人教版七年级下册51相交线专项练习.docx

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人教版七年级下册51相交线专项练习

相交线

类型一：

邻补角和对顶角的概念

☞考点说明：

能根据两条直线相交形成的四个角的关系入手，理解邻补角、对顶角的概念；

【易】1.直线AB与直线CD相交于点O，∠1与∠2有一条公共边，它们的一边

与互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为

【答案】OA，OC，OD，邻补角

【解析】根据邻补角的定义，故答案为OA，OC，OD，邻补角．

【易】2.下列图形∠1与∠2不是邻补角的是（）

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】根据邻补角的定义对各选项分析判断利用排除法求解．

A. ∠1与∠2是邻补角，故本选项错误；

B. ∠1与∠2是邻补角，故本选项错误；

C. ∠1与∠2不是邻补角，故本选项正确；

D. ∠1与∠2是邻补角，故本选项错误。

故选C.

【易】3.已知两直线相交，则下列结论成立的是（）

A.所构成的四个角中，有一个角是直角B.四个角都相等

C.相邻的两个角互补D.对顶角互补.

【答案】C

【解析】根据相交线的性质，分析选项可得答案．

根据相交直线的性质，分析可得：

A.所构成的四个角中，不一定有直角，错误；

B.四个角不一定都相等，错误；

C.符合邻角的定义，正确；

D.对顶角相等，错误。

故选C.

【易】4.如图，直线AB、CD相交于点O，∠1＝∠2．∠4的邻补角是______．∠2的补角是_________．

【答案】∠1，∠EOB

【解析】根据邻补角的定义可知∠1与∠4是邻补角，∠2与∠EOB是邻补角.，故答案为∠1，∠EOB

【中】5．下列说法正确的是（　　）

①相等的角是对顶角②相等且互补的两个角是直角

③不相等的两个角不是对顶角④一个角的两个邻补角是对顶角

⑤若两个角不是对顶角，则这两个角不相等

⑥如果这两个角有一组公共边，且它们的和是180°，则这两个角互为邻补角

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C

【解答】解：

①相等的角不一定是对顶角，此说法错误；

②相等且互补的两个角是直角，此说法正确；

③不相等的两个角不是对顶角，此说法正确；

④一个角的两个邻补角是对顶角，此说法正确；

⑤若两个角不是对顶角，则这两个角不一定相等，此说法错误；

⑥如果两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，则这两个角互为邻补角，此说法错误；

【中】6．如图所示，直线AB，CD，EF，MN，GH相交于点O，则图中对顶角共有（　　）

A．3对B．6对C．12对D．20对

【解答】解：

2条直线交于一点，对顶角有2对，2=2×1；

3条直线交于一点，对顶角有6对，6=3×2；

4条直线交于一点，对顶角有12对，12=4×3；

由规律可得，n条不同直线相交于一点，可以得到n（n﹣1）对对顶角，

∴直线AB，CD，EF，MN，GH相交于点O，对顶角共有5×4=20对，

故选：

D．

类型二：

邻补角和对顶角的计算

☞考点说明：

依据定理及性质，对邻补角、对应角进行简单的计算；

【易】1．如图，直线AB，CD交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC：

∠EOD=4：

5，则∠BOD=　　度．

【答案】见解析

【解析】解：

∵∠EOC：

∠EOD=4：

5，

∴设∠EOC=4x，∠EOD=5x，

故4x+5x=180°，

解得：

x=20°，

可得：

∠COE=80°，∠EOD=100°，

∵OA平分∠EOC，

∴∠COA=∠AOE=40°，

∴∠BOD=40°．

故答案为：

40．

【易】2．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠COB与它的邻补角的差为40°，则∠AOE=　　度．

