平行四边形典型例题文档格式.docx

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∴∠EAC=∠ACF

∴OF＝OE

又∵AD∥BC，OE⊥AD，OF⊥BC

∴E、O、F三点共线

2．如图12-1-22所示，现有一块等腰直角三角形的铁板，通过切割焊接成一个含有45°

角的平行四边形，请你设计一种最简单的方案，并证明你的方案确实得到的是一个符合条件的平行四边形．

分析：

运用三角形全等，平行四边形的识别方法来解答，在证明时不要忽略证明F，E，D共线．

解：

取AC、BC的中点E、D连结ED，则沿ED切割下来，如图使点E不变，点C与点A重合，再焊接上去最简单．

证明：

在Rt△ABC中 

∵AC＝BC 

∴∠B=45°

又∵E、D分别为AC、BC的中点

∴EC＝DC 

∴∠CED＝∠CDE＝45°

由于BD，BF是△BDF的两边，所以要证BD＝BF，可由证△BDF中∠BDF＝∠F入手，易知∠F＝∠CDM=∠CMD＝∠EMF，故只要证BD∥CE，由此由证法一又注意到BF＝BE+EF，易知BE＝AB＝CD＝CM，EF＝EM，故BF＝CE，从而只要证BD＝CE，由此有证法二．

证法

（一）：

∵四边形ABCD为平行四边形 

∴AB

CD

又∵E点在AB延长线上，且BE＝AB 

∴四边形BECD是平行四形 

∴BD∥CE 

∴∠BDF＝∠EMF

∵∠EMF＝∠CMD 

∴∠BDF＝∠CMD

又∵CM＝CD 

∴∠CMD=∠CDM 

∴∠BDF＝∠CDM

∵AF∥CD 

∴∠CDM＝∠F 

∴BDF＝∠F

即BD＝BF

证法

（二）：

又∵E点在AB延长线上且BE＝AB 

∴BE

∴四边形BECD是平行四边形 

∴BD＝CE，BE＝CD

又∵∠EMF=∠CMD，CD＝CM 

∴∠CMD=∠CDM

∴∠EMF=∠CDM 

∵BE∥CD 

∴∠F＝∠EMF 

∴EF＝EM

∴BF＝BE+EF＝CD+EM=CM+EM＝CE＝BD

即BF＝BD

习题精选

　　一、填空题

　　1．过□ABCD的顶点A、C分别作对角线BD的垂直线，垂足为E、F，则四边形AECF是 

.

　　2．延长△ABC的中线AD到E，使DE＝AD 

则四边形ABEC是 

四边形．

　　3．在四边形ABCD中∠A＝50°

欲使四边形为平行四边形，则∠B= 

，∠C＝ 

，∠D＝ 

　　4．在四边形中，任意相邻两个内角互补，则这个四边形是 

　　5．如图12-1-29，在□ABCD中，E、F为AB、CD的中点，连结DE、EF、BF则图中共有

个平行四边形．

　　6．在□ABCD中连结BD作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，连结CE、AF，点P、Q在线段BD上，且BP＝DQ，连结AP、CP、AQ、CQ，MN分别交AB、CD于M、N连结AM、CM、NA、NC，那么图中平行四边形（除□ABCD外）有 

个，它们是 

　　二、判断题

　　1．平行四边形的对边分别相等（ 

）

　　2．平行四边形的对角线相等（ 

　　3．平行四边形的邻角互补（ 

　　4．平行四边形的对角相等（ 

　　5．平行四边形的对角线互相平分一组对角（ 

　　6．对角线平分平行四边形的四个三角形的面积相等（ 

　　三、选择题

　　1．能判断四边形是平行四边形的条件是（ 

　　A．一组对边平行，另一组对边相等

　　B．一组对边平行，一组对角相等

　　C．一组对边平行，一组邻角互补

　　D．一组对边相等，一组邻角相等

　　2．能确定平行四边形的大小和形状的条件是（ 

　　A．已知平行四边形的两邻边

　　B．已知平行四边形的两邻角

　　C．已知平形四边形的两对角线

　　D．已知平行四边形的两边及夹角

　　3．平行四边形一边为32，则它的两条对角线长不可能为（ 

　　A．20和18 

B．40和50

　　C．60和30 

D．32和50

　　4．如图12-1-30所示，已知□ABCD的对角线的交点是O，直线EF过O点且平行于BC，直线GH过O且平行AB，则图中有（ 

）个平行四边形．

　　A．5个B．6个C．7个D．10个

　　5．能判定四边形为平行四边形的是（ 

　　A．一组对角相等 

　B．两条对角线互相垂直

　　C．两条对角线互相平分 

D．一对邻角互补

　　6．以下结论正确的是（ 

　　A．对角线相等，且一组对角也相等的四边形是平行四边形．

　　B．一边长为5，两条对角线分别是4和6的四边形是平行四边形．

　　C．一组对边平行，且一组对角相等的四边形是平行四边形．

　　D．对角线相等的四边形是平行四边形．

　　7．在□ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，如果点E，F分别由下列各种情况得到的，那么四边形AECF不一定是平行四边形的是（ 

