最新版中考北师大九年级数学相似三角形的性质.doc

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29016最新版中考北师大九年级数学相似三角形的性质

一．选择题（共10小题）

1．（2016•崇明县一模）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED=∠B，那么下列各式中一定正确的是（　　）

A．AE•AC=AD•AB B．CE•CA=BD•AB C．AC•AD=AE•AB D．AE•EC=AD•DB

2．（2015•济南）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM=2，则线段ON的长为（　　）

A． B． C．1 D．

3．（2015•株洲）如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的长是（　　）

A． B． C． D．

4．（2015•青海）在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则等于（　　）

A． B． C． D．

5．（2015•恩施州）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：

EA=3：

4，EF=3，则CD的长为（　　）

A．4 B．7 C．3 D．12

6．（2015•哈尔滨）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（　　）

A．= B．= C．= D．=

7．（2015•毕节市）在△ABC中，DE∥BC，AE：

EC=2：

3，DE=4，则BC等于（　　）

A．10 B．8 C．9 D．6

8．（2015•宁波）如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1；还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去…，经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC的距离记为h2015，到BC的距离记为h2015．若h1=1，则h2015的值为（　　）

A． B． C．1﹣ D．2﹣

9．（2015•绵阳）如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：

DB=1：

2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：

CF=（　　）

A． B． C． D．

10．（2015•黄冈中学自主招生）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：

DE：

EC=3：

2：

1，M在AC边上，CM：

MA=1：

2，BM交AD，AE于H，G，则BH：

HG：

GM等于（　　）

A．3：

2：

1 B．5：

3：

1 C．25：

12：

5 D．51：

24：

二．填空题（共13小题）

11．（2016•浦东新区一模）如图，在△ABC中，AC=6，BC=9，D是△ABC的边BC上的点，且∠CAD=∠B，那么CD的长是　　　　　　．

12．（2016•黄浦区一模）如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、AB上的点，且AD=2，DC=4，AE=3，EB=1，则DE：

BC=　　　　　　．

13．（2016•静安区一模）如图，已知D、E分别是△ABC的边AB和AC上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，如果AE=1，CE=2，那么EF：

BF等于　　　　　　．

14．（2016•闵行区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点F在边AC的延长线上，且FD⊥AB，垂足为点D，如果AD=6，AB=10，ED=2，那么FD=　　　　　　．

15．（2016•徐汇区一模）如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=4，∠BAD的平分线AE分别交BD、CD于F、E，那么=　　　　　　．

16．（2016•徐汇区一模）点D在△ABC的边AB上，AC=3，AB=4，∠ACD=∠B，那么AD的长是　　　　　　．

17．（2016•虹口区一模）如图，在▱ABCD中，E是边BC上的点，分别连结AE、BD相交于点O，若AD=5，=，则EC=　　　　　　．

18．（2015•泰州）如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C，AB=6，BD=4，则CD的长为　　　　　　．

19．（2015•天津）如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D、E．若AD=3，DB=2，BC=6，则DE的长为　　　　　　．

20．（2015•金华）如图，直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F．若BC=2，则EF的长是　　　　　　．

21．（2015•常州）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：

DB=1：

2，DE=2，则BC的长是　　　　　　．

22．（2015•柳州）如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为　　　　　　．

23．设M、N分别是△ABC两边AB、AC的中点，P是MN上任意一点，延长BP交AC于点Q，延长CP交AB于R，则=　　　　　　．

三．解答题（共6小题）

24．（2015•南京）如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．

（1）求证：

△ACD∽△CBD；

（2）求∠ACB的大小．

25．（2015•岳阳）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．

（1）求证：

△ABM∽△EFA；

（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．

26．（2015•泰安）如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．

（1）求证：

AC•CD=CP•BP；

（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．

27．（2015•茂名）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜），连接MN．

（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值；

（2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．

28．（2015•湘潭）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．

（1）求证：

△BDE∽△BAC；

（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．

29．（2015•绥化）如图1，在正方形ABCD中，延长BC至M，使BM=DN，连接MN交BD延长线于点E．

（1）求证：

BD+2DE=BM．

（2）如图2，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G．若AF：

FD=1：

2，且CM=2，则线段DG=　　　　　　．

29016最新版中考北师大九年级数学相似三角形的性质

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．（2016•崇明县一模）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED=∠B，那么下列各式中一定正确的是（　　）

