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式.
（3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式.
（4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．
3.利用二次函数图象求二次函数的解析式
此类问题，需抓住图像给的关键信息，如对称轴，顶点，交点等，根据给定的信息，选择适当的二次函数解析式求解。
1．已知抛物线y＝－x2＋bx＋c如图所示，则此抛物线的解析式为．
（第1题）（第2题）（第3题）
2．如图所示，有一个抛物线形拱桥，其最大高度为10m，跨度为50m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中，则抛物线的函数解析式为．
3．如图所示，直线y＝－x－2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为A，且经过点B.求该抛物线的解析式．
变式练习
1.如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3,那么c的值等于（）
（A）8（B）14（C）8或14（D）-8或-14
2.已知抛物线在x轴上截得的线段长为6.且顶点坐标为（2,3）求解析式？
4.若抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为________．
专题三二次函数图象变换
一、二次函数与平移
解决二次函数的平移问题时，一般要先将函数解析式化成顶点式，再按“左加右减，上加下减”的方法进行求解。
经典例题
1．下列二次函数的图象，不能通过函数y＝3x2的图象平移得到的是（）
A．y＝3x2＋2B．y＝3（x－1）2C．y＝3（x－1）2＋2D．y＝2x2
2．抛物线y＝（x＋2）2－3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）
A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
3．如图，把抛物线y＝x2沿直线y＝x平移个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后抛物线的解析式是（）
A．y＝（x＋1）2－1B．y＝（x＋1）2＋1C．y＝（x－1）2＋1D．y＝（x－1）2－1
4．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2－x－6向上（下）或向左（右）平移m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值为（）
A．1B．2C．3D．6
5．如图，一条抛物线与x轴相交于A，B两点，其顶点P在折线C—D—E上移动，若点C，D，E的坐标分别为（－1，4），（3，4），（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为（）
A．1B．2C．3D．6
（第3题）（第5题）
6．在平面直角坐标系中，把抛物线y＝－x2＋1向上平移3个单位，再向左平移1个单位，则所得抛物线的解析式是．
7．已知二次函数y＝3x2的图象不动，把x轴向上平移2个单位长度，那么在新的坐标系下此抛物线的解析式是．
8．在平面直角坐标系中，平移抛物线y＝－x2＋2x－8，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式：
．
9．如图，抛物线的顶点为P（－2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，－2），点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为____
二、二次函数与轴对称
解决这类问题时，可根据原图象与对称后的图像特点，确定新的二次函数各项系数。
经典例题
1．与抛物线y＝x2－2x－3关于x轴对称的图象解析式为（）
A．y＝x2＋2x－3B．y＝x2－2x＋3C．y＝－x2＋2x－3D．y＝－x2＋2x＋3
2．在平面直角坐标系中，先将抛物线y＝x2＋x－2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）
A．y＝－x2－x＋2B．y＝－x2＋x－2C．y＝－x2＋x＋2D．y＝x2＋x＋2
3．在一张纸上作出函数y＝x2－2x＋3的图象，沿x轴把这张纸对折，描出与抛物线y＝x2－2x＋3关于x轴对称的抛物线，则描出的这条抛物线的解析式为.
三、抛物线与旋转
1．将二次函数y＝x2－2x＋1的图象绕它的顶点A旋转180°，则旋转后的抛物线的函数解析式为（）
A．y＝－x2＋2x＋1B．y＝－x2－2x＋1C．y＝－x2＋2x－1D．y＝x2＋2x＋1
2．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2＋2x＋3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）
A．y＝－（x＋1）2＋2B．y＝－（x－1）2＋4C．y＝－（x－1）2＋2D．y＝－（x＋1）2＋4
3．把二次函数y＝（x－1）2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为．
4．抛物线y＝（x－1）2－5先向左、向上均平移2个单位后，再绕顶点旋转180°，得到新的图象对应的函数表达式为．
专题三二次函数图象与系数a,b,c之间的关系
1、二次项系数a：
①a＞0时，抛物线开口向上；a＜0时，抛物线开口向下。
②a的绝对值越大，开口越小;a的绝对值越小，开口越大。
2、一次项系数b：
在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴，“左同右异”。
3、常数项c：
决定抛物线与y轴交点的位置
4、抛物线的特殊位置与系数的关系：
（1）顶点在x轴上：
b²-4ac=0；
（2）顶点在y轴上：
b=0；（3）顶点在原点：
b=c=0；（4）抛物线经过原点：
c=0.
