相似三角形的性质(经典全面).doc

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相似三角形的性质及判定

一、相似的有关概念

1．相似形

具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换．

2．相似图形的特性

两个相似图形的对应边成比例，对应角相等．

3．相似比

两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．

二、相似三角形的概念

1．相似三角形的定义

对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．

如图，与相似，记作，符号读作“相似于”．

2．相似比

相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．

三、相似三角形的性质

1．相似三角形的对应角相等

如图，与相似，则有．

2．相似三角形的对应边成比例

如图，与相似，则有（为相似比）．

3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．

如图1，与相似，是中边上的中线，是中边上的中线，则有（为相似比）．

图1

如图2，与相似，是中边上的高线，是中边上的高线，则有（为相似比）．

图2

如图3，与相似，是中的角平分线，是中的角平分线，则有（为相似比）．

图3

4．相似三角形周长的比等于相似比．

如图4，与相似，则有（为相似比）．应用比例的等比性质有．

图4

5．相似三角形面积的比等于相似比的平方．

如图5，与相似，是中边上的高线，是中边上的高线，则有（为相似比）．进而可得．

图5

四、相似三角形的判定

1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．

2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：

两角对应相等，两个三角形相似．

3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．

4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：

三边对应成比例，两个三角形相似．

5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．

6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）

7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．

五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式

证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”．

1．横向定型法

欲证，横向观察，比例式中的分子的两条线段是和，三个字母恰为的顶点；分母的两条线段是和，三个字母恰为的三个顶点．因此只需证．

2．纵向定型法

欲证，纵向观察，比例式左边的比和中的三个字母恰为的顶点；右边的比两条线段是和中的三个字母恰为的三个顶点．因此只需证．

3．中间比法

由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．

比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。

这类问题的典型模型是射影定理模型，模型的特征和结论要熟练掌握和透彻理解．

倒数式的证明，往往需要先进行变形，将等式的一边化为1，另一边化为几个比值和的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之．

复合式的证明比较复杂．通常需要进行等线代换（对线段进行等量代换），等比代换，等积代换，将复合式转化为基本的比例式或等积式，然后进行证明．

六、相似证明中常见辅助线的作法

在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合等量代换得到要证明的结论．常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等．

如图：

平分交于，求证：

．

证法一：

过作，交的延长线于．

∴，．

∵，∴．∴．

∵，∴．

点评：

做平行线构造成比例线段，利用了“A”型图的基本模型．

证法二；过作的平行线，交的延长线于．

∴，∴．

∵，∴．

点评：

做平行线构造成比例线段，利用了“X”型图的基本模型．

七、相似证明中的面积法

面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题．

常用的面积法基本模型如下：

如图：

．

如图：

．

如图：

．

八、相似证明中的基本模型

例题精讲

一、与三角形有关的相似问题

【例1】如图，在中，，点在边上，若在增加一个条件就能使，则这个条件可以是．

【例2】如图，、是的边、上的点，且，求证：

.

【例3】如图，在中，于，于，的面积是面积的4倍，，求的长.

【例4】直线与的边相交于点，与边相交于点，下列条件：

①；②；③；④中，能使与相似的条件有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【例5】如图，中，，点是内一点，使得，，则．

【例6】如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求．

【例7】如图，已知中，，，与相交于，则的值为（）

A.B.1C.D.2

【例8】在中，，的延长线交的延长线于，求证：

.

【例9】如图，在的边上取一点，在取一点，使，直线和的延长线相交于，求证：

【例10】如图，、为边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交、和的延长线于点、和.

求证：

.

【例11】如图，已知，若，，，求证：

.

【例12】如上图，，，垂足分别为、，和相交于点，，垂足为.证明：

.

【例13】如图，已知，找出、、之间的关系，并证明你的结论.

【例14】如图，在四边形中，与相交于点，直线平行于，且与、、、

及的延长线分别相交于点、、、和.求证：

【例15】已知，如图，四边形，两组对边延长后交于、，对角线，的延长线交于．求证：

．

【例16】已知：

为的中位线上任意一点，、的延长线分别交对边、于、，求证：

【例17】如图所示，是一个凸六边形，、、分别是直线与、与、与的交点，、、分别是与、与、与的交点，如果，求证：

．

【例18】设、分别是凸四边形的边、上的点，且，求证：

直线与之间的夹角等于直线与之间的夹角．

【例19】如图，中，，若分别是的中点，则；

若分别是的中点，则；

若分别是的中点，则；

…………

若分别是的中点，则_________.

