九年级数学相似全章教案Word格式文档下载.docx
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27．1图形的相似
（2）
教学目标:
通过对生活中的事物或图形的观察，获得理性认识，从而加以识别相似的图形．
2、过程与方法：
经历对相似图形观察、分析、欣赏以及动手操作、画图、测量等过程，能用所学的知识去解决问题；
回顾相似图形的性质、定义，得出相似三角形的定义及其基本性质。
3、情感态度与价值观：
通过观察、归纳等数学活动，与他人交流思维的过程和结果，在获得知识的过程中培养学习的自信心．发展审美能力，增强对图形欣赏的意识。
观察这两个图形，它们的对应角有什么关系？
对应边呢？
这两个三角形的形状相同，所以它们是相似三角形.从图上看，这两个相似三角形的角有什么关系？
（都等于60度）
∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′.
这两个相似三角形的边有什么关系？
AB与A′B′的比是
（板书：
），BC与B′C′的比是
），CA与C′A′的比是
），这三个比相等吗？
----相等.为什么相等？
△A′B′C′可以看成是△ABC缩小得到的，假如AB是A′B′的2倍，那么可以想象，BC也是B′C′的2倍，CA也是C′A′的2倍，所以这三个比相等。
观察相似三角形的特征，得出：
三角相似的对应角相等、对应边成比例以及相似比．
二、师生互动，探索新知：
如图;
这两个四边形形状相同，所以它们是相似四边形吗？
.从图上看，这两个相似四边形的角有什么关系？
∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，∠D=∠D′.
=
.
这四个比为什么相等？
四边形A′B′C′D′可以看成是四边形ABCD放大得到的，假如AB是A′B′的一半，那么可以想象，BC也是B′C′的一半，CD也是C′D′的一半，DA也是D′A′的一半，所以这四个比相等.
归纳总结:
从这两个例子，大家想一想，你能得出一个什么结论？
相似多边形对应角相等，对应边的比也相等.
我们知道，形状相同的多边形是相似多边形.但是，什么样才算形状相同呢？
从这两个
论我们可以看到，对多边形来说，所谓形状相同，实际上指的就是对应角相等，对应边的比也相等.对应角相等，对应边的比也相等的多边形是相似多边形.所以，现在我们可以给相似多边形下一个更明确的定义.
对应角相等，对应边的比也相等的两个多边形叫做相似多边形.
相似多边形对应边的比叫做相似比.
三、例题讲解
例1：
（教材P26-例）如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角
、
的大小和EH的长度x.
解：
四边形ABCD和EFGH相似，它们的对应角相等，由此可得:
∠
=∠C=83°
，∠A=∠E=118°
在四边形ABCD中，∠
=360°
-（78°
+83°
+118°
）=81°
四边形ABCD和EFGH相似，它们的对应边的比相等，由此可得
即解得x=28
四、课堂练习：
完成课本第27页练习第1、2、3题。
五、课堂小结：
这节课你哪些收获?
