福建省福州市鼓楼区三牧中学七年级下期末数学试卷.doc

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2015-2016学年福建省福州市鼓楼区三牧中学七年级（下）期末数学试卷

一.选择题（每小题2分，共20分）

1．（2分）能与数轴上的点一一对应的是（　　）

A．整数 B．有理数 C．无理数 D．实数

2．（2分）下列运算中，正确的个数是（　　）

①=1；②=﹣=﹣2；③=+④=±4；⑤=﹣5．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

3．（2分）下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（　　）

A．对全国中学生心理健康现状的调查

B．对冷饮市场上冰淇淋质量情况的调查

C．对我市市民实施低碳生活情况的调查

D．对我国首架大型民用直升机各零部件的检查

4．（2分）画△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是（　　）

A． B． C． D．

5．（2分）一个多边形的内角和与外角和相加之后的结果是2520°，则这个多边形的边数为（　　）

A．12 B．13 C．14 D．15

6．（2分）一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为（　　）

A．（2，2） B．（3，2） C．（3，3） D．（2，3）

7．（2分）若a＞b，则（　　）

A．a＞﹣b B．a＜﹣b C．﹣2a＞﹣2b D．﹣2a＜﹣2b

8．（2分）方程组的解是，则a，b为（　　）

A． B． C． D．

9．（2分）已知三角形的两边a=3，b=7，第三边是c，且a＜b＜c，则c的取值范围是（　　）

A．4＜c＜7 B．7＜c＜10 C．4＜c＜10 D．7＜c＜13

10．（2分）如图，AB⊥BC，BC⊥CD，∠EBC=∠BCF，那么∠ABE与∠DCF的位置和大小关系是（　　）

A．是同位角且相等 B．不是同位角但相等

C．是同位角但不等 D．不是同位角也不等

二.填空题（每题2分，共20分）

11．（2分）若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＜2，则a的取值范围为　　．

12．（2分）若关于x的不等式2（x﹣3）≤2a+1的自然数解只有0、1两个，则a的取值范围是　　．

13．（2分）一个样本含有下面10个数据：

52，51，49，50，47，48，50，51，48，54，如果组距为1.5，则应分成　　组．

14．（2分）点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，且在y轴的左侧，则P点的坐标是　　．

15．（2分）如果P（a+b，ab）在第二象限，那么点Q（a，﹣b）在第　　象限．

16．（2分）二元一次方程2x+y=9有　　组正整数解．

17．（2分）如图，将△ABC的各边都延长一倍至A′、B′、C′，连接这些点，得到一个新的三角形A′B′C′，若△ABC的面积为4，则△A′B′C′的面积是　　．

18．（2分）如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两个外角平分线的交点，如果∠CMB：

∠CNB=3：

2，那么∠CAB=　　度．

19．（2分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF，AB=6，AC=10，则AE=　　．

20．（2分）如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是　　．

三、解答题（满分60分）

21．（6分）解方程组：

．

22．（7分）解不等式组：

，并把解集在数轴上表示出来：

23．（9分）某校组织了主题为“让勤俭节约成为时尚”的电子小组作品征集活动，现从中随机抽取部分作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，并根据结果绘制了如下两幅不完整的统计图．

（1）求抽取了多少份作品；

（2）此次抽取的作品中等级为B的作品有　　，并补全条形统计图；

（3）若该校共征集到800份作品，请估计等级为A的作品约有多少份．

24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）…，如果（1，0）是第一个点，探究规律如下：

（1）坐标为（3，0）的是第　　个点，坐标为（5，0）的是第　　个点；

（2）坐标为（7，0）的是第　　个点；

（3）第74个点的坐标为　　．

25．（10分）某电器商场销售A、B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元，商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元．

（1）求商场销售A、B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？

（利润=销售价格﹣进货价格）

（2）商场准备用不多于2500元的资金购进A、B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？

26．（10分）已知：

如图：

在钝角△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在射线BE上截取BD=AC，在射线CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG．

