圆和三角函数及相似练习题.docx
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圆和三角函数及相似练习题
1、如图11，AB是⊙O的弦，D是半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于F，且CE=CB。
（1）求证：
BC⊙O是的切线；
（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径。
2、如图，AB是⊙0的直径，C是⊙0上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且∠BAC=∠DAC．
（1）猜想直线MN与⊙0的位置关系，并说明理由；
（2）若CD=6，cos=∠ACD=，求⊙0的半径．
3、已知：
如图，是的直径，是上一点，于点，过点作的切线，交的延长线于点，连结．
（1）求证：
与相切；
（2）连结并延长交于点，若，求的长．
4、如图，已知⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AB⊥CD，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F．
（1）求证：
CD∥BF；
（2）若⊙O的半径为5，cos∠BCD=，求线段AD的长．
5题图
A
C
B
D
E
F
O
P
5、如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．
（1）求证：
直线PA为⊙O的切线；
（2）试探究线段EF，OD，OP之间的等量关系，并加以证明；
（3）若BC＝6，tan∠F＝，求cos∠ACB的值和线段PE的长．
6、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．
（1）求证：
KE=GE；
（2）若=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；
（3）在
（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．
7、如图11，AB是⊙O的弦，D是半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于F，且CE=CB。
（1）求证：
BC⊙O是的切线；
（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径。
3、【解析】圆与直线的位置关系；相似和三角函数
【答案】
（1）证明：
连结OC
∵OD⊥BC
所以∠EOC=∠EOB
在△EOC和△EOB中
∴△EOC≌△EOB （SAS）
∴∠OBE=∠OCE=90°
∴BE与⊙O相切
（2）解：
过点D作DH⊥AB
∵△ODH∽△OBD
∴OD：
OB=OH：
OD=DH：
BD
又∵sin∠ABC=
∴OD=6
∴OH=4，OH=5，DH=2
又∵△ADH∽△AFB
∴AH：
AB=DH：
PB
13:
18=2:
FB
∴FB=
【点评】
（1）利用全等三角形求出角度为90°，即得到相切的结论。
（2）利用三角形相似和三角函数求出三角形各线段的长。
4分析】
（1）由BF是圆O的切线，AB是圆O的直径，根据切线的性质，可得到BF⊥AB，然后利用平行线的判定得出CD∥BF
（2）由AB是圆O的直径，得到∠ADB=90º，由圆周角定理得出∠BAD=∠BCD，再根据三角函数cos∠BAD=cos∠BCD==
即可求出AD的长
【解析】
（1）证明：
∵BF是圆O的切线，AB是圆O的直径
∴BF⊥AB
∵CD⊥AB
∴CD∥BF
（2）解：
∵AB是圆O的直径
∴∠ADB=90º
∵圆O的半径5
∴AB=10
∵∠BAD=∠BCD
∴ cos∠BAD=cos∠BCD==
∴=8
∴AD=8
【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理和解直角三角形，此题难度适中。
圆是一个特殊的几何体，它有很多独到的几何性质，知识点繁多而精粹。
圆也是综合题中的常客，不仅会联系三角形、四边形来考察，代数中的函数也是它的友好合作伙伴。
因此圆在中考中占有重要的地位，是必考点之一。
在近几年各地的中考中,圆的有关性质,如垂径定理、圆周角、切线的判定与性质等一般以计算或证明的形式考查，与圆有关的应用题、阅读理解题、探索存在性问题仍是中考命题的热点.