六、课时作业：
习题27.1第5、6题．
27．2．1相似三角形的判定
（1）
了解相似比的定义，掌握判定两个三角形相似的方法“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”。
培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力。
让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。
平行线分线段成比例定理和推论及其应用．
平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用．
1、复习相似多边形的定义及相似多边形相似比的定义
2、相似三角形的定义及相似三角形相似比的定义
对应角相等，三边对应成比例的两个三角形叫相似三角形。
相似三角形对应边的比叫相似比。
那么，怎样判断两个三角形相似呢？
这节课我们就来探究这个问题。
师生共同探究，归纳得出：
平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线,所得到的对应线段的比相等
把这个定理应用到三角形中，会出现下面两种情况如下图：
提出问题：
如图，在∆ABC中，点D是边AB的中点，DE∥BC，DE交AC于点E，
∆ADE与∆ABC有什么关系？
分析：
观察右图易知AD=
，AE=
，∠A=∠A，
∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，只需引导学生证得DE=
即可，学生不难想到过E作
EF∥AB。
∆ADE∽∆ABC，相似比为
。
延伸问题：
改变点D在AB上的位置，先让学生猜想∆ADE与∆ABC仍相似，然后验证。
归纳：
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
三、课堂练习
教材P31-练习第1、2题
四、课堂小结
1、平行线分线段成比例定理
2、平行线分线段成比例定理推论
3、判定三角形相似的定理
五、作业布置
教材P42-习题27·
2第1题
27．2．1相似三角形的判定
（2）
教学目标：
掌握三组对应边的比相等的两个三角形相似的判定定理；
掌握两组对应边
的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似的判定定理。
会运用“三组对应边的比相等的两个三角形相似”及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的方法进行简单推理。
通过画图、观察猜想、度量验证等实践活动，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣。
教学重点：
掌握两个判定定理，会运用两个判定定理判定两个三角形相似
教学难点：
探究两个三角形相似的条件；
运用两个三角形相似的判定定理解决问题。
学习三角形全等时，我们知道，除了可以利用全等三角形定义来判定两个三角形全等，还有四个简便的判定方法.哪四个简便的判定方法？
就是SSS、SAS、ASA、AAS.同样，判定两个三角形相似，有没有简便的判定方法？
相似三角形的定义，可以用来判定两个三角形相似，但利用定义判定，既要证明三组对应角相等，又要证明三组对应边的比相等，所以比较麻烦.怎么解决这个问题呢？
下面我们一起来探究这个问题.
探究：
任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原三角形各边长的K倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？
这两个三角形相似吗？
与同学交流一下，看看是否有同样的结论。
容易发现，这两个三角形是相似的，我们可以利用上面的定理进行证明。
如图：
27.2-4，在△ABC和△A′B′C′中，
，
求证：
△ABC～△A′B′C′
证明：
在线段AB、AC上截取AD=A′B′,过点D作DE∥BC,交AC于点E，根据前面的定理可得△ABC～△ADE
∴
又∵
∴
∴AE=A′C′,DE=B′C′
又∵AD=A′B′
∴△ADE≌△A′B′C′
∴△ABC～△A′B′C′
相似三角形的判定定理---如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.简单说成：
三边成比例的两个三角形相似
全等三角形判定定理SAS是怎么说的？
如果两个三角形两边对应相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形全等.类似的，也有一个相似三角形的判定定理.
利用刻度尺和量角器画∆ABC与∆A1B1C1，使∠A=∠A1，
和
都等于给定的值k，量出它们的第三组对应边BC和B1C1的长，它们的比等于k吗？
另外两组对应角∠B与∠B1，∠C与∠C1是否相等？
（学生独立操作并判断）
学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三组对应边BC和B1C1的比都等于k，另外两组对应角∠B=∠B1，∠C=∠C1。
改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？
（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断。
）
归纳得出
相似三角形的判定定理-----如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
简单说成：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
符号语言：
若∠A=∠A1，
=k，则∆ABC∽∆A1B1C1
（定理的证明由学生独立完成）
例1：
（教材P33-例1）根据下列条件，判断∆ABC与∆A1B1C1是否相似，并说明理由：
（1）AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm；
A、B、=12cm，B、C、=18cm,A、C、=24cm
（2）∠A＝1200，AB=7cm，AC=14cm；
∠A、＝1200，A、B、=3cm，A、C、=6cm。
四、课堂练习：
教材P34-练习第1、2、3题
五、课堂小结：
说说你在本节课的收获。
六、布置作业：
教材P42-习题27·
2第2
（1）、4题
27．2．1相似三角形的判定（3）
教学目标
掌握判定两个三角形相似的方法——如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法3与全等三角形判定方法（AAS﹑ASA）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。
两个三角形相似的判定方法3及其应用
探究两个三角形相似判定方法3的过程
教学过程：
复习两个三角形相似的判定方法1﹑2与全等三角形判定方法（SSS﹑SAS）的区别与联系：
1、如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
（相似的判定方法1）
2、如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
（相似的判定方法2）
观察两副三角尺，其中同样角度（300与600，或450与450）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的。
如果两个三角形有两组角对应相等，它们一定相似吗？
作∆ABC与∆A1B1C1，使得∠A=∠A1，∠B=∠B1，这时它们的第三角满足∠C=∠C1吗？
分别度量这两个三角形的边长，计算
﹑
，你有什么发现？
学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三角满足
∠C=∠C1，三边满足
分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？
）
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
两角对应相等，两三角形相似
若∠A=∠A1，∠B=∠B1，则∆ABC∽∆A1B1C1
思考
我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定，那么，满足斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似吗？
已知：
如图，在Rt△ABC和Rt△A1B1C1中，∠C=90°
∠C1==90°
，
Rt△ABC∽Rt△A′B′C′
由勾股定理得：
∴Rt△ABC∽Rt△A1B1C1.
