一次方程 知识归纳+真题解析Word格式文档下载.docx

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2.⑴等式，未知数的值，

⑵，一，1，ax+b=0、

3.①去分母；

②去括号；

③移项；

④合并同类项；

4两个，2

5.二元一次方程

6．一组，无数

7．公共解

8.代入消元和加减消元法两种.

真题解析

1．设x，y，c是实数，（　　）

A．若x=y，则x+c=y﹣cB．若x=y，则xc=yc

C．若x=y，则

D．若

，则2x=3y

【考点】83：

等式的性质．

【分析】根据等式的性质，可得答案．

【解答】解：

A、两边加不同的数，故A不符合题意；

B、两边都乘以c，故B符合题意；

C、c=0时，两边都除以c无意义，故C不符合题意；

D、两边乘以不同的数，故D不符合题意；

故选：

B．

2．x=1是关于x的方程2x﹣a=0的解，则a的值是（　　）

A．﹣2B．2C．﹣1D．1

【考点】85：

一元一次方程的解．

【分析】根据方程的解的概念即可求出a的值．

将x=1代入2x﹣a=0中，

∴2﹣a=0，

∴a=2

故选（B）

3．某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（　　）

A．22x=16（27﹣x）B．16x=22（27﹣x）C．2×

16x=22（27﹣x）D．2×

22x=16（27﹣x）

【考点】89：

由实际问题抽象出一元一次方程．

【分析】设分配x名工人生产螺栓，则（27﹣x）名生产螺母，根据每天生产的螺栓和螺母按1：

2配套，可得出方程．

设分配x名工人生产螺栓，则（27﹣x）名生产螺母，

∵一个螺栓套两个螺母，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，

∴可得2×

22x=16（27﹣x）．

故选D．

4．一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上个月多卖10%，设上个月卖出x双，列出方程（　　）

A．10%x=330B．（1﹣10%）x=330C．（1﹣10%）2x=330D．（1+10%）x=330

【分析】设上个月卖出x双，等量关系是：

上个月卖出的双数×

（1+10%）=现在卖出的双数，依此列出方程即可．

设上个月卖出x双，根据题意得

（1+10%）x=330．

5．某服装进货价80元/件，标价为200元/件，商店将此服装打x折销售后仍获利50%，则x为（　　）

A．5B．6C．7D．8

【考点】8A：

一元一次方程的应用．

【分析】根据利润=售价﹣进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．

根据题意得：

200×

﹣80=80×

50%，

解得：

x=6．

故选B．

6．为配合荆州市“我读书，我快乐”读书节活动，某书店推出一种优惠卡，每张卡售价20元，凭卡购书可享受8折优惠．小慧同学到该书店购书，她先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了10元．若此次小慧同学不买卡直接购书，则她需付款多少元？

（　　）

A．140元B．150元C．160元D．200元

【分析】此题的关键描述：

“先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了人民币10元”，设出未知数，根据题中的关键描述语列出方程求解．

设李明同学此次购书的总价值是人民币是x元，

则有：

20+0.8x=x﹣10

x=150

即：

小慧同学不凭卡购书的书价为150元．

7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：

“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（　　）

A．24里B．12里C．6里D．3里

【分析】设第一天走了x里，则第二天走了

x里，第三天走了

×

x…第六天走了（

）5x里，根据路程为378里列出方程并解答．

设第一天走了x里，

依题意得：

x+

x=378，

解得x=192．

则（

）5x=（

）5×

192=6（里）．

C．

8．把mn=pq（mn≠0）写成比例式，写错的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【分析】利用等式的基本性质即可解决问题．

A、把mn=pq（mn≠0）两边同时除以np得，

=

，所以A正确；

B、把mn=pq（mn≠0）两边同时除以mq得，

，B正确；

C、把mn=pq（mn≠0）两边同时除以mp，得

=

，所以C正确；

利用排除法可知D错误．

二．填空题（共5小题）

9．若

，则

=　

　．

【分析】根据等式的性质1，等式两边都加上1，等式仍然成立可得出答案．

根据等式的性质：

两边都加1，

，

则

故答案为：

．

10．已知关于x的方程2x+a+5=0的解是x=1，则a的值为　﹣7　．

【分析】把x=1代入方程计算即可求出a的值．

把x=1代入方程得：

2+a+5=0，

a=﹣7，

﹣7．

11．某种商品每件的进价为80元，标价为120元，后来由于该商品积压，将此商品打七折销售，则该商品每件销售利润为　4　元．

【分析】设该商品每件销售利润为x元，根据进价+利润=售价列出方程，求解即可．

设该商品每件销售利润为x元，根据题意，得

80+x=120×

0.7，

解得x=4．

答：

该商品每件销售利润为4元．

故答案为4．

12．明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题（如图），其大意为：

有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；

如果每人分九两，则还差八两，请问：

所分的银子共有　46　两．（注：

明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语）

学科网

【分析】可设有x人，根据有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；

如果每人分九两，则还差八两，根据所分的银子的总两数相等可列出方程，求解即可．

设有x人，依题意有

7x+4=9x﹣8，

解得x=6，

7x+4=42+4=46．

所分的银子共有46两．

46．

13．已知：

派派的妈妈和派派今年共36岁，再过5年，派派的妈妈的年龄是派派年龄的4倍还大1岁，当派派的妈妈40岁时，则派派的年龄为　12　岁．

【分析】设今年派派的年龄为x岁，则妈妈的年龄为（36﹣x）岁，根据再过5年派派的妈妈的年龄是派派年龄的4倍还大1岁，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，将其代入36﹣x﹣x中可求出二者的年龄差，再用40减去该年龄差即可求出当派派的妈妈40岁时派派的年龄．

