全等三角形辅助线系列之三截长补短类辅助线作法大全学习资料Word下载.docx
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在AC上取点
E，使得
AE
AB，则由题意可知
CE
BD.
在ABD和AED中，AB
AE,BAD
EAD,
ADAD,
则ABD也AED
，从而BD
DE,
进而有
DECE,
ECD
EDC,
AED
EDC2
ECD.
注意到
ABD
AED，则:
ACB
1
ABC-
2
3
ABC—ABC
180
BAC120,
故ABC80
【例2】已知ABC中，A60,BD、CE分别平分ABC和.ACB,BD、CE交于点O，试判
断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明.
【解析】BECDBC,
理由是:
:
在BC上截取BFBE，连结OF,
利用SAS证得
BEO也
BFO,/
-12,
•/A
60,•
BOC
90-
A120,•DOE120,
•••A
DOE
180,
•AEO
ADO180,
•••1
3180
•••2
4180
12,
•34,
利用AAS证得
CDO也CFO,
•CDCF,
•BC
BFCF
BE
CD.
【答案】见解析.
分别是/BAC、/ABC的角平分线，求证：
BQAQABBP.
Q
【解析】延长AB至D，使BDBP，连DP.
在等腰ABPD中，可得BDP40,
从而BDP40ACP,
△ADP^△ACP（ASA）,故ADAC
又QBC40QCB，故BQQC,BDBP.从而BQAQABBP.
【例4】
如图，在四边形
ABCD中，BCBA,ADCD,BD平分/ABC，求证:
C180.
A
C
【解析】延长BA至F，使BFBC，连FD
△BDF^△BDC（SAS）,
故DFBDCB,FDDC
又ADCD，故在等腰ABFD中，DFBDAF
故有BADBCD180
证：
MNMBNC.
【解析】延长NC至E，使得CEMB
•••BDC是等腰三角形，且
BDC
120,•
DBC
•••ABC是等边三角形.
•ABCACBBAC60
•MBDABCDBC
DCB
DCN
在DBM和DCE中，BD
MBCE
DCB30
DCE90
DBM也DCE.
•••DEDM,12.
又•••
NDC60,•
2+NDC
END60
在
MDN
与EDN中，
ND
MDNEDN
60,DE
DM
MND也END
•MNENNCMB
【例6】
如图在△ABC中，ABAC,
P为AD上任意一点，
D
求证：
ABAC
PBPC.
【解析】延长AC至F，使AFAB，连PD
△ABP^△AFP（SAS）
故BPPF
由三角形性质知
PBPCPFPC<
CFAFACABAC
【例7】如图，四边形ABCD中，AB//DC,BE、CE分别平分/ABC、/BCD，且点E在AD上.求
BCABDC.
【解析】在BC上截取BFAB，连接EF
••BE平分/ABC,aABEFBE
又•••BEBE‘•••△ABE也/EBE（SAS）,/•ABFE.
TAB//CD,•AD180
•BFECFE180,•DCFE
又•DCEFCE,CE平分/BCD,CECEz.ZDCE也ECE（AAS）,•CDCF
•BCBFCFABCD
【例8】如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MNDM且与/ABC外角的平分线交于点N,MD与MN有怎样的数量关系？
【解析】猜测DMMN•在AD上截取AGAM,
•••DGMB,•••/AGM45
•••/DGM/MBN135，•/ADM/NMB,
•DGM也MBN,•DMMN.
【例10】如图所示,
已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且
BAE2DAM.求
ABAD,AD丄CD,AB丄BM,
BM
DF
ABM也
ADF
AFD
AMB,
DAFBAM
AB//CD
BAF
EAFBAE
BAE
BAM
AMB
EAM,
AEEMBE
BEDF
，使得BMDF，连接AM•
EAM
见解析.
AEBCCE.
【解析】分析证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：
（1）通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等.
（2）通过添辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，再证明截剩的部分
与线段中的另一段相等•我们用
（1）法来证明.
【答案】延长AB到F，使BFCE，则由正方形性质知AFABBFBCCE
F面我们利用全等三角形来证明AEAF•为此，连接EF交边BC于G•由于对顶角
BGFCGE，所以RtABGF也CGEAAS,
从而BGGC-BC,FGEG,BGDM
于是RtAABG也RtAADMSAS,
EAF的平分线
所以BAGDAMBAEEAG,AG是
【解析】延长DE至F，使得EFBC,连接AC.
-ABC
AEFAED180,/
•ABC
AEF
AB
BC
EF,•
••△\BC也zAEF•
•EF
BC
AC
AF
DE
CD,
•CD
DEEFDF
•••公DC也zADF,•••ADCADF
即AD平分/CDE.
【例12】若P为ABC所在平面上一点，且APBBPCCPA120，则点P叫做ABC的费马点.
（1）若点P为锐角ABC的费马点，且ABC60,PA3,PC4，则PB的值为
（2）如图，在锐角ABC外侧作等边ACB'
连结BB'
.求证：
BB'
过ABC的费马点P，且BB'
PAPBPC.
2.3
【解析】
（2）证明：
在BB'
上取点P，使BPC120,连结AP，再在PB'
上截取PEPC，连结CE.
•/BPC120,•••EPC60,•••PCE为正三角形，
•••PCCE,PCE60,CEB'
120,
•/ACB'
为正三角形，•ACBC,ACB'
60,
•PCAACEACEECB'
60,•PCAECB'
•ACP也B'
CE,•APCB'
CE120,PAEB'
•APBAPCBPC120,
•P为ABC的费马点，
•BB'
过ABC的费马点P,
且BB'
EB'
PBPEPAPBPC.
课后复习
【作业1】已知，AD平分/BAC,ACABBD
AD平分/BAC,
•••EAD
CAD
AEAC,
AD
AD,
•公ED也△CD
（SAS）,
E
ACAB
BD,
•AE
BD
AEAB
BE,
•BD
…
BDE,
•ABC2
E,
C.
【解析】延长AB至点E,使AEAC，连接DE
【作业2】如图，△ABC中，AB
2AC,AD平分/BAC，且AD
BD，求证：
CD丄AC.
【解析】在AB上取中点F,连接FD.
则△ADB是等腰三角形，F是底AB的中点，由三线合一知
DF丄AB,故AFD90
△ADF^△ADC（SAS）
ACDAFD90，即：
CD丄AC
【作业3】如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点
作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长.
【解析】如图所示，延长AC到E使CEBM.
在BDM与
CDE中，因为BDCD,
MBD
90,
BMCE,
所以
BDM羞
?
CDE,
故MD
ED.
因为
BDC-
120,
60°
，所以
BDM
NDC
60.
又因为
CDE
MDNEDN
在MND与
END中，
DNDN,MDN
EDN
DM
MND也
END,
则NE
MN，所以
AMN
的周长为
2.
【作业4】已知：
AC平分/BAD,CE丄AB,BD180，求证：
AEADBE.
【解析】在AE上取F，使EFEB，连接CF
••CE丄AB
二CEBCEF90
•EBEF,CECE,
/•JCEB^/CEF
•••BCFE
•B+D180,CFECFA180
•DCFA
••AC平分/BAD
•DACFAC
•/ACAC
•△DC也/FC（SAS）
•ADAF
•AEAFFEADBE
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