例1（教材P35-例2）
例2（补充）如图，弦AB和CD相交于⊙O内一点P，求证：
PA·
PB=PC·
PD。
四、课堂练习教材P36-练习第1、2、3题
2第2
（2）、7题
27．2．2相似三角形的性质
1、知识与技能：
理解掌握相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）、周长比与相似比之间的关系，掌握定理的证明方法；
并能灵活运用相似三角形的判定和性质，提高分析，推理能力。
对性质定理的探究学生经历观察-——猜想——论证——归纳的过程。
培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度，并在其中体会类比的数学思想。
在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律，通过学生之间的交流合作，在合作中体验成功的喜悦，树立学习的自信心。
掌握相似三角形的相关性质，了解相关性质的证明方法
掌握命题证明方法、步骤，灵活运用性质解决问题。
（1）什么叫相似三角形？
如何判断两三角形相似？
（2）如果两个三角形相似，那么它们的边和角各有什么性质？
①相似三角形的对应边______________
②相似三角形的对应角______________
[问题]:
两个相似三角形除了以上两条性质外，它们还有哪些性质呢?
一个三角形有三条重要线段：
高、中线、角平分线。
如果两个三角形相似，那么这些对应线段有什么关系呢？
探究1相似三角形对应边上的高有什么关系呢？
在下图中△ABC和△A、B、C、是两个相似三角形，相似比为k，其中AD、A′D′分别为BC、
B′C′边上的高，那么AD、A′D′之间有什么关系？
△ABC∽△A、B、C、，△ABC与△A′B′C′的相似比是k，AD、A′D′是对应高。
=k
结论：
相似三角形对应边上的高之比等于相似比。
自主思考---类似结论
探究2△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的中线，求证：
=k
相似三角形对应中线的比等于相似比.
类似地可得结论：
相似三角形对应角的角平分线的比等于相似比.
相似三角形面积的比等于相似比的平方。
三、例题讲解例教材P38--例3
问题：
两个相似三角形的周长比会等于相似比吗？
学生自主探究，互相交流，归纳
相似三角形的周长比等于相似比。
四、课堂练习教材P39—练习第1、2、3题
2第6题
27．2．3相似三角形应用举例
通过本节相似三角形应用举例，发展学生综合运用相似三角形的判定方法和性质解决问题的能力，提高学生的数学应用意识，加深对相似三角形的理解与认识．
经历动手作图的过程，提高学生将实际问题转化为数学问题的方法，以及运用相似三角形的知识解决问题
在活动过程中使学生积累经验与成功体验，激发学生学习数学的热情与兴趣．
运用两个三角形相似解决实际问题
在实际问题中建立数学模型
教学过程
问：
世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家，叫什么金字塔？
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”．塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．
在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：
“听说你什
么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！
”，这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？
你看过或听说过埃及金字塔解秘的故事吗?
神秘的金字塔引来无数游客观光旅游。
据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾用相似三角形的原理测量出金字塔的高度，他是怎样求出金字塔的高度的?
三、例题讲解
例1（教材P39—例4）据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根本杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度。
如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO.
