26．（12分）已知任意四边形ABCD，且线段AB，BC，CD，DA，AC，BD的中点分别是E，F，G，H，P，Q.
（1）若四边形ABCD如图①，判断下列结论是否正确．（正确的在括号里填“√”，错误的在括号里填“×”）
甲：
顺次连结EF，FG，GH，HE一定得到平行四边形；（√）
乙：
顺次连结EQ，QG，GP，PE一定得到平行四边形．（√）
（2）请选择甲、乙中的一个，证明你对它的判断．
（3）若四边形ABCD如图②，请你判断
（1）中的两个结论是否成立？
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，如果∠A＝125°，则∠BCE＝（B）
A．55°B．35°C．25°D．30°
第1题图第2题图第3题图第4题图
2．如图，在▱ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝3，则▱ABCD的周长为（C）
A．6B．9C．12D．15
3．如图，在▱ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，则与△ABO面积相等的三角形（△ABO除外）有（C）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．如图，在▱ABCD中，下列结论一定正确的是（B）
A．AC⊥BDB．∠A＋∠B＝180°C．AB＝ADD．∠A≠∠C
5．如果三角形的两边分别为3和5，那么连结这个三角形三边中点所得的三角形的周长可能是（D）
A．4B．4.5C．5D．5.5
6．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则下列结论一定正确的是（D）
A．∠HGF＝∠GHEB．∠GHE＝∠HEF
C．∠HEF＝∠EFGD．∠HGF＝∠HEF
第6题图第7题图第9题图第10题图
7．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝3，则AB的长为（B）
A．4B．3C.D．2
8．下列选项中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（B）
A．两组对边分别平行B．一组对边平行，另一组对边相等
C．两组对角分别相等D．两组对边分别相等
9．如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点，若∠ABE＝∠EBC，AB＝2，则平行四边形ABCD的周长是（C）
A．8B．10C．12D．14
10．如图，l1∥l2，BE∥CF，BA⊥l1于点A，DC⊥l2于点C，下面的四个结论：
①AB＝DC；②BE＝CF；③S△ABE＝S△DCF；④S▱ABCD＝S▱BCFE，其中正确的个数是（A）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC＝14，BD＝8，AB＝10，则△OAB的周长为__21__．
第11题图第12题图第13题图 第16题图
12．如图，在▱ABCD中，BE⊥CD于点E，BF⊥AD于点F，∠EBF＝60°，则∠C＝__60°__．
13．如图所示，O为▱ABCD两对角线的交点，E，F分别是OA，OC的中点，图中的全等三角形有__7__对．
14．四边形ABCD中，任意的邻角都互补，则四边形ABCD一定是__平行四边形__．
15．已知，△ABC的周长为50cm，中位线DE＝8cm，中位线EF＝10cm，则另一条中位线DF的长是__7_cm__．
16．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则四边形AECF是平行四边形，用的判别方法是__一组对边平行且相等的四边形是平行四边形__．
17．如图所示，在△ABC中，AB＝BC，AB＝12cm，F是AB边上一点，过点F作FE∥BC交AC于点E，过点E作ED∥AB交BC于点D，则四边形BDEF的周长是__24_cm__．
18．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB＝45°，BD＝2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B′，则DB′的长为____．
三、解答题（共66分）
19．（6分）如图，D为△ABC边BC上的一点，DE∥AC，DF∥AB，连结AD，EF，
求证：
AD，EF相互平分．
解：
证明：
∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形DFAE是平行四边形，∴AD，EF相互平分
20．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P为BC上任意一点，PE∥AC，PF∥AB分别交AB，AC于点E，F，请你猜想线段PE，PF，AB之间有什么数量关系？
并说明理由．
解：
PE＋PF＝AB.∵PE∥AC，PF∥AB，所以四边形AEPF是平行四边形，所以PF＝AE，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.而PE∥AC，∴∠BPE＝∠C，∴∠BPE＝∠B，故PE＝BE，所以PE＋PF＝BE＋AE＝AB
21．（7分）如图，在▱ABCD中，∠BCD的平分线CE交边AD于点E，∠ABC的平分线BG交CE于点F，交AD于点G.
