人教版初中数学第十四章整式的乘法与因式分解知识点.docx
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第十四章整式乘除与因式分解
14.1整式的乘法
14.1.1同底数幂的乘法
同底数幂的乘法法则：
（都是正整数）
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.注意底数可以是多项式或单项式.
例1．在横线上填入适当的代数式：
，.
【答案】，
【解析】
试题分析：
根据同底数幂的乘除法法则即可得到结果.
，
考点：
本题考查的是同底数幂的乘法，同底数幂的除法
点评：
解答本题的关键是熟练掌握同底数幂的除法法则：
同底数幂相除，底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
例2．计算：
；
【答案】
【解析】
试题分析：
根据同底数幂的乘法法则即可得到结果.
考点：
本题考查的是同底数幂的乘法
点评：
解答本题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
14.1.2幂的乘方
幂的乘方法则：
（都是正整数）
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
幂的乘方法则可以逆用：
即
例1．对于非零实数，下列式子运算正确的是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
试题分析：
根据幂的乘方法则，同底数幂的乘除法法则依次分析各项即可得到结果.
A．，B．，C．无法合并，故错误；
D．，本选项正确.
考点：
本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法
点评：
解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：
幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的除法法则：
同底数幂相除，底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
例2．计算：
．
【答案】
【解析】
试题分析：
先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可.
考点：
本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法
点评：
解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：
幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法法则：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
例3．计算：
；
【答案】
【解析】
试题分析：
根据幂的乘方法则，同底数幂的乘除法法则即可得到结果.
考点：
本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法
点评：
解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：
幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的除法法则：
同底数幂相除，底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
例4．计算：
；
【答案】
【解析】
试题分析：
先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可.
考点：
本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法
点评：
解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：
幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法法则：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
14.1.3积的乘方
积的乘方法则：
（是正整数）.积的乘方，等于各因数乘方的积.
例1．计算的结果是
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，求解即可
（a2b）3=（a2）3×b3=a6×b3=a6b3．
故选B
例2．计算（－2a）3的结果是【】
A.6a3B.－6a3C.8a3D.－8a3
【答案】D.
【解析】根据幂的乘方和积的乘方运算法则计算后作出判断：
.故选D.
例3．计算：
.
【答案】
【解析】
试题分析：
积的乘方法则：
积的乘方等于它的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
.
考点：
本题考查的是积的乘方
点评：
本题是基础应用题，只需学生熟练掌握积的乘方法则，即可完成.
例4．计算：
；
【答案】
【解析】
试题分析：
先计算，再计算幂的乘方即可.
考点：
本题考查的是幂的乘方
点评：
解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
14.1.4整式的乘法
1、单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
例1．单项式4x5y与2x2（-y）3z的积是（）
A．8x10y3zB．8x7（-y）4zC．-8x7y4zD．-8x10y3z
【答案】C
【解析】
试题分析：
直接根据单项式乘以单项式的法则计算即可得到结果.
由题意得，
故选C.
考点：
本题考查的是单项式乘单项式
点评：
解答本题的关键是熟练掌握单项式乘单项式法则：
单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式.
例2．·.
【答案】
【解析】
试题分析：
根据单项式乘单项式法则，同底数幂的乘法法则即可得到结果.
·.
考点：
本题考查的是单项式乘单项式，同底数幂的乘法
点评：
解答此题需熟知以下概念：
（1）单项式与单项式相乘，把他们的系数相乘，相同字母的幂相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式；
（2）同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．
例3．计算：
x2y3·xyz=_________；
【答案】x3y4z
【解析】
试题分析：
根据单项式乘单项式法则直接计算即可.
x2y3·xyz=×·x2·x·y3·y·z=x3y4z.
考点：
本题考查的是单项式乘单项式
点评：
解答本题的关键是熟练掌握单项式乘单项式法则：
单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式.
例4．计算：
2ab2·a3=________；
【答案】a4b2
【解析】
试题分析：
根据单项式乘单项式法则直接计算即可.
2ab2·a3=2×·a·a3·b2=a4b2.
考点：
本题考查的是单项式乘单项式
点评：
解答本题的关键是熟练掌握单项式乘单项式法则：
单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式.
例5．.
【答案】
【解析】
试题分析：
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.
.
考点：
本题考查的是单项式乘单项式
点评：
本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握单项式乘单项式法则，即可完成.
2、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，
即（都是单项式）.
例1．计算：
；
【答案】
【解析】
试题分析：
先根据单项式乘多项式法则去括号，再合并同类项即可.
考点：
本题考查的是单项式乘多项式，合并同类项
点评：
解答本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式法则：
用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
例2．计算：
；
【答案】
【解析】
试题分析：
根据单项式乘多项式法则化简即可.
考点：
本题考查的是单项式乘多项式
点评：
解答本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式法则：
用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
例3．计算：
；
【答案】
【解析】
试题分析：
根据单项式乘多项式法则化简即可.
考点：
本题考查的是单项式乘多项式
点评：
解答本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式法则：
用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
例4．计算：
.
【答案】
【解析】
试题分析：
根据单项式乘多项式的法则即可得到结果.
.
考点：
本题考查的是单项式乘多项式
点评：
解答本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式：
用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
例5．计算：
.
【答案】
【解析】
试题分析：
先根据单项式乘多项式法则去括号，再合并同类项即可.
考点：
本题考查的是单项式乘多项式，合并同类项
点评：
解答本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式法则：
用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
3、多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加.