例1.已知y=ax2+bx+c的图象如下，则：
a____0,b___0,c___0,a+b+c____0，
a-b+c__0,2a-b____0b2-4ac___0, 4a+2b+c0
例2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图3－2，现有下列结论：
①b2－4ac＞0；②a＞0；③b＞0；④c＞0；⑤9a＋3b＋c＜0，⑥8a+c>0；⑦3a+c<0。
则其中结论正确的是（）
（例2）（例3）
例3．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，若M＝a＋b－c，N＝4a－2b＋c，P＝2a－b，则M，N，P中，值小于0的数有（）
A．3个B．2个C．1个D．0个
变式练习
1、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图4所示，给出以下结论：
①abc<0②当x=1时，函数有最大值。
③当x=-1或x=3时，函数y的值都等于0.④4a+2b+c<0其中正确结论的个数是（）
y
0
11
x
-1
A.1B.2C.3D.4
-1
O
x=1
y
x
（第1题）（第2题）（第3题）（第4题）
2、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：
①abc>0；②b0；④b2-4ac>0；其中正确的结论有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（）
A、abc＞0；B、b2-4ac>0；C、2a+b＞0；D、4a+2b+c＜0
4、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图1所示，则下列结论中，正确的个数是（）
①a+b+c<0；②a-b+c>0；③abc>0；④b=2a
A、4B、3C、2D、1
5、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c其中a,b,c满足a+b+c=3和9a+3b+c=3，则该二次函数图象的对称轴是直线 ．
6、已知y=ax2+bx+c中a<0，b>0，c<0，△<0，函数的图象经过象限。
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
7、在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b和二次函数y＝ax2＋bx的图象可能为（ ）
8、如图所示，满足a＞0,b＜0的函数y＝ax2＋bx的图像是（）
9.如图,二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限,且过点（0,1）和（-1,0）,下列结论:
①ab<0;②b2>4a;③0-1时,y>0.其中正确结论有
（第9题）（第11题）（第12题）
10、已知二次函数y＝ax2＋bx+c,且a＜0,a-b+c＞0,则一定有（）
A.b2-4ac＞0B.b2-4ac＝0 C.b2-4ac＜0 D.b2-4ac≤0
11．二次函数y＝2x2＋mx＋8的图象如图所示，则m的值是（）
A．－8B．8C．±8D．6
12．（2015•天门）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0）．对于下列命题：
①b-2a=0；②abc＜0；③a-2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
专题四二次函数与一元二次方程及不等式的综合应用
1、二次函数与一元二次方程的关系
y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
一元二次方程ax2+bx+c=0的根
有两个交点
有两个不相等的实数根
有一个交点
有两个相等的实数根
没有交点
没有实数根
遇到抛物线与x轴的交点存在某种关系时，可综合应用一元二次方程根的判别式，根与系数的关系及二次函数的性质进行解答。
例1.已知二次函数y=ax2-2x-2的图象与X轴有两个交点，则a的取值范围是
例2.函数y=ax2-ax+3x+1的图象与x轴有且只有一个交点，那么a的取值和交点坐标分别是什么？
例3.已知抛物线y=x2+1-2ax+a2（a≠0）与x轴相交于A（x1,0）,B（x2,0），且x1≠x2。
（1）求a的取值范围，并证明A,B两点都在原点左侧；
（2）若抛物线与y轴相交于C，且OA+OB-OC=-2,求a的值。
例4.已知抛物线y=ax2+bx+c，其顶点在x轴上方，经过点（-4,5）,它与y轴相交于点C（0,3），与x轴交于A，B两点，且方程ax2+bx+c=0的两根的平方和等于40.