求证：
AE＝DG.
解：
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD，∴∠GBC＝∠BGA，∠BCE＝∠CED.又∵BG平分∠ABC，CE平分∠BCD，∴∠ABG＝∠GBC，∠BCE＝∠ECD，∴∠ABG＝∠BGA，∠ECD＝∠CED，∴AB＝AG，CD＝DE，∴AG＝DE，∴AG－EG＝DE－EG，即AE＝DG
22．（8分）如图，AB∥CD，AB＝CD，点E，F在BC上，且BE＝CF.
（1）求证：
△ABE≌△DCF；
（2）试证明：
以点A，F，D，E为顶点的四边形是平行四边形．
解：
（1）证明：
∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF
（2）∵△ABE≌△DCF，∴AE＝DF，∠AEB＝∠CFD，又∵∠AEB＋∠AEF＝180°，∠CFD＋DFE＝180°，∴∠AEF＝∠DFE，∴AE∥DF.∴四边形AFDE为平行四边形
23．（8分）如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE.
（1）求证：
△ABC≌△EAD；
（2）若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，求∠AED的度数．
解：
证明：
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠EAD，∵AB＝AE，∴∠ABC＝∠AEB，∴∠ABC＝∠EAD.∵AD＝BC，∴△ABC≌△EAD（SAS）
（2）∵AE平分∠DAB，∴∠BAE＝∠EAD，由
（1）知∠EAD＝∠ABC＝∠BEA，∴∠ABC＝∠AEB＝∠BAE，∴△BAE是等边三角形，∴∠BAE＝60°，∴∠BAC＝∠BAE＋∠EAC＝60°＋25°＝85°，∵△ABC≌△EAD，∴∠AED＝∠BAC＝85°
24．（8分）已知△ABC是等边三角形，点D，F分别在线段BC，AB上，∠EFB＝60°，DC＝EF.
（1）求证：
四边形EFCD是平行四边形；
（2）若BF＝EF，求证：
AE＝AD.
解：
证明：
（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵∠EFB＝60°，∴EF∥DC，又∵DC＝EF，∴四边形EFCD是平行四边形
（2）连结BE，∵BF＝EF，∠EFB＝60°，∴△EFB是等边三角形，∴EB＝EF，∠EBF＝60°，∵DC＝EF，∴EB＝DC，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，AB＝AC，∴∠EBF＝∠ACB，∴△AEB≌△ADC，∴AE＝AD
25．（10分）已知：
如图，▱ABCD中，AD＝3cm，CD＝1cm，∠B＝45°，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为3cm/s；点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s，连结并延长QP交BA的延长线于点M.设运动时间为t（s）（0解：
∵四边形AQDM是平行四边形，∴PA＝PD，即3t＝3－3t，解得t＝.答：
当t＝时，四边形AQDM是平行四边形
26．（12分）已知任意四边形ABCD，且线段AB，BC，CD，DA，AC，BD的中点分别是E，F，G，H，P，Q.
（1）若四边形ABCD如图①，判断下列结论是否正确．（正确的在括号里填“√”，错误的在括号里填“×”）
甲：
顺次连结EF，FG，GH，HE一定得到平行四边形；（√）
乙：
顺次连结EQ，QG，GP，PE一定得到平行四边形．（√）
（2）请选择甲、乙中的一个，证明你对它的判断．
（3）若四边形ABCD如图②，请你判断
（1）中的两个结论是否成立？
解：
（2）证明
（1）中对甲的判断，连结EF，FG，GH，HE，∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF＝AC，同理HG∥AC，HG＝AC，∴EF綊HG，∴四边形EFGH是平行四边形 （3）类似于
（1），甲、乙两个结论都成立
升级会员 