A．AE•AC=AD•AB B．CE•CA=BD•AB C．AC•AD=AE•AB D．AE•EC=AD•DB

【专题】证明题．

【分析】在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED=∠B，而∠A公共，由此可以得到△ABC∽△AED，然后利用相似三角形的性质即可求解．

【解答】解：

∵在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED=∠B，

而∠A公共，

∴△ABC∽△AED，

∴AB：

AE=AC：

AD，

∴AB•AD=AC•AE．

故选A．

【点评】此题主要考查了相似三角形的下着雨判定，解题的关键是证明两个三角形相似即可解决问题．

2．（2015•济南）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM=2，则线段ON的长为（　　）

A． B． C．1 D．

【专题】计算题．

【分析】作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH=45°，则△AMH为等腰直角三角形，所以AH=MH=AM=，再根据角平分线性质得BM=MH=，则AB=2+，于是利用正方形的性质得到AC=AB=2+2

OC=AC=+1，所以CH=AC﹣AH=2+，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可计算出ON的长．

【解答】解：

作MH⊥AC于H，如图，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠MAH=45°，

∴△AMH为等腰直角三角形，

∴AH=MH=AM=×2=，

∵CM平分∠ACB，

∴BM=MH=，

∴AB=2+，

∴AC=AB=（2+）=2+2，

∴OC=AC=+1，CH=AC﹣AH=2+2﹣=2+，

∵BD⊥AC，

∴ON∥MH，

∴△CON∽△CHM，

∴=，即=，

∴ON=1．

故选C．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：

在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和正方形的性质．

3．（2015•株洲）如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的长是（　　）

A． B． C． D．

【分析】易证△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得=，=，从而可得+=+=1．然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF的值．

【解答】解：

∵AB、CD、EF都与BD垂直，

∴AB∥CD∥EF，

∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，

∴=，=，

∴+=+==1．

∵AB=1，CD=3，

∴+=1，

∴EF=．

故选C．

【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，发现+=1是解决本题的关键．

4．（2015•青海）在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则等于（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据题意得出△DEF∽△BCF，那么=；由AE：

ED=2：

1可设ED=k，得到AE=2k，BC=3k；得到=，即可解决问题．

【解答】解：

如图，∵四边形ABCD为平行四边形，

∴ED∥BC，BC=AD，

∴△DEF∽△BCF，

∴=，

设ED=k，则AE=2k，BC=3k；

∴==，

故选A．

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等几何知识点及其应用问题；得出△DEF∽△BCF是解题的关键．

5．（2015•恩施州）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：

EA=3：

4，EF=3，则CD的长为（　　）

A．4 B．7 C．3 D．12

【分析】由EF∥AB，根据平行线分线段成比例定理，即可求得，则可求得AB的长，又由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边相等，即可求得CD的长．

【解答】解：

∵DE：

EA=3：

4，

∴DE：

DA=3：

∵EF∥AB，

∴，

∵EF=3，

∴，

解得：

AB=7，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD=AB=7．

故选B．

【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理与平行四边形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．