【例20】如图，内有一点，过作各边的平行线，把分成三个三角形和三个平行四边形．若三个三角形的面积分别为，则的面积是．

【例21】【如图，梯形的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为，则梯形的面积是（）

A． B．

C． D．

【例22】如图，梯形中，，两条对角线、相交于，若，那么．

【例23】已知：

的高所在直线与高所在直线相交于点．

（1）如图l，若为锐角三角形，且，过点作，交直线于点，求证：

；

（2）如图2，若，过点作，交直线于点，则之间满足的数量关系是；

（3）在

（2）的条件下，若，，将一个角的顶点与点重合并绕点旋转，这个角的两边分别交线段于两点（如图3），连接，线段分别与线段、线段相交于两点，若，求线段的长．

【例24】如图所示，在中，，，为的中点，，是边上的点，，求的面积与的面积的两倍的和．

二、与平行四边形有关的相似问题

【例25】如图，已知平行四边形中，过点的直线顺次与、及的延长线相交于点、、，若，，则的长是．

【例26】如图，已知，，求证：

.

【例27】如图，的对角线相交于点，在的延长线上任取一点，连接交于点，若,求的值．

【例28】如图：

矩形的面积是36，在边上分别取点，使得，，且与的交点为点，求的面积。

【例29】如图，已知在矩形中，为的中点，交于，连接（）.

（1）与是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由.

（2）设是否存在这样的值，使得∽，若存在，证明你的结论并求出值；若不存在，说明理由.

三、与梯形有关的相似问题

【例30】如图，在梯形中，，,，若，且梯形与梯形的周长相等，求的长．

【例31】已知：

如图，在梯形中，，是的中点，分别连接、、、，且与交于点，与交于.

（1）求证：

（2）若,，求的长.

【例32】如图，在梯形中，，分别是的中点，交于，交于，求的长．

【例33】如图，已知梯形中，，，,,（）,,交于点，连接.

（1）判断与，与是否分别一定相似，若相似，请加以证明.

（2）如果不一定相似，请指出、满足什么关系时，它们就能相似.

四、与内接矩形有关的相似问题

【例34】中，正方形的两个顶点、在上，另两个顶点、分别在、上，,边上的高,求.

【例35】如图，已知中，，四边形为正方形，其中在边上，在上，求正方形的边长．

【例36】如图，已知中，，四边形为正方形，其中在边上，在上，求正方形的边长．

【例37】如图，已知中，四边形为正方形，在线段上，在上，如果，，求的面积．

【例38】如图，在中，，，，动点（与点，不重合）在边上，∥交于点．

⑴当的面积与四边形的面积相等时，求的长．

⑵当的周长与四边形的周长相等时，求的长．

⑶试问在上是否存在点，使得为等腰直角三角形？

若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出的长．

五、与角平分线有关的相似问题

【例39】如图，是的角平分线，求证：

【例40】已知中，的外角平分线交对边的延长线于，求证：

【例41】已知中，的外角平分线交对边的延长线于，求证：

【例42】已知：

、分别为的内、外角平分线，为的中点，求证：

【例43】已知：

、分别为的内、外角平分线，求证：

.

【例44】在中，，平分交于点，求证：

【例45】已知四边形，、分别为一组对边、的两点，若

求证：

、与成等角.

【例46】如图，已知是的平分线上的定点，过点任作一条直线分别交、于、.

⑴证明：

是定值；⑵求的最小值

六、与公共边有关的相似问题

【例47】如图，直角中，，，证明：

，，.

【例48】如图，在矩形中，对角线、相交于点，为的中点，连接交于，连接，若，则下列四对三角形：

①与；②与；③与；④与，其中相似的为（）

A．①④ B．①② C．②③④ D．①②③

【例49】如图，矩形中，于，恰是的中点，下列式子成立的是（）

A． B． C． D．

【例50】如图，中，于，于，于，交于，、的延长线交于点，求证：

.

【例51】如图，，点在上，，是的中点，于，点是的中点，连接。

求证：

。

【例52】已知，如图正方形内接于，在斜边上，于。

求证：

（1）；

（2）。

【例53】如图，在直角梯形中，，对角线，垂足为，，过的直线交于．

⑴，

⑵．

【例54】如图，中，，于为的中点，的延长线交于．

求证：

．

【例55】如图，等腰中，，于，，延长交于，交于，

求证：

．

【例56】如图，在中，平分，的垂直平分线交于，交的延长线于，

求证：

．

【例57】如上图，在中，，的垂直平分线交于，交的延长线于，

求证：

平分．

【例58】已知，如图，为等边三角形，且的两边交直线于两点，求证：

．

【例59】已知，如图，为等腰三角形，，在不添加辅助线的条件下：

⑴当与满足什么关系时，（括号里填图中已有线段）．

⑵证明你的结论．

七、与旋转有关的相似问题

【例60】如图，直角梯形中，，，，为梯形内一点，且，将绕点旋转使与重合，得到，连交于．已知，则的值为（）

A．B．C．D．

【例61】如图，四边形和均为正方形，求_________.