（1）猜测AD与AG的数量关系并说明理由；

（2）猜测AD与AG的位置关系并说明理由．

27．（10分）△ABC为等边三角形．

（1）如图

（1），D、E分别位于AB、AC边上，AD=CE．连接CD、BE，那么CD和BE相等吗？

说明理由．

（2）如图

（2），如果D、E分别在AB和CA的延长线上，AD=CE，连接CD、BE，EB的延长线交CD于Q．求证：

∠CQE=60°．

2015-2016学年福建省福州市鼓楼区三牧中学七年级（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（每小题2分，共20分）

1．（2分）能与数轴上的点一一对应的是（　　）

A．整数 B．有理数 C．无理数 D．实数

【分析】根据实数与数轴上的点是一一对应关系，即可得出．

【解答】解：

根据实数与数轴上的点是一一对应关系．

故选：

D．

2．（2分）下列运算中，正确的个数是（　　）

①=1；②=﹣=﹣2；③=+④=±4；⑤=﹣5．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【分析】根据算术平方根的意义，立方根的意义，可得答案．

【解答】解：

①，故①错误；

②无意义，故②错误；

③，故③错误；

④=﹣5，故④正确；

故选：

B．

3．（2分）下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（　　）

A．对全国中学生心理健康现状的调查

B．对冷饮市场上冰淇淋质量情况的调查

C．对我市市民实施低碳生活情况的调查

D．对我国首架大型民用直升机各零部件的检查

【分析】根据抽样调查和全面调查的特点即可作出判断．

【解答】解：

A、普查的难度较大，适合用抽样调查的方式，故A错误；

B、调查过程带有破坏性，只能采取抽样调查的方式，故B错误；

C、普查的难度较大，适合用抽样调查的方式，故C错误；

D、事关重大应选用普查，正确．

故选：

D．

4．（2分）画△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线即可．

【解答】解：

过点C作AB边的垂线，正确的是C．

故选：

C．

5．（2分）一个多边形的内角和与外角和相加之后的结果是2520°，则这个多边形的边数为（　　）

A．12 B．13 C．14 D．15

【分析】任何凸多边形的外角和都是360°，因而内角和是2520﹣360=2160°．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．

