人教版高中数学必修⑤22《等差数列》教学设计Word格式.docx
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2．等差数列通项公式及性质的灵活运用
教具：
多媒体、实物投影仪
教学方法：
合作探究、分层推进教学法
教学过程：
一、双基回眸科学导入：
★同学们，上两节课我们学习了数列的定义及相关的性质，下面，请同学们简单地回顾一下：
什么是数列？
什么是数列的项？
数列有几种分类方法？
什么是数列的通项公式？
什么是数列的递推公式？
★在日常生活中，我们经常会遇到一类特殊的数列。
如：
由学生观察分析并得出答案：
●在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：
0，5，____,____,____,____,……
●2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。
该项目共设置了7个级别。
其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：
kg）：
48，53，58，63。
●水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。
如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。
那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：
m）：
18，15.5，13，10.5，8，5.5
●我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。
按照单利计算本利和的公式是：
本利和=本金×
（1+利率×
寸期）.例如，按活期存入10000元钱，年利率是0.72%。
那么按照单利，5年内各年末的本利和分别是：
时间
年初本金（元）
年末本利和（元）
第1年
10000
10072
第2年
10144
第3年
10216
第4年
10288
第5年
10360
各年末的本利和（单位：
元）组成了数列：
10072，10144，10216，10288，10360。
思考：
同学们观察一下上面的这四个数列：
0，5，10，15，20，……①
48，53，58，63②
18，15.5，13，10.5，8，5.5③
10072，10144，10216，10288，10360④
看这些数列有什么共同特点呢？
今天，我们就来探究这类数列：
二、创设情境合作探究：
通过上面的四个实例，同学们观察相邻两项间的关系
回答、探究下列问题：
●对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于；
对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于；
对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于；
对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于；
●总结归纳得到等差数列的概念：
一般地，如果一个数列，那么这个数列就叫做等差数列。
叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是，，，。
如果在
与
中间插入一个数A，使
，A，
成等差数列数列，那么A应满足什么条件？
●等差中项概念：
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的。
●等差数列的通项公式
（1）对于以上的等差数列，它们的通项公式存在吗？
如果存在，分别是什么？
①②
③④
（2）如果任意给了一个等差数列的首项
和公差d，它的通项公式是什么呢？
根据等差数列的定义进行归纳：
…
所以
……
由此我们可以得出：
以
为首项，d为公差的等差数列
的通项公式为：
★等差数列的通项公式的其他推导方法：
1、（迭加法）：
是等差数列，所以
两边分别相加得
2、（迭代法）：
是等差数列，则有
……
【小试牛刀】
1、判定下列数列是否可能是等差数列？
如果是，写出通项公式
（1）9，8，7，6，5，4，……；
（2）1，1，1，1，……；
（3）1，0，1，0，1，……；
（4）1，2，3，2，3，4，……；
（5）a,a,a,a,……；
（6）0，0，0，0，0，0，…….
2、在等差数列｛an｝中，
1）已知a1=2,d=3,n=10,求an
2）已知a1=3,an=21,d=2,求n
3）已知a1=12,a6=27,求d
4）已知d=
a7=8,求a1
三、互动达标巩固所学：
问题.1⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.
⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？
如果是，是第几项？
【分析】⑴要求出第20项，可以利用通项公式求出来。
首项知道了，还需要知道的是该等差数列的公差，由公差的定义可以求出公差；
⑵这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题。
要判断这个数是不是数列中的项，就是要看它是否满足该数列的通项公式，并且需要注意的是，项数是否有意义。
【解析】⑴由
=8，d=5-8=-3，n=20，得
⑵由
=-5，d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为
由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。
解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项。
【点评】从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于
、
、d、n（独立的量有3个）的方程；
另外，要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数，如果不是正整数，那么它就不是数列中的项。
问题.2某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4千米）计费10元。
如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？
【分析】此题是一个实际问题，首先搞清题意，然后提取数学信息进行分析，建立相应的数学模型，本题显然是一个等差数列的模型
【解析】解：
根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列
来计算车费.
令
=11.2，表示4km处的车费，公差d=1.2。
那么当出租车行至14km处时，n=11，此时需要支付车费
答：
需要支付车费23.2元。
【点评】这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，要学会从实际问题中抽象出等差数列模型，用等差数列的知识解决实际问题。
问题.3已知数列
的通项公式为
其中p、q为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？
【分析】判定
是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看
（n＞1）是不是一个与n无关的常数。
【解析】取数列
中的任意相邻两项
（n＞1），
求差得
它是一个与n无关的数.所以
是等差数列。
这个等差数列的首项与公差分别是多少？
这个数列的首项
。
由此我们可以知道对于通项公式是形如
的数列，一定是等差数列，一次项系数p就是这个等差数列的公差，首项是p+q.
【点评】通过这个例题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方法：
如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。
【探究】
引导学生动手画图研究完成以下探究：
⑴在直角坐标系中，画出通项公式为
的数列的图象。
这个图象有什么特点？
⑵在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？
据此说一说等差数列
与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系。
【分析】⑴n为正整数，当n取1，2，3，……时，对应的
可以利用通项公式求出。
经过描点知道该图象是均匀分布的一群孤立点；
⑵画出函数y=3x-5的图象一条直线后发现数列的图象（点）在直线上，数列的图象是改一次函数当x在正整数范围内取值时相应的点的集合。
于是可以得出结论：
等差数列
的图象是一次函数y=px+q的图象的一个子集，是y=px+q定义在正整数集上对应的点的集合。
该处还可以引导学生从等差数列
中的p的几何意义去探究。
四、思悟小结：
知识线：
（1）等差数列的概念；
（2）等差数列的通项公式；
（3）等差中项的概念。
思想方法线：
（1）公式法或定义法；
（2）建模思想方法；
（3）函数的思想方法。
题目线：
（1）根据等差数列的通项公式，解决相关的基本问题；
（2）判断一个数列是否为等差数列；
（3）关于等差数列的实际问题。
五、针对训练巩固提高：
1、等差数列的相邻四项是a+1,a+3,b,a+b,那么a,b的值分别是（）
A.2,7B.1,6C.0,5D.无法确定
2、若
，
成等差数列，则x得值为（）
A．7或-3B.
C.
D.4
3、
（1）求等差数列3，7，11，…的第4项与第10项
（2）101是不是等差数列2，9，16，…的项？
4、
（1）在等差数列｛an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.
（2）.在等差数列｛an｝中，已知a3=9,a9=3,求a12
5、一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？
6、已知无穷{an}中,首项为a1，公差为d,其中
（1）数列中，第n项与第m项有什么关系？
（2）若m+n=p+q，则数列中的第m，n，p，q项有什么关系？
7、已知一个无穷等差数列的首项为a1，公差为d：
（1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？
如果是，它的首项和公差分别是多少？
（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？
（3）取出数列中所有项数为7的倍数的各项，组成一个新的数列呢？
你能根据得到的结论作出一个猜想吗？
8、已知{an}是等差数列
（1）
是否成立？
呢？
为什么？
（2）
据此你能得出什么结论？
【作业】
习题1、2A组4、5
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