（1）求抛物线的解析式。
（2）抛物线上是否存在x轴上方的一点P，使S△PAB=2S△CAB？
如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。
2、二次函数与不等式的关系
（1）a>0：
大于0取两边，小于0取中间。
（2）a<0：
大于0取中间，小于0取两边。
例5.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax 2 +bx+c=0的两个根；
（2）写出不等式ax 2 +bx+c>0的解集；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若方程ax 2 +bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围。
例6.已知函数y1＝x2与函数y2=-12x+3的图象大致如图，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是（）．
A.-32＜x＜2B．x＞2或x＜-32
C．－2＜x＜32D．x＜－2或x＞32
变式练习：
1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标（－1，－3.2）及部分图象（如图所示），由图象可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1＝1.3和x2＝（）
A．－1.3B．－2.3C．－0.3D．－3.3
2．二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个解为x1＝3，则另一个解x2＝____．
（第1题）（第2题）（第3题）
3．如图所示，一次函数y1＝kx＋n（k≠0）与二次函数y2＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象相交于A（－1，5），B（9，2）两点，则关于x的不等式kx＋n≥ax2＋bx＋c的解集为（）
A．－1≤x≤9B．－1≤x＜9C．－1＜x≤9D．x≤－1或x≥9
4．抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＜0）如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是（）
A．x＜2B．x＞－3C．－3＜x＜1D．x＜－3或x＞1
（第4题）（第5题）
5.二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像如图，观察图像写出y2≥y1时，x的取值范围_______．
6.已知抛物线y＝ax2-2x＋1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（）
A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限
7、y=ax2+bx+c中，a<0，抛物线与x轴有两个交点A（2，0）B（-1，0），则ax2+bx+c>0的解是____________;ax2+bx+c<0的解是____________
8.如果抛物线y=12x2-mx+5m2与x轴有交点，则m______
9.如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是.
10.已知抛物线y=x2+mx-34m2（m>0）与x轴交于A，B两点。
（1）求证：
抛物线的对称轴在y轴的左侧；
（2）若1OB-1OA=23（O是坐标原点），求抛物线的解析式。
专题五实际问题与二次函数
1.几何图形面积的最值问题
一般步骤：
①用含自变量x的代数式表示图形的面积；
②利用图形面积的表示方法构造关于x的二次函数；
③求二次函数的最大值或最小值。
例1.如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，AC＋BD＝10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大。
例2.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
（3）若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
变式练习
1.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长x的变化而变化，当x是多少时，场地的面积S最大？
2.一块三角形废料如图所示，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12．用这块废料剪出一个长方形CDEF，其中，点D、E、F分别在AC、AB、BC上．要使剪出的长方形CDEF面积最大，点E应造在何处？
3.如图，等腰Rt△ABC的直角边AB＝2，点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相等的速度作直线运动，已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线相交于点D。
（1）设AP的长为x，△PCQ的面积为S，求出S关于x的函数关系式；
（2）当AP的长为何值时，S△PCQ=S△ABC？
4.在矩形荒地ABCD中，AB=10，BC=6，现在在四边上分别选取E、F、G、H四点，且AE=AH=CF=CG=x，建一个花园，如何设计，可使花园面积最大？
2.最大利润（最小费用）问题
常用公式：
总利润=销售量x单件商品利润；利润率=总利润/总进价x100%。
例3.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天能卖出90箱；价格每提高1元，平均每天少卖3箱。
（1）求日均销售量y（箱）与售价x（元/箱）之间的关系式；
（2）求该批发商平均每天的销售利润W（元）与售价x（箱/元）之间的关系式；
（3）当每箱苹果的售价为多少元时，可获得最大利润？
最大利润是多少？
例2.蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x（月份）与市场售价P（元/千克）的关系如下表：
上市时间x/（月份）
1
2
3
4
5
6
市场售价P（元/千克）
10.5
9
7.5
6
4.5
3
这种蔬菜每千克的种植成本y（元/千克）与上市时间x（月份）满足一个函数关系，这个函数的图象是抛物线的一段（如图）．
（1）写出上表中表示的市场售价P（元/千克）关于上市时间x（月份）的函数关系式；
（2）若图中抛物线过A、B、C三点，写出抛物线对应的函数关系式；
（3）由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？
最大值为多少？
（收益＝市场售价－种植成本）
变式练习
1.某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2.5元。
根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：
在一段时间内，单价是13.5元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件。
问：
何时取得最大利润？
2.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：
如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
3.某宾馆客房部有60个房间供游客居
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