【答案】见解析

【解析】解：

∵直线AB，CD相交于点O，∠COB与∠DOB互为邻补角，

∴∠COB+∠DOB=180°，①

已知∠COB﹣∠DOB=40°，②

由①、②解得∠DOB=70°．

∵OE平分∠BOD，

∴∠BOE=∠DOB÷2=70°÷2=35°，

∴∠AOE=180°﹣∠BOE=180°﹣35°=145°．

故答案为：

145．

【中】3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°求：

（1）∠3的度数；

（2）求∠2的度数．

【答案】见解析

【解析】解：

（1）∵∠AOB=180°，

∴∠1+∠3+∠COF=180°，

∵∠FOC=90°，∠1=40°，

∴∠3=180°﹣∠1﹣∠FOC=50°，

（2）∠BOC=∠1+∠FOC=130°，

∴∠AOD=∠BOC=130°，

∵OE平分∠AOD，

∴∠2=

∠AOD=65°．

【中】4．如图：

已知直线AB、CD相交于点O，∠COE=90°

（1）若∠AOC=36°，求∠BOE的度数；

（2）若∠BOD：

∠BOC=1：

5，求∠AOE的度数．

【答案】见解析

【解析】解：

（1）∠BOE=180°﹣∠AOC﹣∠COE

=180°﹣36°﹣90°

=54°；

（2）∵∠BOD：

∠BOC=1：

5，∠BOD+∠BOC=180°，

∴∠BOD=30°，

∵∠BOD=∠AOC，

∴∠AOC=30°，

∴∠AOE=∠COE+∠AOC=90°+30°=120°．

【难】5．如图，已知直线AB和CD相交于点O，在∠COB的内部作射线OE．

（1）若∠AOC=36°，∠COE=90°，求∠BOE的度数；

（2）若∠COE：

∠EOB：

∠BOD=4：

3：

2，求∠AOE的度数．

【答案】见解析

【解析】解：

（1）∵∠AOC=36°，∠COE=90°，

∴∠BOE=180°﹣∠COE﹣∠BOD=54°；

（2）∵∠COE：

∠EOB：

∠BOD=4：

3：

2，

∴设∠COE=4α，∠EOB=3α，∠BOD=2α

∵∠COE+∠EOB+∠BOD=180°，

∴4α+3α+2α=180°

∴α=20°

∴∠COE=4α=80°，∠EOB=3α=60°，∠BOD=2α=40°，

∴∠AOE=180°﹣∠EOB=180°﹣60°=120°．

【难】6．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．

（1）若∠AOC=76°，求∠BOF的度数；

（2）若∠BOF=36°，求∠AOC的度数；

（3）若|∠AOC﹣∠BOF|=α°，请直接写出∠AOC和∠BOF的度数．（用含a的代数式表示）

【答案】见解析

【解析】解：

（1）∵∠BOD=∠AOC=76°，

又∵OE平分∠BOD，

∴∠DOE=

∠BOD=

×76°=38°．

∴∠COE=180°﹣∠DOE=180°﹣38°=142°，

∵OF平分∠COE，

∴∠EOF=

∠COE=

×142°=71°，

∴∠BOF=∠EOF﹣∠BOE=71°﹣38°=33°．

（2）∵OE平分∠BOD，OF平分∠COE，

∴∠BOE=∠EOD，∠COF=∠FOE，

∴设∠BOE=x，则∠DOE=x，

故∠COA=2x，∠EOF=∠COF=x+36°，

则∠AOC+∠COF+∠BOF=2x+x+36°+36°=180°，

解得：

x=36°，

故∠AOC=72°．

（3）设∠BOE=x，则∠DOE=x，

则∠COA=2x，∠BOF=90°﹣

x，

∵|∠AOC﹣∠BOF|=α°，

∴|2x﹣（90°﹣

x）|=α°，

解得：

x=（

）°+

α°或x=（

）°﹣

α°，

当x=（

）°+

α°时，

∠AOC=2x=（

）°+

α°，

∠BOF=90°﹣

x=（

）°﹣

α°；

当x=（

）°﹣

α°时，

∠AOC=2x=（

）°﹣

α°，

∠BOF=90°﹣

x=（

）°+

α°．

【难】7．如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD=75°，OE把∠AOC分成两个角，且

∠AOE=

∠EOC

（1）求∠AOE的度数；

（2）将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF．

①如图2，当OF平分∠BOE时，求∠DOF的度数；

②若∠AOF=120°时，直接写出α的度数．

【答案】见解析

【解析】解：

（1）∵∠AOE=

∠EOC，即∠AOE：

∠EOC=2：

3．

∴设∠AOE=2x，则∠EOC=3x，

∴∠AOC=5x，

∵∠AOC=∠BOD=75°，

∴5x=75°，

解得：

