(定理中,,及只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长,,满足,那么以,,为三边的三角形是直角三角形,但是为斜边)
3:
勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别:
勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理;
联系:
勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。
4:
互逆命题的概念
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。
5:
勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理
6:
勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即中,,,为正整数时,称,,为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如;;;等
③用含字母的代数式表示组勾股数:
(为正整数);
(为正整数)(,为正整数)
二、典型题归类
类型一:
等面积法求高
【例题】如图,△ABC中,∠ACB=900,AC=7,BC=24,CD⊥AB于D。
(1)求AB的长;
(2)求CD的长。
类型二:
面积问题
A
B
C
D
7cmmmmmmmm
【例题】如下图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为___________cm2。
【练1】如上右图,每个小方格都是边长为1的正方形,
(1)求图中格点四边形ABCD的面积和周长。
(2)求∠ADC的度数
【练2】如图,四边形是正方形,⊥,且=3,=4,阴影部分的面积是______.
【练3】如图字母B所代表的正方形的面积是
类型三:
距离最短问题
小河
A
B
东
北
牧童
小屋
【例题】如图,一个牧童在小河的南4km的A处牧马,而他正位于他的小屋B的西8km北7km处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少?
【练1】如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.
【练2】如图,边长为1的立方体中,一只蚂蚁从A顶点出发沿着立方体的外表面爬到B顶点的最短路程是( )
A、3 B、C、 D、1
【练3】如图,长方体的长为15cm,宽为10cm,高为20cm,点B到点C的距离为5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点爬到B点,需要爬行的最短距离是多少?
B
C
A
20
15
10
类型四:
判断三角形的形状
【例题】如果ΔABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断ΔABC的形状。
【练1】已知△ABC的三边分别为m2-n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m>n),判断△ABC是否为直角三角形.
【练2】.已知a,b,c为△ABC三边,且满足(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,则它的形状为( )三角形A.直角 B.等腰C.等腰直角D.等腰或直角
【练3】三角形的三边长为,则这个三角形是()三角形
(A)等边(B)钝角(C)直角(D)锐角
类型五:
直接考查勾股定理
【例题】在Rt△ABC中,∠C=90°
(1)已知a=6,c=10,求b;
(2)已知a=40,b=9,求c;(3)已知c=25,b=15,求a.。
类型六:
构造应用勾股定理
【例题】如图,已知:
在中,,,.求:
BC的长.
练:
△ABC中,AB=AC=20,BC=32,D是BC上一点,且AD⊥AC,求BD的长.
类型七:
利用勾股定理作长为的线段
例1在数轴上表示的点。
作法:
如图所示在数轴上找到A点,使OA=3,作AC⊥OA且截取AC=1,以OC为半径,以O为圆心做弧,弧与数轴的交点B即为。
【练习】在数轴上表示的点。
类型八:
勾股定理及其逆定理的一般用法
【例题】若直角三角形两直角边的比是3:
4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。
【练习1】等边三角形的边长为2,求它的面积。
2、已知一直角三角形的斜边长是2,周长是2+,求这个三角形的面积.
类型九:
生活问题
【例题】如下左图,在高2米,坡角为30°的楼梯表面铺地毯,地毯的长至少需________米.
【练1】种盛饮料的圆柱形杯(如上右图),测得内部底面半径为2.5㎝,高为12㎝,吸管放进杯里,杯口外面至少要露出4.6㎝,问吸管要做㎝。
【练2】如下左图学校有一块长方形花园,有极少数人为了避开拐角而走“捷径”,在花园内走出了一条“路”。
他们仅仅少走了__________步路(假设2步为1m),却踩伤了花草。
【练3】如上右图,校园内有两棵树,相距12米,一棵树高13米,另一棵树高8米,一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少要飞米.
类型十:
翻折问题
【例题】如图,有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,你能求出CD的长吗?