例1．计算：
（a+2b）（a-b）=_________；
【答案】a2+ab-2b2
【解析】
试题分析：
根据多项式乘以多项式的法则：
（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn，计算即可．
（a+2b）（a-b）=a2-ab+2ab-2b2=a2+ab-2b2．
考点：
本题考查的是多项式乘以多项式
点评：
解答本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．
例2．计算：
（3x-y）（x+2y）=________．
【答案】3x2+5xy-2y
【解析】
试题分析：
根据多项式乘以多项式的法则：
（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn，计算即可．
（3x-y）（x+2y）=3x2+6xy-xy-2y=3x2+5xy-2y．
考点：
本题考查的是多项式乘以多项式
点评：
解答本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．
例3．计算：
（x+1）（x2-x+1）=_________．
【答案】
【解析】
试题分析：
根据多项式乘多项式法则化简即可.
（x+1）（x2-x+1）=．
考点：
本题考查的是多项式乘多项式
点评：
解答本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则：
先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
4、同底数幂的除法法则：
（都是正整数，且
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
例1．计算：
=，=.
【答案】，
【解析】
试题分析：
根据同底数幂的除法法则即可得到结果.
，
考点：
本题考查的是同底数幂的除法
点评：
解答本题的关键是熟练掌握同底数幂的除法法则：
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
例2．计算：
m3÷m2＝.
【答案】m
【解析】根据同底数幂的除法法则进行解答即可：
原式=
5、零指数：
，即任何不等于零的数的零次方等于1.
例1．=
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
【答案】D.
【解析】零指数幂.根据任何非0数的0次幂等于1解答即可：
.故选D.
例2．计算：
|﹣2|+（﹣3）0﹣= ．
【答案】1
【解析】此题考查绝对值的运算、幂的运算性质和二次根式的化简，即；
解：
原式；
例3．计算：
（-0.5）0÷（-）-3．
【答案】-
【解析】
试题分析：
根据零指数幂的运算法则，负整数指数幂的运算法则，即可得到结果.
原式
考点：
本题考查了零指数幂，负整数指数幂
点评：
解答本题的关键是熟练掌握任意非0数的0次幂均为0，负整数指数幂的运算法则：
（a≠0，p是正整数）．
6、单项式的除法法则：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
注意：
首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
7、多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加.即：
14.2乘法公式
14.2.1平方差公式
平方差公式：
注意平方差公式展开只有两项
公式特征：
左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数.右边是相同项的平方减去相反项的平方.
例1．下列能用平方差公式计算的是（）
A、B、
C、D、
【答案】B
【解析】A、应为（-x+y）（x-y）=-（x-y）（x-y）=-（x-y）2，故本选项错误；
B、（x-1）（-1-x）=-（x-1）（x+1）=-（x2-1），正确；
C、应为（2x+y）（2y-x）=-（2x+y）（x-2y），故本选项错误；
D、应为（x-2）（x+1）=x2-x-2，故本选项错误．
故选B．
例2．计算的结果是（）
A、B、C、D、
【答案】C
【解析】平方差公式的应用，原式=，故选C
例3．若a＋b=2011，a－b=1，则a2－b2=_________________.
【答案】2011
【解析】
考点：
平方差公式．
分析：
先根据平方差公式分解因式，再整体代入即可．
解：
∵a+b=2011，a-b=1，
∴a2-b2=（a+b）（a-b）=2011×1=2011．
故答案为：
2011．
例4．（a＋3）（3－a）＝__________．
【答案】9－a2
【解析】根据平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2填空．
解：
∵（a+3）（3-a）=（3+a）（3-a）=32-a2=9-a2．
故答案是：
9-a2．
14.2.2完全平方公式
完全平方公式：
完全平方公式的口诀：
首平方，尾平方，首尾2倍中间放，符号和前一个样.
公式的变形使用：
（1）；
；
（2）三项式的完全平方公式：
例1．若，则的值是（）
A.25 B.19 C.31 D.37
【答案】D
【解析】解：
，故选D.
例2．计算：
.
【答案】
【解析】
试题分析：
化，再根据完全平方公式计算即可.
考点：
题考查的是完全平方公式
点评：
解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：
例3．计算：
（1）199.92=_______；
（2）512=________；（3）1-2×51+512=_______．
【答案】
（1）39960.01；
（2）2601；（3）2500
【解析】
试题分析：
根据完全平方公式依次分析各小题即可.
（1）199.92=（200-0.1）2=2002-2×200×0.1+0.12=40000-40+0.01=39960.01；
（2）512=（50+1）2=502+2×50×1+12=2500+100+1=2601；
（3）1-2×51+512=（1-51）2=（-50）2=2500．
考点：
本题考查的是完全平方公式
点评：
解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：
（a±b）2=a2±2ab+b2．
14.3因式分解
14.3.1提公因式法
1、会找多项式中的公因式；公因式的构成一般情况下有三部分：
①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；
2、提公因式法的步骤：
第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．
3、注意点：
①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．
14.3.2公式法
运用公式法分解因式的实质是：
把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：
1、平方差公式：
a2－b2＝（a＋b）（a－b）
2、完全平方公式：
a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2
例1．已知，则＝ ．
【答案】
【解析】由题意得（a-b）2=6，则＝
例2．因式分解：
．
【答案】
【解析】
试题分析：
根据完全平方公式即可得到结果.
．
考点：
本题考查的是完全平方公式
点评：
解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：
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