中考数学专题复习：三角形.doc
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中考复习：
三角形
【知识梳理】
1、三角形三边的关系；三角形的分类
2、三角形内角和及外角和定理及推论；
3、三角形的高，中线，角平分线
4、三角形中位线的定义及性质
【思想方法】
方程思想，分类讨论等
一、三角形的基本性质
1、三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程x2-6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（ ）
A.11B.13C.11或13D.11和13
2、下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．5，6，10B．5，6，11C．3，4，8D．4a，4a，8a（a＞0）
3、如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（ ）
A.25°B.30° C.35° D.40°
A
C
B
4、所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（）
A．AB中点 B．BC中点
C．AC中点 D．∠C的平分线与AB的交点
二、三角形有关的线段
（一）角平分线
1．（2016•枣庄）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（ ）
A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
2、（2014威海）（3分）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（ ）
A．
∠BAC=70°
B．
∠DOC=90°
C．
∠BDC=35°
D．
∠DAC=55°
3、（2013淄博）4分）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（ ）
4、如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M、N两点，则以下结论：
（1）PM＝PN恒成立，
（2）OM＋ON的值不变，（3）四边形PMON的面积不变，（4）MN的长不变，其中正确的个数为
A．4 B．3 C．2 D．1
5、如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP=__________．
6、在△ABC中，AD平分∠BAC．BD⊥AD，垂足为D，过D作DE//AC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长．【版权所有：
21教育】
（二）中线
1、如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC=12，则S1-S2的值为______．
2、如上图，△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（ ）
A．
B．
1
C．
D．
7
3、如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，则EF的长为（ ）。
4、图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．
（1）求证：
AE=AF；
（2）求证：
BE=（AB+AC）．
（三）高线
如图，已知钝角三角形ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.
步骤1：
以点C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2：
以点B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：
连接AD，交BC的延长线于点H.下列叙述正确的是：
A. BH垂直平分线段AD B. AC平分∠BADC. S△ABC=BC·AH D. AB=AD
三、全等三角形
【知识梳理】
1、定义：
能够完全重合的两个三角形全等．
2、性质：
两个全等的三角形的对应边和对应角分别相等
3、判定方法：
边角边（SAS）角边角（ASA）推论角角边（AAS）边边边（SSS）“HL”
例1.如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，
那么添加一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）
A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC
例2．如图，在Rt△ABC中，，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△绕点顺时针旋转90后，得到△，连接，下列结论：
①△≌△；②△∽△；
③；④
其中正确的是（）A．②④；B．①④； C．②③； D．①③．
3．如图，△中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是（）
A.1对B.2对C.3对D.4对
例4．如图，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为 ．（答案不唯一，只需填一个）
针对性练习
1、在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC（或它们的延长线）于点M，N，设∠AEM=α（0°＜α＜90°），给出下列四个结论：
AM=CN；②∠AME=∠BNE；③BN﹣AM=2；④S△EMN=上述结论中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2、（2016贺州）如图，在△ABC中，分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点O，则∠AOB的度数为 ．
3、如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF，CF，连接BE并延长交CF于点G.下列结论：
①△ABE≌△ACF；②BC=DF；③S△ABC=S△ACF+S△DCF；④若BD=2DC，则GF=2EG.其中正确的结论是 .（填写所有正确结论的序号）
4、如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边上，连接BD．
（1）试判断△ACE与△BCD是否全等（不要求证明）；
（2）求∠ADB的度数；
（3）求证：
AE2+AD2=2AC2．
4、如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（ ）
A． B． C． D．
四、等腰（等边）三角形
1、已知ΔABC中，AB=6，AC=8，BC=11，任作一条直线将ΔABC分成两个三角形，若其中一个是等腰三角形，则这样的直线最多有（）条。
2、（2013烟台）17．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为______度．
3、等腰三角形的三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x²-6x+n-1=0的两根，则n的值为（）
4．如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（ ）
A．BC B．CE C．AD D．AC
5、（2017•东营）如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=8，AB=5，则AE的长为（ ）
A、5B、6C、8D、12
6、如图，△ABC为等边三角形，AB=2．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值 为_______
7、如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：
①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，
其中结论正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
五、相似图形
【基础知识回顾】
一、成比例线段：
1、线段的比：
如果选用两条线段ＡＢ，ＣＤ的长度分别为m、n则这两条线段的比就是它们的比，即：
=
2、比例线段：
四条线段a、b、c、d如果=那么四条线段叫做同比例线段，简称
3、比例的基本性质：
=<＝>
4、平行线分线段成比例定理：
将平行线截两条直线
【提醒：
表示两条线段的比时，必须使示用相同的，在用了相同的前提下，两条线段的比值与用的单位无关即比值没有单位。
】
二、相似三角形：
1、定义：
如果两个三角形的各角对应各边对应那么这两个三角形相似
2、性质：
⑴相似三角形的对应角对应边
⑵相似三角形对应点的比、对应角平分线的比、对应的比都等于
⑶相似三角形周长的比等于面积的比等于
1、判定：
⑴基本定理：
平行于三角形一边的直线和其它两边或两线相交，三角形与原三角形相似
⑵两边对应且夹角的两三角形相似
⑶两角的两三角形相似
⑷三组对应边的比的两三角形相似
【提醒：
1、全等是相似比为的特殊相似
2、根据相似三角形的性质的特质和判定，要证四条线段的比相等，一般要先证判定方法中最常用的是三组对应边成比例的两三角形相似多用在点三角形中】
三、相似多边形：
1、定义：
各角对应各边对应的两个多边形叫做相似多边形
2、性质：
⑴相似多边形对应角对应边
⑵相似多边形周长的比等于面积的比等于
【提醒：
相似多边形没有专门的判定方法，判定两多边形相似多用在矩形中，一般用定义进行判定】
一、位似：
1、定义：
如果两个图形不仅是而且每组对应点所在直线都经过那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做这时相似比又称为
2、性质：
位似图形上任意一点到位似中心的距离之比都等于
【提醒：
1、位似图形一定是图形，但反之不成立，利用位似变换可以将一个图形放大或
2、在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比位r，那么位似图形对应点的坐标的比等于或】
【典型例题解析】
考点一：
比例线段
例1 如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是，cosA的值是．（结果保留根号）
对应训练
2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（ ）
A．B．C．D．
考点二：
相似三角形的性质及其应用