【练习1】如图所示,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求EF的长。
【练习2】如图,△ABC中,∠C=90°,AB垂直平分线交BC于D若BC=8,AD=5,求AC的长。
如图,把矩形纸片沿折叠,使点落在边上的点处,点落在点处。
(1)求证:
(2)设,试猜想之间的一种关系,并给予证明.
3、台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴,有极强的破坏力,如图,据气象观测,距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心,其中心最大风力为12级,每远离台风中心20千米,风力就会减弱一级,该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C移动,且台风中心风力不变,若城市所受风力达到或走过四级,则称为受台风影响.
(1)该城市是否会受到这交台风的影响?
请说明理由.
(2)若会受到台风影响,那么台风影响该城市持续时间有多少?
(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?
如图所示,P为正方形ABCD内一点,将ABP绕B顺时针旋转到CBE的位置,若BP=,求:
以PE为边长的正方形的面积
如图2-9,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内一点,满足PA=3,PB=1,PC=2,求∠BPC的度数.
勾股定理全章知识点及典型题归类
2013-3-1015008620708(李老师)姓名:
典型题归类类型一:
等面积法求高
【例题】如图,△ABC中,∠ACB=900,AC=7,BC=24,CD⊥AB于D。
(1)求AB的长;
(2)求CD的长。
类型二:
面积问题
【练1】如上右图,每个小方格都是边长为1的正方形,
(1)求图中格点四边形ABCD的面积和周长。
(2)求∠ADC的度数
【练2】如图,四边形是正方形,⊥,且=3,=4,阴影部分的面积是______.
类型三:
距离最短问题
小河
A
B
东
北
牧童
小屋
【例题】如图,一个牧童在小河的南4km的A处牧马,而他正位于他的小屋B的西8km北7km处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少?
【练2】如图,边长为1的立方体中,一只蚂蚁从A顶点出发沿着立方体的外表面爬到B顶点的最短路程是( )
A、3 B、C、 D、1
B
C
A
20
15
10
(1班)如图,长方体的长为15cm,宽为10cm,高为20cm,点B到点C的距离为5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点爬到B点,需要爬行的最短距离是多少?
类型四:
判断三角形的形状
【例题】如果ΔABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断ΔABC的形状。
【练1】已知△ABC的三边分别为m2-n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m>n),判断△ABC是否为直角三角形.
类型六:
构造应用勾股定理
【例题】如图,已知:
在中,,,.求:
BC的长.
练:
△ABC中,AB=AC=20,BC=32,D是BC上一点,且AD⊥AC,求BD的长.
类型七:
利用勾股定理作长为的线段
在数轴上表示的点。
类型八:
勾股定理及其逆定理的一般用法
已知一直角三角形的斜边长是2,周长是2+,求这个三角形的面积.
类型九:
生活问题
【练1】如上右图,校园内有两棵树,相距12米,一棵树高13米,另一棵树高8米,一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少要飞米.
【练2】台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴,有极强的破坏力,如图,据气象观测,距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心,其中心最大风力为12级,每远离台风中心20千米,风力就会减弱一级,该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C移动,且台风中心风力不变,若城市所受风力达到或超过四级,则称为受台风影响.
(1)该城市是否会受到这次台风的影响?
请说明理由.
(2)若会受到台风影响,那么台风影响该城市持续时间有多少?
(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?
类型十:
翻折问题
例:
如图,把矩形纸片沿折叠,使点落在边上的点处,点落在点处。
(1)求证:
(2)设,试猜想之间的一种关系,并给予证明.
练习:
如图,△ABC中,∠C=90°,AB垂直平分线交BC于D若BC=8,AD=5,求AC的长。
类型十一:
旋转问题
例题:
如图所示,P为正方形ABCD内一点,将ABP绕B顺时针旋转到CBE的位置,若BP=,求:
以PE为边长的正方形的面积
练习:
如图2-9,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内一点,满足PA=3,PB=1,PC=2,求∠BPC的度数.