答（）
（C）c>2； （D）c=2．
答（ ）
二、填空题
１．Ｅ是平行四边形ABCD中BC边的中点，AE交对角线BD于G，如果ΔBEG的面积是１，则平行四边形ABCD的面积是．
２．已知关于x的一元二次方程没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，．
3．设m，n，p，q为非负数，且对一切x>０，恒成立，则
．
４．四边形ABCD中，∠ABC，∠BCD，AB，BC，
CD=6，则AD=．
第二试
x+y， x－y， xy，
四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x,y）．
二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且
BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．
求证：
BF＝AF＋CF
三、将正方形ABCD分割为个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：
恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．
1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题
第一试
一.选择题
本题共有8个题,每小题都给出了（A）,（B）,（C）,（D）四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.
1.满足的非负整数的个数是
（A）1;（B）2;（C）3;（D）4.
2.若是一元二次方程的根,则判别式与平方式的关系是
（A）>（B）=（C）>;（D）不确定.
3.若,则的个位数字是
（A）1;（B）3;（C）5;（D）7.
答（）
4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于,则这个多边形的边数必为
（A）7;（B）6;（C）5;（D）4.
答（）
5.如图,正比例函数的图像与反比例函数的图像分别相交于A点和C点.若和的面积分别为S1和S2,则S1与S2的关系是
（A）（B）
（C）（D）不确定 答（）
6.在一个由个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为,则的整数部分是
（A）0;（B）1;（C）2;（D）3.
答（）
7.如图,在等腰梯形ABCD中,AB//CD,AB=2CD,,又E是底边AB上一点,且FE=FB=AC,FA=AB.
则AE:
EB等于
（A）1:
2（B）1:
3
（C）2:
5（D）3:
10
答（）
8.设均为正整数,且
,则当的值最大时,的最小值是
（A）8;（B）9;（C）10;（D）11.
答（）
二.填空题
1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm,腰上的中线等15cm,则这个等腰三角形的面积等于________________.
2.若,则的最大值是__________.
3.在中,的平分线相交于点，又于点，若，则.
4.若都是正实数，且，则.
第二试
一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程的两根，当这样的三角形只有一个时，求的取值范围.
二、如图，在中，是底边上一点，是线段上一点，且.
求证：
.
三、某个信封上的两个邮政编码M和N均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：
A：
320651 B：
105263
C：
612305 D：
316250
已知编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N相同.D恰有三个数字的位置与M和N相同.试求：
M和N.
1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题
第一试
一.选择题
本题共有8个小题,每小题都给出了（A）,（B）,（C）,（D）四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.
1.多项式除以的余式是
（A）1;（B）-1;（C）;（D）;
2.对于命题
Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.
Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是
（A）Ⅰ,Ⅱ都对（B）Ⅰ对,Ⅱ错（C）Ⅰ错,Ⅱ对.（D）Ⅰ,Ⅱ都错.
3.设是实数,.下列四个结论:
Ⅰ.没有最小值;
Ⅱ.只有一个使取到最小值;
Ⅲ.有有限多个（不止一个）使取到最大值;
Ⅳ.有无穷多个使取到最小值.
其中正确的是
（A）Ⅰ（B）Ⅱ（C）Ⅲ（D）Ⅳ
4.实数满足方程组
其中是实常数,且,则的大小顺序是
（A）;（B）;
（C）;（D）.
5.不等式的整数解的个解
（A）等于4（B）小于4（C）大于5（D）等于5
6.在中,,
则的值是
（A）（B）
（C）（D）.
答（）
7.锐角三角ABC的三边是a,b,c,它的外心到三边的距离分别为m,n,p,那么m:
n:
p等于
（A）;（B）
（C）（D）.
答（）
8.可以化简成
（A）;（B）（C）（D）
答（）
二.填空题
1.当x变化时,分式的最小值是___________.
2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.
3.若方程有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则=____________.