设今年派派的年龄为x岁，则妈妈的年龄为（36﹣x）岁，

36﹣x+5=4（x+5）+1，

x=4，

∴36﹣x﹣x=28，

∴40﹣28=12（岁）．

12．

三．解答题（共9小题）

14．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：

今有人共买物、人出八，盈三；

人出七，不足四，问人数，物价各几何？

译文为：

现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；

每人出7元，则还差4元，问共有多少人？

这个物品的价格是多少？

请解答上述问题．

【分析】根据这个物品的价格不变，列出一元一次方程进行求解即可．

设共有x人，可列方程为：

8x﹣3=7x+4．

解得x=7，

∴8x﹣3=53，

共有7人，这个物品的价格是53元．

15．解方程：

【考点】86：

解一元一次方程．

【分析】方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．

去分母得：

2x﹣3（30﹣x）=60，

去括号得：

2x﹣90+3x=60，

移项合并得：

5x=150，

x=30．

16．如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成．闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第1节套管的长度（如图1所示）：

使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸（如图2所示）．图3是这跟鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图．已知第1节套管长50cm，第2节套管长46cm，以此类推，每一节套管均比前一节套管少4cm．完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为xcm．

（1）请直接写出第5节套管的长度；

（2）当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为311cm，求x的值．

【分析】

（1）根据“第n节套管的长度=第1节套管的长度﹣4×

（n﹣1）”，代入数据即可得出结论；

（2）同

（1）的方法求出第10节套管重叠的长度，设每相邻两节套管间的长度为xcm，根据“鱼竿长度=每节套管长度相加﹣（10﹣1）×

2×

相邻两节套管间的长度”，得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．

（1）第5节套管的长度为：

50﹣4×

（5﹣1）=34（cm）．

（2）第10节套管的长度为：

（10﹣1）=14（cm），

设每相邻两节套管间重叠的长度为xcm，

（50+46+42+…+14）﹣9x=311，

320﹣9x=311，

x=1．

每相邻两节套管间重叠的长度为1cm．

17．平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为50%；

乙种商品每件进价50元，售价80元

（1）甲种商品每件进价为　40　元，每件乙种商品利润率为　60%　

（2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲种商品多少件？

（3）在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如下的优惠促销活动：

打折前一次性购物总金额

优惠措施

少于等于450元

不优惠

超过450元，但不超过600元

按售价打九折

超过600元

其中600元部分八点二折优惠，超过600元的部分打三折优惠

按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？

（1）设甲的进价为x，根据甲的利润率为50%，求出x的值；

（2）设甲x件，则乙（50﹣x）件，再由总进价是2100元，列出方程求解即可；

（3）分两种情况讨论，①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，②打折前购物金额超过600元，分别列方程求解即可．

（1）设甲的进价为x，

则（60﹣x）÷

x=50%，

x=40．

故甲的进价为40元/件；

乙商品的利润率为（80﹣50）÷

50=60%．

（2）设甲x件，则乙（50﹣x）件，

由题意得，40x+50（50﹣x）=2100，

即购进甲商品40件，乙商品10件．

（3）设小华打折前应付款为y，

①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，

由题意得，0.9y=504，

y=560，

②打折前购物金额超过600元，

600×

0.82+（y﹣600）×

0.3=504，

y=640，

综上可得小华在该商场购买乙种商品件7件或8件．

18．我区期末考试一次数学阅卷中，阅B卷第28题（简称B28）的教师人数是阅A卷第18题（简称A18）教师人数的3倍，在阅卷过程中，由于情况变化，需要从阅B28题中调12人到A18阅卷，调动后阅B28剩下的人数比原先阅A18人数的一半还多3人，求阅B28和阅A18原有教师人数各多少人？

【分析】设阅A18原有教师x人，则阅B28原有教师3x人，结合“从阅B28题中调12人到A18阅卷，调动后月B28剩下的人数比原先阅A18人数的一半还多3人”列出方程并解答．