【解答】解：

设边数为n，则（n﹣2）•180°=2520﹣360，

解得：

n=14．

所以这个多边形的边数是14．

故选：

C．

6．（2分）一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为（　　）

A．（2，2） B．（3，2） C．（3，3） D．（2，3）

【分析】本题可在画出图后，根据矩形的性质，得知第四个顶点的横坐标应为3，纵坐标应为2．

【解答】解：

如图可知第四个顶点为：

即：

（3，2）．

故选：

B．

7．（2分）若a＞b，则（　　）

A．a＞﹣b B．a＜﹣b C．﹣2a＞﹣2b D．﹣2a＜﹣2b

【分析】由于a、b的取值范围不确定，故可考虑利用特例来说明，若能直接利用不等式性质的就用不等式性质．

【解答】解：

由于a、b的取值范围不确定，故可考虑利用特例来说明，

A、例如a=0，b=﹣1，a＜﹣b，故A选项错误，

B、例如a=1，b=0，a＞﹣b，故B选项错误，

C、利用不等式性质3，同乘以﹣2，不等号改变，则有﹣2a＜﹣2b，故C选项错误，

D、利用不等式性质3，同乘以﹣2，不等号改变，则有﹣2a＜﹣2b，故D选项正确，

故选：

D．

8．（2分）方程组的解是，则a，b为（　　）

A． B． C． D．

【分析】此题可以把x，y的值代入，即可求出a，b的值

【解答】解：

依题意，得a﹣1=0，1﹣b=1

∴a=1，b=0．

故选：

B．

9．（2分）已知三角形的两边a=3，b=7，第三边是c，且a＜b＜c，则c的取值范围是（　　）

A．4＜c＜7 B．7＜c＜10 C．4＜c＜10 D．7＜c＜13

【分析】首先根据三角形的三边关系：

第三边＞两边之差4，而＜两边之和10，根据a＜b＜c即可得c的取值范围．

【解答】解：

根据三角形三边关系可得4＜c＜10，

∵a＜b＜c，

∴7＜c＜10．故选B．

10．（2分）如图，AB⊥BC，BC⊥CD，∠EBC=∠BCF，那么∠ABE与∠DCF的位置和大小关系是（　　）

A．是同位角且相等 B．不是同位角但相等

C．是同位角但不等 D．不是同位角也不等

【分析】根据∠ABC=∠DCB=90°，且∠EBC=∠BCF，运用等式性质得出∠ABE=∠DCF，再判断它们的位置即可．

【解答】解：

∵AB⊥BC，BC⊥CD，

∴∠ABC=∠DCB=90°，

∵∠EBC=∠BCF，

∴∠ABE=∠DCF，

∵∠ABE与∠DCF不在两直线的同侧，也不在第三条直线（截线）的同旁，

∴它们不是同位角．

故选：

B．

二.填空题（每题2分，共20分）

11．（2分）若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＜2，则a的取值范围为　a＜4　．

【分析】先解关于关于x，y的二元一次方程组的解集，其解集由a表示；然后将其代入x+y＜2，再来解关于a的不等式即可．

【解答】解：

由①﹣②×3，解得

y=1﹣；

由①×3﹣②，解得

x=；

∴由x+y＜2，得

1+＜2，

即＜1，

解得，a＜4．

解法2：

由①+②得4x+4y=4+a，

x+y=1+，

∴由x+y＜2，得

1+＜2，

即＜1，

解得，a＜4．

故答案是：

a＜4．

12．（2分）若关于x的不等式2（x﹣3）≤2a+1的自然数解只有0、1两个，则a的取值范围是　﹣2.5≤a＜﹣1.5　．

【分析】首先求得不等式的解集，然后根据不等式的自然数解只有0、1，即可得到一个关于a的不等式，从而求得a的范围．

【解答】解：

解不等式得：

x≤a+3.5．

不等式的自然数解只有0、1两个，则自然数解是：

0，1．

根据题意得：

2≤a+3.5＜2，

解得：

﹣2.5≤a＜﹣1.5．

故答案为﹣2.5≤a＜﹣015．

13．（2分）一个样本含有下面10个数据：

52，51，49，50，47，48，50，51，48，54，如果组距为1.5，则应分成　5　组．

【分析】极差除以组距，取不小于该值的最小的整数．

【解答】解：

≈4.7，取5组．

故答案为5．

14．（2分）点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，且在y轴的左侧，则P点的坐标是　（﹣3，2），（﹣3，﹣2）　．

【分析】根据直角坐标系中，某点到x轴的距离是它的纵坐标的绝对值，到y轴的确距离是它的横坐标的绝对值解答．

【解答】解：

∵P（x，y）到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，

∴x=±3，y=±2；

又∵点P在y轴的左侧，

∴点P的横坐标x=﹣3，

∴点P的坐标为（﹣3，2）或（﹣3，﹣2）．故填（﹣3，2）或（﹣3，﹣2）．

15．（2分）如果P（a+b，ab）在第二象限，那么点Q（a，﹣b）在第　二　象限．

【分析】应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断其所在的象限．

【解答】解：

∵P（a+b，ab）在第二象限，

∴a+b＜0，ab＞0，

∴a，b都是负号，

∴a＜0，﹣b＞0，

∴点Q（a，﹣b）在第二象限．故填：

二．

16．（2分）二元一次方程2x+y=9有　4　组正整数解．

【分析】将x看做已知数表示出y，即可确定出正整数解的个数．

【解答】解：

方程2x+y=9，

解得：

y=9﹣2x，

当x=1时，y=7；当x=2时，y=5；当x=3时，y=3；当x=4时，y=1；

则正整数解有4组．

故答案为：

4．

17．（2分）如图，将△ABC的各边都延长一倍至A′、B′、C′，连接这些点，得到一个新的三角形A′B′C′，若△ABC的面积为4，则△A′B′C′的面积是　28　．

【分析】连接C′B，根据三角形的中线平分线三角形的面积可得S△A′C′A=2S△BAC′，再算出S△ABC′=S△ABC=4进而得到S△A′BC=S△CC′B′=8，从而得到答案．