4.锐角三角形ABC中,.以BC边为直径作圆,与AB,AC分别交于D,E,连接DE,把三角形ABC分成三角形ADE与四边形BDEC,设它们的面积分别为S1,S2,则S1:
S2=___________.
第二试
一.设H是等腰三角形ABC垂心,在底边BC保持不变的情况下让顶点A至底边BC的距离变小,这时乘积的值变小,变大,还是不变?
证明你的结论.
二.中,BC=5,AC=12,AB=13,在边AB,AC上分别取点D,E,使线段DE将分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE的最小长度.
三.已知方程分别各有两个整数根及,且.
（1）求证:
（2）求证:
≤≤;
（3）求所有可能的值.
1994年全国初中数学联赛试题
第一试
（4月3日上午8：
30—9：
30）
考生注意：
本试共两道大题，满分80分.
一、选择题（本题满分48分，每小题6分）
本题共有8个小题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.
〔答〕（）
2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,z
A．都不小于0 B．都不大于0
C．至少有一个小0于 D．至少有一个大于0 〔答〕（）
3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长
A．等于4 B．等于5
C．等于6 D．不能确定
〔答〕（）
A．1 B．-1 C．22001 D．-22001 〔答〕（）
5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角
A．4对 B．8对
C．12对 D．16对
〔答〕（）
〔答〕（）
7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。
若BC=a,AC=b,AB=c,则AH·AD+BH·BE+CH·CF的值是
〔答〕（）
A．1001 B．1001,3989
C．1001,1996 D．1001,1996,3989 〔答〕（）
二、填空题（本题满分32分，每小题8分）
各小题只要求在所给横线上直接填写结果.
3．在△ABC中，设AD是高，BE是角平分线，若BC=6，CA=7，AB=8，则DE=______.
4．把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切，若要有用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于______.
第二试
（4月3日上午10：
00—11：
30）
考生注意：
本试共三道大题，满分60分.
一、（本题满分20分）
如图所示，在△ABC中，AB=AC.任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ.求证：
△ABC的外心O与A,P,Q四点共圆。
思路一：
△OCP≌△OAQ→→∠CPO=∠AQO→→OAPQ四点共圆（视角定理.）
思路二：
△PAO≌△QBO→→∠OPA=∠AQO→→OAPQ四点共圆（视角定理.）
连接OB、OA。
∠OBA=∠OAB=∠OAC
∴∠PAO=∠QBO
PA=QBAO=BO
∴△PAO≌△QBO
∠OPA=∠AQO
所以O与A，P,Q,四点同园
二、（本题满分20分）
周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？
若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个？
三、（本题满分20分）
某次数学竞赛共有15个题.下表是对于做对n（n=0,1,2,……,15）个题的人数的一个统计.
n 0 1 2 3 …… 12 13 14 15
做对n个题的人数 7 8 10 21 …… 15 6 3 1
如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题，做对10个题和10个题以下的学生每人平均做对4个题.问这个表至少统计了多少人？
1994年全国初中数学联赛参考答案
第一试答案
一、选择题；
小题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D B B D C B C
二、填空题：
第二试提示及答案.
一、连结OA，OC，OP，OQ.证明△OCP≌△OAQ，于是
∠CPO=∠AQO，所以O，A，P，Q四点共圆.
三、这个表至少统计了200人.