x=15°，

则2x=30°，

∴∠AOE=30°；

（2）①∵∠AOE=30°，

∴∠BOE=180°﹣∠AOE=150°，

∵OF平分∠BOE，

∴∠BOF=75°，

∵∠BOD=75°，

∴∠DOF=75°+75°=150°；

②分两种情况：

当OF在∠BOC的内部时，如图2，

∵∠AOF=120°，∠AOE=30°，

∴α=∠EOF=120°﹣30°=90°，

当OF在∠BOD的内部时，如图3，

∴α=360°﹣∠AOF﹣∠AOE=360°﹣120°﹣30°=210°，

综上所述，α的度数为90°或210°．

类型一：

垂线的定义及性质

☞考点说明：

两线相交形成的其中一个角为90度，即说两线互相垂直，且其中一条线为另一条线的垂线；垂线的性质是垂线段最短

【易】1．若∠A与∠B是对顶角且互补，则它们两边所在的直线（　　）

A．互相垂直B．互相平行

C．既不垂直也不平行D．不能确定

【答案】A

【解析】解：

∵∠A与∠B是对顶角，

∴∠A=∠B，

又∵∠A与∠B互补，

∴∠A+∠B=180°，

可求∠A=90°．　

【易】2．下列说法正确的有（　　）

①在同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；

②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线；

③在同一平面内，过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线；

④在同一平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线．

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】B

【解析】解：

由垂线的性质可知①②正确．故选：

B．　

【易】3．下列说法中不正确的是（　　）

A．垂线是直线

B．互为邻补角的两个角的平分线一定垂直

C．过一个已知点有且只有一条直线与已知直线垂直

D．直线外一点与直线上各点连线中垂线段最短

【答案】C

【解析】解：

A、垂线是两条互相垂直的直线，正确；

B、互为邻补角的两个角的平分线将平角平分，夹角为90°，故垂直，正确；

C、应强调在同一平面内，否则，可以作无数条，错误；

D、这是垂线的一条性质，正确．　

【易】4．已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是（　　）

【答案】C

【解析】解：

根据题意可得图形

，故选：

C．　

【中】5．用3根火柴棒最多能拼出（　　）

A．4个直角B．8个直角C．12个直角D．16个直角

【答案】C

【解析】解：

如图所示，

当3根火柴棒有公共交点且两两垂直时（是立体图形）图中说的是AB，CD，EF三条火柴棒，

可构成12个直角（∠AOC，∠BOC，∠COE，∠COF，∠AOD，∠BOD，∠DOF，∠DOE，∠AOF，∠BOF，∠AOE，∠BOE）．故选：

C．

【中】6．如图，要从小河l引水到村庄B，请设计并作出一条最短路线，并说明理由．

【答案】

【解析】解：

如图，

沿BA引水距离最短，

理由：

垂线段最短．

【中】7．火车站，码头分别位于A，B两点，直线a，b分别表示铁路与河流

（1）从火车站到码头怎样走最近？

（2）从码头到铁路怎样走最近？

请画图并说明理由．

【答案】

【解析】解：

（1）连接AB，沿线段AB走最短；

（2）沿线段BD走最近．

【难】8．在同一平面上，若∠BOA=70°，BO⊥CO，垂足是O，求∠AOC的度数．

【答案】见解析

【解析】解：

如右图所示，

∵∠BOA=70°，BO⊥CO，垂足是O，

∴∠BOC1=90°，∠BOC2=90°，

∴∠AOC1=∠BOC1﹣∠BOA=20°，∠AOC2=∠AOB+∠BOC2=160°，

即∠AOC的度数是20°或160°．

【难】9．已知：

∠MON=132°，射线OC是∠MON内一条射线，且

∠CON+

∠MOC=59度．问OM与OC是否垂直，并说明理由．

【答案】见解析

【解析】解：

OM⊥OC．

理由如下：

设∠CON为x°，则∠MOC为（132﹣x）°，

依题意，得

x+

（132-x）=59，

解得x=42．

∴∠MOC=∠MON﹣∠CON=132°﹣x=132°﹣42°=90°，

即OM⊥OC．

类型二：

点到直线的距离

☞考点说明：

点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．

【易】1．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，则点C到AB所在直线的距离是线段（　　）的长．