【解答】解：

连接C′B，

∵AA′=2AB，

∴S△A′C′A=2S△BAC′，

∵CC′=2AC，

∴S△ABC′=S△ABC=4，

∴S△A′C′A=8，

同理：

S△A′BC=S△CC′B′=8，

∴△A′B′C′的面积是8+8+8+4=28，

故答案为：

28．

18．（2分）如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两个外角平分线的交点，如果∠CMB：

∠CNB=3：

2，那么∠CAB=　36　度．

【分析】根据四边形的内角和为360°可分别求出∠CMB和∠CNB的度数，从而可求出（∠ACB+∠ABC），继而可得出∠CAB的度数．

【解答】解：

由题意得：

∠NCM=∠NBM=×180°=90°，

∴可得：

∠CMB+∠CNB=180°，

又∠CMB：

∠CNB=3：

2，

∴∠CMB=108°，

∴（∠ACB+∠ABC）=180°﹣∠CMB=72°，

∴∠CAB=180°﹣（∠ACB+∠ABC）=36°．

故答案为：

36°．

19．（2分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF，AB=6，AC=10，则AE=　8　．

【分析】首先证明Rt△DEB≌Rt△DFC，推出DE=DF，推出∠DAE=∠DAF，再证明Rt△DAE≌△DAF，推出AE=AF，可得AB+AC=（AE﹣BE）+（AF+CF）=2AE=18，由此即可解决问题．

【解答】解：

∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∴∠E=∠DFC=90°，

在Rt△DEB和Rt△DFC中，

，

∴Rt△DEB≌Rt△DFC，

∴DE=DF，

∴∠DAE=∠DAF，

在Rt△DAE和Rt△DAF中，

，

∴Rt△DAE≌△DAF，

∴AE=AF，

∴AB+AC=（AE﹣BE）+（AF+CF）=2AE=18，

∴AE=8，

故答案为8．

20．（2分）如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是　31.5　．

【分析】连接OA，作OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为E、F，将△ABC的面积分为：

S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB，而三个小三角形的高OD=OE=OF，它们的底边和就是△ABC的周长，可计算△ABC的面积．

【解答】解：

作OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为E、F，连接OA，

∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，

∴OD=OE=OF，

∴S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB

=×OD×BC+×OE×AC+×OF×AB

=×OD×（BC+AC+AB）

=×3×21=31.5．

故填31.5．

三、解答题（满分60分）

21．（6分）解方程组：

．

【分析】将第一个方程左右两边都乘以3，加上第二个方程，消去y求出x的值，将x的值代入第一个方程中计算，求出y的值，即可得到原方程组的解．

【解答】解：

，

①×3+③得14x=﹣14，

解得：

x=﹣1，

把x=﹣1代入①得，3×（﹣1）+2y=3，即y=3，

故原方程组的解为．

22．（7分）解不等式组：

，并把解集在数轴上表示出来：

【分析】首先分别求得两个不等式的解集，然后在数轴上表示出来，公共部分即为不等式组的解集．注意在解不等式系数化一时：

（1）系数为正，不等号的方向不变，

（2）系数为负，不等号的方向改变．

【解答】解：

不等式可化为：

，

即；

在数轴上可表示为：

∴不等式组的解集为﹣2≤x＜0．

23．（9分）某校组织了主题为“让勤俭节约成为时尚”的电子小组作品征集活动，现从中随机抽取部分作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，并根据结果绘制了如下两幅不完整的统计图．