　　A．AE、CF分别平分∠DAB、∠BCD

　　B．AE，CF使∠BEA＝∠CFD

　　C．E、F分别是BC、AD的中点

　　D．BE＝

BC，AF＝

AD

　　8．□ABCD对角线交点为O，△OBC的周长为59cm，且AD＝28cm，两对角线之差为14cm，则对角线长为（ 

　　A．12cm和9cm 

　　B．24cm和38cm

　　C．8．5cm和22．5cm 

D．15．5cm和29．5cm

　　四、解答题

　　1．如图12-1-31所示，在□ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，四边形AECF是平行四边形吗？

　　2．如图12-1-32所示，四边形ABCD中∠B＝∠D，∠1＝∠2，则四边形ABCD是平行四边形吗？

为什么？

　　3．如图12-1-33所示，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OD、OB上一点，若∠ECD＝∠FAB，EC＝AF，则四边形AECF是平行四边形吗？

　　4．如图12-1-34所示，四边形ABCD中AB=CD，∠DBC＝90°

，FD⊥AD于D，求证四边形ABCD是平行四边形．

　　5．如图12-1-35所示，△ABC中DE在BC边上，N、M在AB、AC上，且EN与DM互相平分，MD∥AB，NE∥AC求证：

BD＝DE＝CE

　　五、证明题

　　1．已知：

如图12-1-18，在□ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF.

　　求证：

（1）AE＝CF

（2）AE∥CF

　　2．已知：

如图12-1-19，四边形ABCD为平行四边形，E、F是直线BD延长线上的两点，且DE＝BF，求证AE＝CF

　　参考答案

　　1．平行四边形 

点拨：

由一组对边平行且相等，即可判断

　　2．平行四边形

　　3．130°

，50°

，130°

　　4．平行四边形 

由题意可得两组对边分别平行

　　5．4个 

□ABCD，□ADFE，□EFCB，□EDFB

　　6．3个 

□AECF，□APCQ，□AMCN

　　1．√ 

2．×

点拨：

对角线不一定相等，但互相平分

　　3．√ 

4．√

　　5．×

对角线不平分一组对角，只是自己互相平分 

6．√

　　1．B 

2．D 

3．A 

4．D 

5．C 

6．C 

7．B 

8．B

　　1．解：

　　点拨：

由□ABCD知∠BCD＝∠BAD，又AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，故∠EAF＝∠ECF，又∠AF∥EC，故∠AEC+∠EAF＝18O°

，即∠AEC+∠ECF＝18O°

，所以AE∥CF，故四边形AECF是平行四边形．

　　2．解：

四边形ABCD是平行四边形

　　由∠1＝∠2得DC∥AB，所以∠D+∠DAB＝18O°

，又∠B＝∠D，所以∠DAB+∠B＝180°

，所以AD∥BC，即四边形ABCD为平行四边形．

　　3．解：

是平行四边形

AB∥CD，故∠ACD＝∠CAB，又∠ECD＝∠FAB，故∠ACD-∠ECD＝∠CAB-∠FAB，即∠ACE＝∠CAF，所以CE=AF，CE＝AF，故AFCE是平行四边形．

　　4．证明：

∵BD⊥AD 

∴∠BDA=90°

　　∵∠DBC＝90°

，DC＝AB，DB＝DB

　　∴△ADB≌△CBD 

∴AD＝BC

　　∴四边形ABCD是平行四边形

　　5．证明：

∵NE，MD互相平分

　　∴四边形MNDE为平行四边形 

∴MN

DE

　　又∵MD∥AB，NE∥AC 

∴四边形MNBD、MNEC为平行四边形

　　∵MN＝BD，MN＝CE 

∴BD=DE＝CE

　　1．证明：

　　∴AB

DC 

∴∠ABE＝∠CDF

　　在△ABE和△CDF中

　　∴△ABE≌△CDF（SAS） 

∴AE＝CF 

∴∠AEB＝∠CFD

　　∴∠AED＝∠BFC（等角的补角相等） 

∴AE∥CF

　　2．证明：

如图（3）所示

　　∵四边形ABCD是平行四边形

　　∴AD∥BC，AD＝BC 

∴∠1＝∠2

　　∵BD是直线 

∴∠1+∠3＝180°

，∠2+∠4＝180°

　　∴∠3＝∠4

　　∴△ADE≌△CBF 

∴AE＝CF