5【解析】
（1）要证PA是⊙O的切线，只要连接OB，再证∠PAO＝∠PBO＝90°即可．
（2）OD，OP分别是Rt△OAD，Rt△OPA的边，而这两个三角形相似且这两边不是对应边，所以可证得OA2＝OD·OP，再将EF＝2OA代入即可得出EF，OD，OP之间的等量关系．（3）利用tan∠F＝，得出AD，OD之间的关系，据此设未知数后，根据AD＝BD，OD＝BC＝3，AO＝OC＝OF＝FD－OF，将AB，AC也表达成含未知数的代数式，再在Rt△ABC中运用勾股定理构建方程求解．
【答案】解：
（1）证明：
如下图，连接OB，
∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO＝90°．
∵OA＝OB，BA⊥PO于D，∴AD＝BD，∠POA＝∠POB．
又∵PO＝PO，∴△PAO≌△PBO．
∴∠PAO＝∠PBO＝90°．∴直线PA为⊙O的切线．
A
C
B
D
E
F
O
P
（2）EF2＝4OD·OP．
证明：
∵∠PAO＝∠PDA＝90°，
∴∠OAD＋∠AOD＝90°，∠OPA＋∠AOP＝90°．
∴∠OAD＝∠OPA．∴△OAD∽△OPA．∴＝，即OA2＝OD·OP．
又∵EF＝2OA，∴EF2＝4OD·OP．
（3）∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，∴OD＝BC＝3．
设AD＝x，∵tan∠F＝，∴FD＝2x，OA＝OF＝2x－3．
在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x－3）2＝x2＋32．
解之得，x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去）．
AD＝4，OA＝2x－3＝5．
∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°．
而AC＝2OA＝10，BC＝6，
∴cos∠ACB＝＝．
∵OA2＝OD·OP，
∴3（PE＋5）＝25．
∴PE＝．
【点评】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，综合性很强，并富有探究性．要证某线是圆的切线，若已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可；若此线与圆的切点未知，可以过圆心作这条直线的垂线段（即为垂直），再证半径即可．另外，与圆有关的探究、计算问题，多与相似三角形和勾股定理有关，上来从这方面着手分析思考，有利于思路的快速打开．
6、解析：
利用切线的性质和等边对等角可以证明∠EGK=∠EKG，然后根据等角对等边，即可证明第
（1）小题；对于第
（2）小题，可以先由等积式得到比例式，然后得到三角形相似，根据角的关系可以判断两条直线的位置关系；对于第（3）小题，可以先利用方程的思想求出相关线段的长，然后利用三角函数求FG的长。
答案：
（1）如下图，连接OG，
∵EG是⊙O的切线∴OG⊥GE∴∠OGK+∠EGK＝90°∵CD⊥AB∴∠OAG+∠AKH＝90°∵OG=OA∴∠OGK=∠OAG∴∠EGK=∠AKH=∠EKG∴KE=GE；
（2）AC∥EF
理由如下：
∵=KD·GE，GE=KE∴
∴△KGD∽△KGE
∴∠KGD＝∠E
∠KGD＝∠C
∴∠E＝∠C
∴AC∥EF
（3）∵在
（2）的条件下，
∴AC∥EF
∴∠CAF＝∠F，∠E＝∠C
∵sinE=
∴sinC=,sinF=,tanE=tanC=
连接BG，过G作GN⊥AB于N，交⊙O于Q
则弧BQ=弧BG
∴∠BGN＝∠BAG
设AH=3k，则CH=4k
于是BH=，OG=
∵EG是切线，CD⊥AB
∴∠OGF＝90°
∴∠FOG+∠F=∠E+∠F
∴∠FOG=∠E
∴NG=OGsin∠FOG==
∴BN=OB-ON=OG-OGcos∠FOG=
∴BG=
Q
N
点评：
本题的第（3）小题是一道大型综合题，且运算量较大，属于较难题；但是，前两个小题比较基础，同学们应争取做对。
7、【解析】
（1）连接OB，证OB⊥BC，即证∠OBE+∠EBC=90°。
通过OA=OB，CE=CB，∠AED=∠BEC，可将∠OBE、∠EBC分别转化为∠A、∠AED，结合CD⊥OA可证∠OBE+∠EBC=90°；
（2）连接OF，由CD垂直平分OA得AF=OF=OA，再结合圆心角与圆周角关系易求∠ABF的度数；，∴
（3）作CG⊥BE于G，得∠A=∠ECG，CG是BE垂直平分线，由CD=15，BE=10，sinA=，可求EG、CE、CG、DE长度，通过△ADE∽△CGE可求AD，从而计算半径OA。
【答案】
（1）证明：
连接OB。
∵OA=OB，∴∠A=∠OBE。
∵CE=CB，∴∠CEB=∠EBC，∵∠AED=∠EBC，∴∠AED=∠EBC，又∵CD⊥OA∴∠A+∠AED=∠OBA+∠EBC=90°，∴BC⊙O是的切线；
（2）∵CD垂直平分OA，∴OF=AF，又OA=OF，∴OA=OF=AF，∴∠O=60°，∴∠ABF=30°；
（3）作CG⊥BE于G，则∠A=∠ECG。
∵CE=CB，BD=10，∴EG=BG=5，∵sinECG=sinA=，∴CE=13，CG=12.又CD=15，∴DE=2。
∵ADE∽△CGE，∴，即，∴AD=，∴OA=，即⊙O的半径是。
【点评】本题将多个知识点结合在一起，问题设计层层递进，梯度鲜明，是一道中档偏上的题，有一定区分度．我们必须学会由已知条件寻找相应的定理、性质的基本图形，以及在不能直接根据已知条件解决问题时，要学会运用转化的思想。
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