A．= B．= C．= D．=

【分析】根据相似三角形的判定和性质进行判断即可．

【解答】解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BF，BE∥DC，AD=BC，

∴，，，

故选C．

【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定和性质来分析判断．

7．（2015•毕节市）在△ABC中，DE∥BC，AE：

EC=2：

3，DE=4，则BC等于（　　）

A．10 B．8 C．9 D．6

【分析】根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BC的长．

【解答】解：

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴，

∴BC=10．

故选A．

【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用，注意数形结合思想的应用．

A． B． C．1﹣ D．2﹣

【专题】规律型．

【分析】根据中点的性质及折叠的性质可得DA=DA'=DB，从而可得∠ADA'=2∠B，结合折叠的性质，∠ADA'=2∠ADE，可得∠ADE=∠B，继而判断DE∥BC，得出DE是△ABC的中位线，证得AA1⊥BC，得到AA1=2，求出h1=2﹣1=1，同理h2=2﹣，h3=2﹣=2﹣，于是经过第n次操作后得到的折痕Dn﹣1En﹣1到BC的距离hn=2﹣，求得结果h2015=2﹣．

【解答】解：

连接AA1，

由折叠的性质可得：

AA1⊥DE，DA=DA1，

又∵D是AB中点，

∴DA=DB，

∴DB=DA1，

∴∠BA1D=∠B，

∴∠ADA1=2∠B，

又∵∠ADA1=2∠ADE，

∴∠ADE=∠B，

∴DE∥BC，

∴AA1⊥BC，

∴AA1=2，

∴h1=2﹣1=1，

同理，h2=2﹣，h3=2﹣=2﹣，

…

∴经过第n次操作后得到的折痕Dn﹣1En﹣1到BC的距离hn=2﹣，

∴h2015=2﹣，

故选D．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，平行线等分线段定理，找出规律是解题的关键．

9．（2015•绵阳）如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：

DB=1：

2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：

CF=（　　）

A． B． C． D．

【专题】压轴题．

【分析】借助翻折变换的性质得到DE=CE；设AB=3k，CE=x，则AE=3k﹣x；根据相似三角形的判定与性质即可解决问题．

【解答】解：

设AD=k，则DB=2k，

∵△ABC为等边三角形，

∴AB=AC=3k，∠A=∠B=∠C=∠EDF=60°，

∴∠EDA+∠FDB=120°，

又∵∠EDA+∠AED=120°，

∴∠FDB=∠AED，

∴△AED∽△BDF，

∴，

设CE=x，则ED=x，AE=3k﹣x，

设CF=y，则DF=y，FB=3k﹣y，

∴，

∴=，

∴CE：

CF=4：

5．

故选：

B．

解法二：

解：

设AD=k，则DB=2k，

∵△ABC为等边三角形，

∴AB=AC=3k，∠A=∠B=∠C=∠EDF=60°，

∴∠EDA+∠FDB=120°，

又∵∠EDA+∠AED=120°，

∴∠FDB=∠AED，

∴△AED∽△BDF，由折叠，得

CE=DE，CF=DF

∴△AED的周长为4k，△BDF的周长为5k，

∴△AED与△BDF的相似比为4：

∴CE：

CF=DE：

DF=4：

5．

故选：

B．

【点评】主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是借助相似三角形的判定与性质（用含有k的代数式表示）；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．

10．（2015•黄冈中学自主招生）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：

DE：

EC=3：

2：

1，M在AC边上，CM：

MA=1：

2，BM交AD，AE于H，G，则BH：

HG：

GM等于（　　）

A．3：

2：

1 B．5：

3：

1 C．25：

12：

5 D．51：

24：

【专题】计算题．

【分析】连接EM，根据已知可得△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA，根据相似比从而不难得到答案．

【解答】解：

连接EM，

CE：

CD=CM：

CA=1：

∴EM平行于AD

∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA

∴HD：

ME=BD：

BE=3：

5，ME：

AD=CM：

AC=1：

∴AH=（3﹣）ME，

∴AH：

ME=12：

∴HG：

GM=AH：

EM=12：

设GM=5k，GH=12k，

∵BH：

HM=3：

2=BH：

17k

∴BH=K，

∴BH：

HG：

GM=k：

12k：

5k=51：

24：

故选D．

【点评】此题主要考查相似三角形的性质的理解及运用．

二．填空题（共13小题）

11．（2016•浦东新区一模）如图，在△ABC中，AC=6，BC=9，D是△ABC的边BC上的点，且∠CAD=∠B，那么CD的长是　4　．

【分析】由∠C=∠C，∠CAD=∠B，根据有两角对应相等的三角形相似，可得△ACD∽△BCA，又由相似三角形的对应边成比例，易求得CD的长．

【解答】解：

∵∠C=∠C，∠CAD=∠B，

∴△ACD∽△BCA，

∴=，

即=，

∴CD的长是4．

故答案为：

4．

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意有两角对应相等的三角形相似，相似三角形的对应边成比例．