1995年全国初中数学联赛试题
第一试
一、选择题
1．已知a＝355,b＝444,c＝533,则有［]
A．a＜b＜c B．c＜b＜aC．c＜a＜b D．a＜c＜b
A．1 B．2C．3 D．4
3．如果方程（x－1）（x2－2x－m）＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是
4．如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为 ［]
A．62π B．63πC．64π D．65π
5．设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则 []
A．M＞NB．M＝NC．M＜ND．M、N的大小关系不确定
6．设实数a、b满足不等式｜｜a｜－（a＋b）｜＜｜a－|a＋b｜｜，则[]
A．a＞0且b＞0 B．a＜0且b＞0
C．a＞0且b＜0 D．a＜0且b＜0
二、填空题
1．在12，22，32…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有____个。
4．以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC2＝AC·BC，则∠CAB＝______．
第二试
一、已知∠ACE＝∠CDE＝90°，点B在CE上，CA＝CB＝CD，经A、C、D三点的圆交AB于F（如图）求证F为△CDE的内心。
二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数
理由。
三、试证：
每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和。
２００１年全国初中数学联合竞赛试题及答案
２００２年全国初中数学联合竞赛试题及答案
２００３年全国初中数学联合竞赛试题及答案
２００５年全国初中数学联合竞赛试题及答案
２００５年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案
２００６年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案
答案：
２００７年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案
答案：
２００８年全国初中数学联合竞赛一试试题及答案
答案：
２００８年全国初中数学联合竞赛二试试题及答案
答案：
2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第一试
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1.设，则（A
A.24.B.25.C..D..
2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝（C）
A..B..C..D..
3．用表示不大于的最大整数，则方程的解的个数为（C）
A.1.B.2.C.3.D.4.
4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（B
A..B..C..D..
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则CBE＝（D）
A..B..C..D..
6．设是大于1909的正整数，使得为完全平方数的的个数是（B）
A.3.B.4.C.5.D.6.
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1．已知是实数，若是关于的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是____________.
2．设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为和，则四边形DECF的面积为______.
3．如果实数满足条件，，则______.
4．已知是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对共有___7__对.
第二试
一．（本题满分20分）已知二次函数的图象与轴的交点分别为A、B，与轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.
（1）证明：
⊙P与轴的另一个交点为定点.
（2）如果AB恰好为⊙P的直径且，求和的值.
解
（1）易求得点的坐标为，设，，则，.
设⊙P与轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OA×OB＝OC×OD，则.
因为，所以点在轴的负半轴上，从而点D在轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为（0,1）.
（2）因为AB⊥CD，如果AB恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，所以点的坐标为，
即.
又，所以
，
解得.
二．（本题满分25分）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：
EF∥AB.
解因为BN是∠ABC的平分线，所以.
又因为CH⊥AB，所以，
因此.
又F是QN的中点，所以CF⊥QN，所以，因此C、F、H、B四点共圆.
又，所以FC＝FH，故点F在CH的中垂线上.
同理可证，点E在CH的中垂线上.
因此EF⊥CH.
又AB⊥CH，所以EF∥AB.
三．（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件：
①
②
是否存在以为三边长的三角形？
如果存在，求出三角形的最大内角.
解法1将①②两式相乘，得，
即，
即，
即，
即，
即，
即，即，
即，
所以或或，即或或.
因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.
解法2结合①式，由②式可得，
变形，得③
又由①式得，即，
代入③式，得，
即.
，
所以或或.
结合①式可得或或.
因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.
2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第一试
一、选择题：
（本题满分42分，每小题7分）
1.若均为整数且满足，则（B）
A．1.B．2.C．3.D．4.
2．若实数满足等式，，则可能取的最大值为（C）
A．0.B．1.C．2.D．3.
3．若是两个正数，且则（C）
A．.B．.C．.D．.
4．若方程的两根也是方程的根，则的值为（A）
A．－13.B．－9.C．6.D．0.
5．在△中，已知，D，E分别是边AB，AC上的点，且，，,则（B）
A．15°.B．20°.C．25°.D．30°.
6．对于自然数，将其各位数字之和记为，如，，（D）
A．28062.B．28065.C．28067.D．28068.
二、填空题：
（本题满分28分，每小题7分）
1．已知实数满足方程组则13.
2．二次函数的图象与轴正方向交于A，B两点，与轴正方向交于点C．已知，，则．
3．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA＝，PC＝5，则PB＝______．
4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放____15___个球.
第二试（A）
一．（本题满分20分）设整数（）为三角形的三边长，满足，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.
解由已知等式可得
①
令，则，其中均为自然数.
于是，等式①变为，即
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