（3）已知三角形两边的长，可以确定第三边的取值范围：
设三角形的两边的长为a、b，则第三边的长c的取值范围是 ．
（4）证明线段之间的不等关系．
例3：
有一个三角形的两边长分别为2和11，第三边为整数，则符合条件的三角形有（）
A.2个B.3个C.4个D.5个
知识点三：
三角形的高、中线、角平分线
（一）三角形的高
从三角形的一个顶点向它的 所在直线作垂线， 和 之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
三角形的高的数学语言：
如图2，AD是△ABC的高，或AD是△ABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°．
注意：
AD是△ABC的高∠ADB＝∠ADC＝ °（或AD⊥BC于D）；
例4：
分别作出下列三角形的三条高
要点诠释：
（1）三角形的高是 ；
（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的_______．
（3）三角形的三条高：
①锐角三角形的三条高在三角形 部，三条高的交点也在三角形 部；
②钝角三角形有两条高在三角形的 部，且三条高的交点在三角形的
部；
③直角三角形三条高的交点是直角三角形的 ．
（二）三角形的中线
三角形的一个顶点与它的对边 的连线叫三角形的中线．
三角形的中线的数学语言：
如图3，AD是△ABC的中线或AD是△ABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC．
即AD是△ABC的中线BD＝______＝______．
要点诠释：
（1）三角形的中线是 ；
（2）三角形三条中线全在三角形 部；
（3）三角形三条中线交于三角形 部一点，这一点叫三角形的 ．
（4）中线把三角形分成面积 的两个三角形．
例5：
等腰三角形一腰上的中线将此三角形的周长分成15cm和12cm两部分，试求此三角形的腰长。
【变式】已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长差是（）
A.2B.3C.6D.不能确定
（三）三角形的角平分线
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线．
三角形的角平分线的数学语言：
如图4，AD是△ABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上．
即AD是△ABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝______（或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC）
要点诠释：
（1）三角形的角平分线是 ；
（2）三角形三条角平分线交于三角形 部一点，这一点叫做三角形的 ．
（3）可以用 或 画三角形的角平分线．
例6：
在△ABC中，
（）
【变式】如图，已知
知识点四：
三角形的稳定性
如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的 ．
要点诠释：
（1）三角形的形状固定是指三角形的三个 角不会改变，大小固定指三条
不改变．
（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条（或两条）木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．
（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．
经典例题-自主学习
认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三．若有其它补充可填在右栏空白处．
类型一：
三角形的概念
例1．图5中以BC为边的三角形有几个？
用符号表示这些三角形．
举一反三：
【变式1】在图5中，以A为顶点的三角形有几个？
用符号表示这些三角形．
【变式2】在图5中，具有公共边AB的三角形有几个？
用符号表示这些三角形．
类型二：
三角形三边关系
例2．下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（）
A．3cm，12cm，8cm B．6cm，8cm，15cm
C．2.5cm，3cm，5cm D．6.3cm，6.3cm，12.6cm
举一反三：
【变式1】已知三条线段的比是：
①1：
3：
4；②1：
2：
3；③1：
4：
6；④3：
3：
6；⑤6：
6：
10；⑥3：
4：
5．其中可构成三角形的有（）毛
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】若五条线段的长分别是1cm、2cm、3cm、4cm、5cm，则以其中三条线段为边可构成 个三角形.
【变式3】已知三角形的两边长分别4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）
A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm
【变式4】已知a、b、c是△ABC的三边，化简|a+b-c|+|b-a-c|-|c+b-a|．
思路点拨：
运用三角形三边的关系确定绝对值内式子的符号，然后根据绝对值的法则去绝对值．
☆【变式5】用7根火柴棒首尾顺次连结摆成一个三角形，能摆成不同的三角形的个数 ．
思路点拨：
解题的关键是确定出最大边的范围．
例3．若三角形的两边长分别是2和7，则第三边长c的取值范围是 ．
思路点拨：
三角形的两边a、b，那么第三边c的取值范围是 ．
解析：
三角形的两边长分别是2和7，则第三边长c的取值范围是
，即 ．
举一反三：
【变式1】如果三角形的两边长分别为2和6，则周长L的取值范围是（）
A．6【变式2】已知等腰三角形的两边长分别为4cm和7cm，且它的周长大于16cm，则第三边长为 ．
☆例4．已知等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分为9cm和15cm两部分，求这个三角形的腰长和底边的长．
思路点拨：
本题分 种情况讨论，但讨论的结果不一定有两个正确答案，要加以合理取舍．
举一反三：
【变式】小芳要画一个有两边长分别为5cm和6cm的等腰三角形，则这个等腰三角形的周长是（）
A．16cm B．17cm C．16cm或17cm D．11cm
类型三：
三角形的高、中线、角平分线
例5．如图6，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC上的高，且CD、BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（）
A．150° B．130° C．120° D．100°
举一反三：
【变式1】如图7所示，在△ABC中，∠C-∠B=90°，AE是∠BAC的平分线，求∠AEC的度数．
【变式2】在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线，则∠DAE的度数为 ．
【变式3】如图8所示，已知AD，AE分别是△ABC的中线、高，且AB＝5cm，AC＝3cm，则△ABD与△ACD的周长之差为多少，将△ABD与△ACD的面积关系表达出来．
二、总结与测评
要想学习成绩好，总结测评少不了！
课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力．
总结规律和方法---强化所学
认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧．
一、选择题
1.△ABC中，AB=AC=4，BC=a,则a的取值范围是（）
A.a＞0B.0＜a＜4C.4＜a＜8D.0＜a＜8
2.△ABC中，CA=CB，D为BA中点，P为直线CD上的任一点，那么PA与PB的大小关系是（）
A.PA＞PBB.PA＜PBC.PA=PBD.不能确定
3.△ABC中，AB=7，AC=5，则中线AD之长的范围是（）
A.5＜AD＜7B.1＜AD＜6C.2＜AD＜12D.2＜AD＜5
4.△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上中线AP=12，则AB，AC关系为（）
A.AB＞ACB.AB=ACC.AB＜ACD.无法确定
5.三条线段a,b,c长度均为整数且a=3,b=5.则以a,b,c为边的三角形共有（）
A.4个B.5个C.6个D.7个
6.△ABC中，∠A=40°,高BD和CE交于O，则∠COD为（）
A.40°或140°B.50°或130°C.40°D.50
7.在△ABC中，已知∠A＋∠C＝2∠B，∠C－∠A＝80°，则∠C的度数是（）
A.60°B.80°b.100°D.120°C.∠ADC＜∠AEB D.不能确定
二、填空题:
1.△ABC中，∠A-∠B=10°,2∠C-3∠B=25°,则∠A=.
2.等腰三角形周长为21cm,一中线将周长分成的两部分差为3cm,则这个三角形三边长为________.
3.点A、B关于直线l对称，点C、D也关于l对称，AC、BD交于O，则O点在上.
4.△ABC周长为36，AB=AC,AD⊥BC于D，△ABD周长为30cm,则AD=.
5.等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角为45°,则顶角为.
6.三角形三边的长为15、20、25，则三条高的比为.
7.若三角形三边长为3、2a-1、8，则a的取值范围是.
8.如果等腰三角形两外角比为1∶4则顶角为.
9.等腰三角形两边比为1∶2,周长为50，则腰长为.
10.等腰三角形底边长为20，腰上的高为16.则腰长为.
三解答题
1.△ABC中AB=AC，D在AC上，且AD=BD=BC.求△ABC的三内角度数.
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