例2已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则ABC与△DEF的面积之比为9：
1
．
对应训练
2．已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3：
4，△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周长为8
．
考点三：
相似三角形的判定方法及其应用
例3如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC=BC．图中相似三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
例4
（1）如图
（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD：
GC：
EB的结果（不必写计算过程）；
（2）将图
（1）中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图
（2），求HD：
GC：
EB；
对应训练
3.如图，△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，BC、DE交于点O．则下列四个结论中，①∠1=∠2；②BC=DE；③△ABD∽△ACE；④A、O、C、E四点在同一个圆上，一定成立的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．
（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；
（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．
考点四：
位似
例5如图，正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC=3，若点A′的坐标为（1，2），则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是（ ）
A．B．C．D．
对应训练
5．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：
，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为（ ）
A．（，0）B．（C．D．
【聚焦中考】
1．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（ ）
A． B． C． D．2
2．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是（ ）
A．（-2，3） B．（2，-3） C．（3，-2）或（-2，3） D．（-2，3）或（2，-3）
3.在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F，若EC=2BE，则的值是（ ）
A．B．C．D．
4.为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：
①BC，∠ACB； ②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组F
5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4）．已知△A1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），若△ABC与△A1B1C1位似，则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为（3，4）或（0，4）
．
6．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
（1）试证明三角形△ABC为直角三角形；
（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似（要求：
用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明）．
【备考真题过关】
一、选择题
1．已知，则的值是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为（ ）
A．2B．3C．D．
3．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，则四边形EFGH的周长是（ ）
A．B．C．D．
4．小张用手机拍摄得到甲图，经放大后得到乙图，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是（ ）
A．FG B．FH C．EH D．EF
5.如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：
1，则下列结论正确的是（ ）
A．∠E=2∠K
B．BC=2HI
C．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长
D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL
6.下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）
A． B． C． D．
7.如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABD=∠CB．∠ADB=∠ABCC．D．
8．如图，在△ABC中，EF∥BC，，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（ ）
A．9 B．10 C．12 D．13
9.如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
10．图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A．点M B．点N C．点O D．点P
11．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O．若点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（ ）
A．（2，4） B．（-1，-2） C．（-2，-4） D．（-2，-1）
二、填空题
14.正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM=cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为cm2．
15.如图，O为矩形ABCD的中心，M为BC边上一点，N为DC边上一点，ON⊥OM，若AB=6，AD=4，设OM=x，ON=y，则y与x的函数关系式为。
16.如图，E是▱ABCD的边CD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，且AD=4，，则CF的长为2
．
17.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是2
．
18．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14cm，则楼高CD为12
m．
19.如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方内的B点，已知网高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，则林丹起跳后击球点N离地面的距离NM=3.42
米．
20.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB=5.5
m．
21. 如图，△ABC与△A1B1C1为位似图形，点O是它们的位似中心，位似比是1：
2，已知△ABC的面积为3，那么△A1B1C1的面积是12
．
三、解答题
22．己知：
如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD交于点G．
（1）求证：
BE=DF；
（2）当时，求证：
四边形BEFG是平行四边形．
23．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且DM=AC，过点M作ME∥BC交AB于点E．
求证：
△ABC∽△MED．
24．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O．
（1）求证：
△COM∽△CBA；
（2）求线段OM的长度．
25.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒．运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，∠AMN=∠ANM？
（2）当t为何值时，△AMN的面积最大？
并求出这个最大值．
六、直角三角形
基础知识回顾
一、直角三角形的性质
1、直角三角形的两个锐角互余
2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
4、勾股定理
直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即
5、射影定理
在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，
每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项
∠ACB=90°
CD⊥AB
6、常用关系式
由三角形面积公式可得：
ABCD=ACBC
二、直角三角形的判定
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c有关系，
那么这个三角形是直角三角形。
三、锐角三角函数的概念1、如图，在△ABC中，∠C=90°
①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，
即
②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA即
③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即
2、锐角三角函数的概念：
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数
3、一些特殊角的三角函数值
4、各锐角三角函数之间的关系
（1）互余关系sinA=cos（90°—A
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