【例62】

（1）如图1，等边中，为边上的动点，以为一边，向上作等边，连接，求证：

．

（2）如图2，将

（1）中的等边改为以为底边的等腰三角形，所作的改成相似于，请问：

是否有？

证明你的结论．

【例63】把两块全等的直角三角板和叠放在一起，是三角板的锐角顶点与三角板的斜边中点重合，其中，，，把三角板固定不动，让三角板绕点旋转，设射线与射线相交于点，射线与线段相交于点．

（1）如图1，当射线经过点，即点与点重合时，易证．此时，．

（2）将三角板由图1的所示的位置绕点沿逆时针方向旋转，设旋转角为，其中，问的值是否改变？

说明你的理由．

（3）在

（2）的条件下，设，两块三角板重叠的部分面积为，求于的函数关系式．

八、与相似有关的动点问题

【例64】如图，中，，点从出发，沿方向以的速度移动，点从出发，沿方向也以的速度移动，若分别从出发，经过多少时间与相似？

【例65】如图，在矩形中，，点沿边从点开始向点以秒的速度移动，点沿边以秒的速度从点开始移动，如果同时出发，用（秒）表示移动的时间．

⑴当为何值时，为等腰直角三角形？

⑵求四边形面积，提出一个与计算结果相关的正确结论．

⑶当为何值时，以点为顶点的三角形与相似．

【例66】如图，矩形中，厘米，厘米（）．动点同时从点出发，分别沿，运动，速度是厘米／秒．过作直线垂直于，分别交，于．当点到达终点时，点也随之停止运动．设运动时间为秒．

⑴若厘米，秒，则______厘米；

⑵若厘米，求时间，使，并求出它们的相似比；

⑶若在运动过程中，存在某时刻使梯形与梯形的面积相等，求的取值范围；

⑷是否存在这样的矩形：

在运动过程中，存在某时刻使梯形，梯形，梯形的面积都相等？

若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

【考点】相似三角形的性质与判定

【难度】4星

【题型】解答

【关键词】2007年，扬州

【解析】略

【答案】⑴，

⑵，使，相似比为

⑶∵，

，∴即，∵，

∵

当梯形与梯形的面积相等，即

化简得，

∵，∴，则，∴，

⑷∵时，梯形与梯形的面积相等

∴梯形的面积与梯形的面积相等即可，则

∴，把代入，解之得，所以．

所以，存在，当时梯形与梯形的面积、梯形的面积相等．

【例67】已知边长为的正方形截去一个角后成为五边形，其中，试在上求一点，使得矩形有最大面积，那么最大面积为多少．

【考点】相似三角形的性质及判定，二次函数的最值

【难度】4星

【题型】解答

【关键词】2009年，学而思入学考试题

【解析】设矩形的边，，于是矩形的面积，．

易知，，且有，

即，

所以，

，．

二次函数的图象开口向下，对称轴为，故当时，函数值是随的增加而增加，所以，对满足的来说，当时有最大值．．

【答案】

【例68】中，，，．长为的线段在的边上沿方向以的速度向点运动（运动前点与点重合）．过分别作的垂线交直角边于，两点，线段运动的时间为．

（1）若的面积为，写出与的函数关系式（写出自变量的取值范围）；

（2）线段运动过程中，四边形有可能成为矩形吗？

若有可能，求出此时的值；若不可能，说明理由；

（3）为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？

【考点】动点与几何，相似三角形的性质及判定，矩形的性质及判定

【难度】4星

【题型】解答

【关键词】2008年，山东济宁

【解析】⑴当点在上时，∵，∴．

∴．

当点在上时，．

．

⑵∵，∴．∴．

∴．

由条件知，若四边形为矩形，需，即，

∴．

∴当时，四边形为矩形．

⑶　由⑵知，当时，四边形为矩形，此时，

∴．

除此之外，当时，，此时．

∵，∴．∴．

∵，∴．

又∵，∴．

∵．

∴当或时，以为顶点的三角形与相似．

【答案】

（1）

（2）当时，四边形为矩形

（3）当或时，以为顶点的三角形与相似

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