设阅A18原有教师x人，则阅B28原有教师3x人，

3x﹣12=

x+3，

解得x=6．

所以3x=18．

阅A18原有教师6人，则阅B28原有教师18人．

　学科网

19．小赵和小王交流暑假中的活动，小赵说：

“我们一家外出旅行了一个星期，这7天的日期数之和是84天，你知道我们几号出去的么？

”小王说“我暑假去舅舅家住了7天，日历数再加月份数也是84，你能猜出我是几月几号回的家？

试试看列出方程，解决小赵、小王的问题．（提示：

7月1日﹣9月1日暑假）

【分析】根据题意设小赵是x号出去的那么建立等量关系x+（x+1）+（x+2）+（x+3）+（x+4）+（x+5）+（x+6）=84，小王外出一周的中间一天是y号，根据题意得，同上建立等量关系y+（y﹣1）+（y﹣2）+（y﹣3）+（y﹣4）+（y﹣5）+（y﹣6）=84．

设小赵是x号出去的，那么列出方程式x+（x+1）+（x+2）+（x+3）+（x+4）+（x+5）+（x+6）=84，

简化7x+21=84，

解得x=9．

小赵是9号出去的．

设小王外出一周的中间一天是y号，根据题意得：

7y+7=84，

解得y=11；

回来的日期是：

11+3=14（号）．

或7y+8=84，

解得y=10

，不合题意舍去．

小赵是9号出去的，小王是7月14号回来的．

20．A、B两城相距600千米，一辆客车从A城开往B城，车速为每小时80千米，同时一辆出租车从B城开往A城，车速为毎小时100千米，设客车出时间为t．

探究若客车、出租车距B城的距离分别为y1、y2，写出y1、y2关于t的函数关系式，并计算当y1=200千米时

y2的値．

发现设点C是A城与B城的中点，

（1）哪个车会先到达C？

该车到达C后再经过多少小时，另一个车会到达C？

（2）若两车扣相距100千米时，求时间t．

决策己知客车和出租车正好在A，B之间的服务站D处相遇，此时出租车乘客小王突然接到开会通知，需要立即返回，此时小王有两种选择返回B城的方案：

方案一：

继续乘坐出租车，到达A城后立刻返回B城（设出租车调头时间忽略不计）；

方案二：

乘坐客车返回城．

试通过计算，分析小王选择哪种方式能更快到达B城？

【分析】探究：

根据路程=速度×

时间，即可得出y1、y2关于t的函数关系式，根据关系式算出y1=200千米时的时间t，将t代入y2的解析式中即可得出结论；

发现：

（1）根据出租车的速度大于客车的速度可得出出租车先到达C点，套用

（1）中的函数关系式，令y=300即可分别算出时间t1和t2，二者做差即可得出结论；

（2）两车相距100千米，分两种情况考虑，解关于t的一元一次方程即可得出结论；

决策：

根据时间=路程÷

速度和，算出到达点D的时间，再根据路程=速度×

时间算出AD、BD的长度，结合时间=路程÷

速度，即可求出两种方案各需的时间，两者进行比较即可得出结论．

探究：

由已知，得y1=﹣80t+600，

令y1=0，即﹣80t+600=0，解得t=

故y1=﹣80t+600（0≤t≤

）．

y2=100t，

令y2=600，即100t=600，解得t=6，

故y2=100t（0≤t≤6）．

当y1=200时，即200=﹣80t+600，解得t=5，

当t=5时，y2=100×

5=500．

故当y1=200千米时y2的値为500．

（1）∵100＞60，

∴出租车先到达C．

客车到达C点需要的时间：

600﹣80t1=

，解得t1=

出租车到达C点需要的时间：

100t2=

，解得t2=3．

﹣3=

（小时）．

所以出租车到达C后再经过

小时，客车会到达C．

（2）两车相距100千米，分两种情况：

①y1﹣y2=100，即600﹣80t﹣100t=100，

t=

②y2﹣y1=100，即100t﹣=100，

综上可知：

两车相距100千米时，时间t为

或

小时．

两车相遇，即80t+100t=600，解得t=

此时AD=80×

（千米），BD=600﹣

（千米）．

t1=（

+600）÷

100=

（小时）；

t2=

÷

80=

∵t1＞t2，

∴方案二更快．

21．列方程解应用题：

我国元代数学家朱世杰所撰写的《算学启蒙》中有这样一道题：

“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”

译文：

良马平均每天能跑240里，驽马平均每天能跑150里．现驽马出发12天后良马从同一地点出发沿同一路线追它，问良马多少天能够追上驽马？

【分析】设良马x天能够追上驽马，根据路程=速度×

时间结合二者总路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．

设良马x天能够追上驽马．

240x=150×

（12+x），

x=20．

良马20天能够追上驽马．

22．小明想从“天猫”某网店购买计算器，经查询，某品牌A型号计算器的单价比B型号计算器的单价多12元，5台A型号的计算器与7台B型号的计算器的价钱相同，问A，B两种型号计算器的单价分别是多少元？

【分析】根据题意可以设出未知数，列出相应的方程，从而可以求得A，B两种型号计算器的单价．

设某品牌A型号计算器的单价为x元，

5x=7（x﹣12），

解得，x=42，

∴x﹣12=30，

A，B两种型号计算器的单价分别是42元，30元．