A．CAB．CDC．CBD．以上都不是

【答案】B

【解析】解：

∵CD⊥AB，

∴线段CD的长度表示点C到AB的距离．

故选：

B．

【易】2．下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（　　）

【答案】D

【解析】解：

线段AD的长表示点A到直线BC距离的是图D，

故选：

D．

【易】3．如图，AB，CD交于点O，OE⊥CD于O，连接CE，

（1）若∠AOC=25°，则∠BOE=　　．

（2）若OC=2cm．OE=1.5cm，CE=2.5cm，那么点E到直线CD的距离是　　cm．

【答案】65°，1.5

【解析】解：

（1）∵OE⊥CD，

∴∠DOE=90°，

∵∠AOC=25°，

∴∠BOD=90°，

∴∠BOE=90°﹣25°=65°，

（2）∵OE⊥CD，OE=1.5cm，

∴点E到直线CD的距离是1.5cm，

故答案为65°，1.5．

【中】4．A、B、C是直线l上的三点，P是直线l外一点．若PA=5cm、PB=6cm、PC=8cm．由此可知，点P到直线l的距离是（　　）

A．5cmB．不小于5cm

C．不大于5cmD．在6cm与8cm之间

【答案】

【解析】解：

∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，

∴点P到直线a的距离≤PA，

即点P到直线a的距离不大于5cm．故选：

C．

【易】5．如图，BC⊥AC，C为垂足，BC=8cm，AC=6cm，AB=10cm，则点B到AC的距离是　　cm，点A到BC的距离是　　cm，点A、点B的距离是　　cm．

【答案】8，6，10

【解析】解：

点B到AC的距离是线段BC的长度，为8cm，

点A到BC的距离是线段AC的长度，为6cm，

点A、点B的距离是线段AB的长度，为10cm，

故答案为：

8，6，10．

【中】6．如图所示：

（1）过点P画直线MN∥AB；

（2）连接PA、PB；过B画AP、MN的垂线，垂足为C、D；

（3）过点P画AB的垂线，垂足为E；

（4）量出P到AB的距离≈　2.2　（厘米），（精确到0.1厘米）

量出B到MN的距离≈　2.2　（厘米）；（精确到0.1厘米）

（5）由（4）知P到AB的距离　=　B到MN的距离．（填“＜”或“=”或“＞”）

【解答】解：

（1）如图：

（2）如图：

（3）如图：

（4）点P到AB的距离即为PE的长度，用直尺量出约为2.2，

点B到MN的距离即为BD的长度，用直尺量出约为2.2，

（5）∵MN∥AB，

∴PE=BD．

故答案为：

=．

类型一：

同位角、内错角、同旁内角基本识别

☞考点说明：

熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义

【易】1．下列说法正确的是（　　）

A．若两条直线被第三条直线所截，则同旁内角互补

B．相等的角是对顶角

C．有一条公共边并且和为180°的两个角互为邻补角

D．若三条直线两两相交，则共有6对对顶角

【答案】D

【解析】解：

A、应该是“若两条平行直线被第三条直线所截，则同旁内角互补”，故错误；

B、相等的角不一定都是对顶角，如两直线平行，其中的同位角相等但不是对顶角，故错误；

C、如果这两个角在公共边的同侧，则不是邻补角，故错误；

D、正确．

【易】2．在我们常见的英文字母中，也存在着同位角、内错角、同旁内角．在下面几个字母中，含有内错角最少的字母是（　　）

A．HB．MC．ND．A

【答案】C

【解析】解：

字母H中含有2对内错角；

字母M中含有2对内错角；

字母N中含有1对内错角；

字母A中含有2对内错角；　

【易】3．两条直线被第三条直线所截，就第三条直线上的两个交点而言形成了“三线八角”．为了便于记忆，同学们可仿照图用双手表示“三线八角”（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．下列三幅图依次表示（　　）