（1）太阳光线BA、ED之间有什么关系？
（2）△ABO和△DEF有什么特殊关系？
（3）由EF=2m，FD=3m，OA=201m，怎样求BO？
∵BA∥ED，∴∠BAO=∠EDA又∵∠BOA=∠EFD=90°
，∴△ABO∽△DEF
∴BO=134
因此，金字塔的高度为134米。
例2（教材P40—例5）如图27.2—12，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R，如果测得QS=45m。
ST=90m，QR=60m，求河的宽度PQ．
∵∠PQR=∠PST=90°
，∠P=∠P,
∴△PQR∽△PST
∴PQ/PS=QR/ST
即PQ/PQ+QS=QR/ST,PQ/PQ+45=60/90
PQx90=（PQ+45）x60PQ=90
因此河宽大约为90米。
例3（教材P40—例6）如图27.2-13，左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树的根部的距离BD=5m。
一个身高1.6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶点C？
分析：
（1）何时不能看到点C？
如图27.2-13，设观察者眼睛的位置为点F，画出观察者的水平视线FG，分别交AB,CD于点H,K.视线FA与FG的夹角∠AFH是观察点A时的仰角。
类似地，∠CFK是观察点C时的仰角，由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域之内。
（2）线段CK、AH、HK的长度是多少？
（3）AH与CK有什么位置关系，为什么？
（2）△FAH与△FCK有什么关系，为什么？
（3）怎样求FH？
如图27.2-13，假设观察者从左向右走到点E时，他的眼睛的位置点F与两棵树的顶端点A,C恰在一条直线之内。
由题意可知，AB⊥L,CD⊥L.
∴△AFH∽△CFK∴FH/FK=AH/CK
即FH/FH+5=8-1.6/12-1.6=6.4/10.4FH=8
由此可知，如果观察者继续前进，当他与左边的树的距离小于8米，由于这棵树的遮挡，观察者看不到右边树的顶端点C.
四、课堂练习教材P41--练习第1、2题
五、课时小结
（1）相似三角形的应用：
用三角形的相似，解决不能直接测量的物体长度。
（2）实际应用题的解决方法：
解决实际应用题的关键是将题中的信息转化到数学图形中去。
2第9、10题
27.3位似
（1）
掌握位似图形的定义；
掌握位似图形的性质；
学生经历将一个图形放大或缩小的方法，并且在学习和运用过程中发展数学应用意识。
培养学生动手操作的良好习惯，以积极进取的思想探究数学学科知识，体会本节知识的实际应用价值和文化价值。
能够利用作位似图形等方法将一个图形放大或缩小。
位似图形的画法。
一、创设情境
引入新课
1、回顾相似多边形的有关概念和性质，为新课引入进行铺垫，同时渗透爱国主义教育，激发学生的学习兴趣和爱国热情。
2、操作实验：
指导全班同学动手操作、进行实验，每位同学拿出自备的两个相似图形纸片，位置任意摆放，连接对应点，观察对应点的连线是否经过一点。
同时请三位同学上黑板前台选取不同类型的相似图形（三角形、四边形、五边形）进行演示，供班级同学参考并猜想。
3、这几副图片表示出了图形之间的什么特殊的关系？
引出课题——位似。
教师板书。
1、建构新知：
位似图形及其有关概念
如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.
2、让学生进一步操作，亲身感受位似图形与相似图形的联系与区别。
通过观察、思考、交流、讨论得出如下结论：
位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必都能构成位似关系。
例1下列说法正确的是（）
A.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定全等；
B.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形不一定相似；
C.两个图形如果是相似图形，那么这两个图形一定位似；
D.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定相似。
例2下列每组图中的两个多边形，是位似图形的是（）
图1
例3如图1，四边形ABCD和四边形EFGD是位似图形，它们的位似中心是（）
A.点EB.点FC.点GD.点D
例4已知图1中，AE∶ED=3∶2，则四边形ABCD与四边形EFGD的位似比为（）
A.3∶2B.2∶3C.5∶2D.5∶3
四、课堂练习教材P48-练习第1、2题
五、归纳小结
1、畅谈这节课你的收获与感受。
2、总结：
位似图形的概念、性质、应用。
3、实际应用：
位似图形在家庭装潢设计上的运用。
六、布置作业教材P51-习题27·
3第1、3题
27.3位似
（2）
继续了解位似图形及其有关概念，能够利用作位似图形等方法将一个图形放大或缩小。
2、过程与方法
升级会员 