（1）求抽取了多少份作品；

（2）此次抽取的作品中等级为B的作品有　48　，并补全条形统计图；

（3）若该校共征集到800份作品，请估计等级为A的作品约有多少份．

【分析】

（1）根据C的人数除以占的百分比，得到抽取作品的总份数；

（2）由总份数减去其他份数，求出B的份数，补全条形统计图即可；

（3）求出A占的百分比，乘以800即可得到结果．

【解答】解：

（1）根据题意得：

30÷25%=120（份），

则抽取了120份作品；

（2）等级B的人数为120﹣（36+30+6）=48（份），

补全统计图，如图所示：

故答案为：

48；

（3）根据题意得：

800×=240（份），

则估计等级为A的作品约有240份．

24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）…，如果（1，0）是第一个点，探究规律如下：

（1）坐标为（3，0）的是第　6　个点，坐标为（5，0）的是第　15　个点；

（2）坐标为（7，0）的是第　28　个点；

（3）第74个点的坐标为　（12，7）　．

【分析】

（1）根据图形可以解答本题；

（2）根据图形中点的规律，可以得到坐标为（7，0）的第多少个点；

（3）根据图形中点的规律，可以估算出第74个点在多少列，从而可以解答本题．

【解答】解：

（1）由图可知，

坐标为（3，0）的点是第1+2+3=6个点，坐标是（5，0）的点是第1+2+3+4+5=15个点，

故答案为：

6，15；

（2）坐标为（7，0）的点是第1+2+3+4+5+6+7=28个点，

故答案为：

28；

（3）∵（11，0）是第1+2+3+…+11=66个点，（12，11）是第1+2+3+…+12=78个点，

∴第74个点是（12，7），

故答案为：

（12，7）．

25．（10分）某电器商场销售A、B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元，商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元．

（1）求商场销售A、B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？

（利润=销售价格﹣进货价格）

（2）商场准备用不多于2500元的资金购进A、B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？

【分析】

（1）首先设A种型号计算器的销售价格是x元，A种型号计算器的销售价格是y元，根据题意可等量关系：

①5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；②销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元，根据等量关系列出方程组，再解即可；

（2）根据题意表示出所用成本，进而得出不等式求出即可．

【解答】解：

（1）设A种型号计算器的销售价格是x元，B种型号计算器的销售价格是y元，由题意得：

，

解得：

；

答：

A种型号计算器的销售价格是42元，B种型号计算器的销售价格是56元；

（2）设购进A型计算器a台，则购进B型计算器：

（70﹣a）台，

则30a+40（70﹣a）≤2500，

解得：

a≥30，

答：

最少需要购进A型号的计算器30台．

26．（10分）已知：

如图：

在钝角△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在射线BE上截取BD=AC，在射线CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG．

（1）猜测AD与AG的数量关系并说明理由；

（2）猜测AD与AG的位置关系并说明理由．

【分析】

（1）结论：

AD=AG．只要证明△ABD≌△GCA，即可解决问题；

（2）结论：

AD⊥AG，由△ABD≌△GCA，推出∠BAD=∠G，由∠G+∠GAF=90°推出∠BAD+∠FAG=90°，可得∠DAG=90°；

【解答】解：

（1）结论：

AD=AG．

理由：

∵BE、CF分别是AC、AB两边上的高，

∴∠AEB=∠AFC=90°，

∵∠EAB=∠FAC，

∴∠ABE=∠ACF，

在△ABD和△GCA中，

，

∴△ABD≌△GCA，

∴AD=AG．

（2）结论：

AD⊥AG．

理由：

∵△ABD≌△GCA，

∴∠BAD=∠G，

∵∠G+∠GAF=90°，

∠BAD+∠FAG=90°，

∴∠DAG=90°，

∴AD⊥AG．

27．（10分）△ABC为等边三角形．

（1）如图

（1），D、E分别位于AB、AC边上，AD=CE．连接CD、BE，那么CD和BE相等吗？

说明理由．

（2）如图

（2），如果D、E分别在AB和CA的延长线上，AD=CE，连接CD、BE，EB的延长线交CD于Q．求证：

∠CQE=60°．

【分析】

（1）根据等边三角形证明△ADC≌△CEB，可得结论；

（2）同理可证明△CAD≌△BCE，得∠CDA=∠BEC，根据三角形的外角定理得：

∠CQE=∠CAD=60°．

【解答】解：

（1）如图

（1）CD=BE，理由是：

∵△ABC是等边三角形，

∴AC=BC，∠A=∠ACB=60°，

在△ADC和△CEB中，

∵，

∴△ADC≌△CEB（SAS），

∴CE=BE；

（2）如图

（2）∵△ABC是等边三角形，

∴AC=BC，∠CAD=∠BCE=60°，

在△CAD和△BCE中，

∵，

∴△CAD≌△BCE（SAS），

∴∠CDA=∠BEC，

∵∠ABE=∠DBQ，

∴∠DBQ+∠CDA=∠ABE+∠BEC，

∵∠CQE是△BDQ的一个外角，

∴∠CQE=∠DBQ+∠CDA，

同理可得：

∠CAD=∠ABE+∠BEC，

∴∠CQE=∠CAD，

∴∠CQE=60°．

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