A．同位角、同旁内角、内错角B．同位角、内错角、同旁内角

C．同位角、对顶角、同旁内角D．同位角、内错角、对顶角

【答案】B

【解析】解：

根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知

第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．　

【易】4．如图，∠1和∠2是同位角的图形是（　　）

【答案】A

【解析】解：

A．∠1与∠2是同位角；

B．∠1与∠2不是同位角；

C．∠1与∠2不是同位角；

D．∠1与∠2不是同位角．故选：

A．　

【易】5．如图，∠1和∠2是同位角的有（　　）

A．①②B．①③C．②③D．②④

【答案】C

【解析】【解答】解：

根据同位角定义可得②③是同位角，故选：

C．

【中】6．已知直线l1，l2，l3，（如图），∠5的内错角是（　　）

A．∠1B．∠2C．∠3D．∠4

【答案】B

【解析】解：

A、∠1与∠5是邻补角，故本选项错误；

B、∠2是∠5的内错角，故本选项正确；

C、∠3是∠5的同位角，故本选项错误；

D、∠4是∠1的内错角，不是∠5的内错角，故本选项错误；　

【中】7．如图，下列说法错误的是（　　）

A．∠A与∠B是同旁内角B．∠1与∠3是同位角

C．∠2与∠A是同位角D．∠2与∠3是内错角

【答案】B

【解析】解：

由图可知：

∠1与∠3是同旁内角，故B说法错误　

【中】8．如图，如果∠1=40°，∠2=100°，∠3的同旁内角等于　　．

【答案】100°

【解析】解：

∵∠2=100°，

∴∠4=100°．

类型二：

复杂图形中识别同位角、内错角、同旁内角

☞考点说明：

根据定义，在复杂图形中识别同位角、内错角、同旁内角

【中】1．如图所示，∠1与∠3是直线　AC　和直线　BC　被直线BM所截形成的　同位角　；∠2与∠4是直线AB与直线BC被直线　AC　所截形成的　同旁内角　．

【答案】见解析

【解析】解：

如图所示，∠1与∠3是直线AC和直线BC被直线BM所截形成的同位角；

∠2与∠4是直线AB与直线BC被直线AC所截形成的同旁内角．

故答案为：

AC，BC，同位角；AC，同旁内角．

【中】2．如图所示，同位角一共有　6　对，分别是　∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7　　∠4和∠8，∠7和∠9，∠4和∠9　；内错角一共有　4　对，分别是　∠1和∠7，∠4和∠6，∠5和∠9，∠2和∠9　；同旁内角一共有　4　对，分别是　∠1和∠6，∠1和∠9　．　∠4和∠7，∠6和∠9　．

【答案】见解析

【解析】解：

同位角一共有6对，分别是∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8，∠7和∠9，∠4和∠9；内错角一共有4对，分别是∠1和∠7，∠4和∠6，∠5和∠9，∠2和∠9；同旁内角一共有4对，分别是∠1和∠6，∠1和∠9，∠4和∠7，∠6和∠9．

故答案为：

6，∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8，∠7和∠9，∠4和∠9；4，∠1和∠7，∠4和∠6，∠5和∠9，∠2和∠9；4，∠1和∠6，∠1和∠9，∠4和∠7，∠6和∠9

【中】3．如图，已知直线a，b被直线c，d所截，直线a，c，d相交于点O，按要求完成下列各小题．

（1）在图中的∠1～∠9这9个角中，同位角共有多少对？

请你全部写出来；

（2）∠4和∠5是什么位置关系的角？

∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同吗？

【答案】见解析

【解析】解：

（1）如图所示：

同位角共有5对：

分别是∠1和∠5，∠2和∠3，∠3和∠7，∠4和∠6，∠4和∠9；

（2）∠4和∠5是同旁内角，∠6和∠8也是同旁内角，故∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同．

【难】4．读图1～图4，回答下列问题．

（1）请你写出图1、图2、图3和图4中分别有几对同旁内角？

（2）观察图形，请写出图n（n是正整数）中有几对同旁内角？

【答案】见解析

【解析】解：

（1）图1中：

有2对同旁内角；图2中：

有8对同旁内角；

图3中：

有18对同旁内角；图4中：

有32对同旁内角；

（2）图n（n是正整数）中有2n2对同旁内角．

【难】5．已知：

如图是一个跳棋棋盘，其游戏规则是：

一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角．跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：

从起始位置∠1跳到终点位置∠3写出其中两种不同路径，路径1：

∠1﹣同旁内角→∠9﹣内错角→∠3．

路径2：

∠1一内错角→∠12一内错角→∠6﹣同位角→∠10﹣同旁内角→∠3．

试一试：

（1）从起始∠1跳到终点角∠8；

（2）从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点∠8？

【答案】见解析

【解析】解：