12．（2016•黄浦区一模）如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、AB上的点，且AD=2，DC=4，AE=3，EB=1，则DE：

BC=　　．

【分析】根据已知条件得到，由于∠A=∠A，推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：

∵AD=2，DC=4，AE=3，EB=1，

∴AC=6，AB=4，

∴，，

∴，

∵∠A=∠A，

∴△ADE∽△ABC，

∴DE：

BC=AD：

AB=1：

2，

故答案为：

．

【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．

13．（2016•静安区一模）如图，已知D、E分别是△ABC的边AB和AC上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，如果AE=1，CE=2，那么EF：

BF等于　　．

【分析】由DE∥BC，证得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得到=，由于△DEF∽△BCF，根据相似三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：

∵AE=1，CE=2，

∴AC=3，

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴=，

∵DE∥BC，

∴△DEF∽△BCF，

∴=，

故答案为：

1：

3．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练正确相似三角形的判定和性质是解题的关键．

14．（2016•闵行区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点F在边AC的延长线上，且FD⊥AB，垂足为点D，如果AD=6，AB=10，ED=2，那么FD=　12　．

【分析】根据垂直的定义得到∠BDE=∠ADF=90°，根据三角形的内角和得到∠F=∠B，推出△ADF∽△BDE，根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结论．

【解答】解：

∵FD⊥AB，

∴∠BDE=∠ADF=90°，

∵∠ACB=90°，∠CEF=∠BED，

∴∠F=∠B，

∴△ADF∽△BDE，

∴，

即，

解得：

DF=12，

故答案为：

12．

【点评】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．

15．（2016•徐汇区一模）如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=4，∠BAD的平分线AE分别交BD、CD于F、E，那么=　　．

【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，CD=AB=6，由平行线的性质得到∠AED=∠EAB，由角平分线的定义得到∠DAE=∠BAE，等量代换得到∠DAE=∠AED，根据等腰三角形的判定得到DE=AD=4，由相似三角形的性质得到==，

【解答】解：

在▱ABCD中，

∵AB∥CD，CD=AB=6，

∴∠AED=∠EAB，

∵AE平分∠BAD，

∴∠DAE=∠BAE，

∴∠DAE=∠AED，

∴DE=AD=4，

∵DE∥AB，

∴△DEF∽△ABF，

∴==，

故答案为：

．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．

16．（2016•徐汇区一模）点D在△ABC的边AB上，AC=3，AB=4，∠ACD=∠B，那么AD的长是　　．

【分析】由∠A=∠A，∠ACD=∠B，得到△ABC∽△ACD，根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结论．

【解答】解：

∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，

∴△ABC∽△ACD，

∴，

即：

，

∴AD=．

故答案为：

．

【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：

①相似三角形的对应边的比相等，②有两角对应相等的两三角形相似．

17．（2016•虹口区一模）如图，在▱ABCD中，E是边BC上的点，分别连结AE、BD相交于点O，若AD=5，=，则EC=　2　．

【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC，推出△BE0∽△DAO，根据相似三角形的性质得到，求得BE=3，即可得到结论．

【解答】解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴△BE0∽△DAO，

∴，

∵AD=5，

∴BE=3，

∴CE=5﹣3=2，

故答案为：

2．

【点评】此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．

18．（2015•泰州）如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C，AB=6，BD=4，则CD的长为　5　．

【分析】易证△

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