切线长.ppt

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24.2直线和圆的位置关系,第3课时切线长定理,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,学习目标,1.掌握切线长的定义及切线长定理.（重点）2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明.（难点）,导入新课,情境引入,同学们玩过空竹和悠悠球吗？

在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？

讲授新课,互动探究,问题1上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线（如左图所示），如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？

过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？

A,B,1.切线长的定义：

切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长,A,O,切线是直线，不能度量.,切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量,2.切线长与切线的区别在哪里？

知识要点,问题2PA为O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B,OB是O的一条半径吗？

PB是O的切线吗？

（利用图形轴对称性解释）,PA、PB有何关系？

APO和BPO有何关系？

B,P,O,A,切线长定理:

过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.,PA、PB分别切O于A、B,PA=PB,OPA=OPB,几何语言:

切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.,知识要点,已知，如图PA、PB是O的两条切线，A、B为切点.求证：

PA=PB，APO=BPO.,证明：

PA切O于点A，OAPA.,同理可得OBPB.,OA=OB，OP=OP，,RtOAPRtOBP，,PA=PB，APO=BPO.,推理验证,想一想：

若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?

并给出证明.,OP垂直平分AB.,证明：

PA，PB是O的切线,点A，B是切点PA=PB，OPA=OPBPAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线OP垂直平分AB.,M,想一想：

若延长PO交O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?

并给出证明.,证明：

PA，PB是O的切线,点A，B是切点，PA=PB，OPA=OPB.PC=PC.PCAPCB，AC=BC.,CA=CB,C,典例精析,例1已知：

如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与O分别相切与点E、F、G、H.,求证：

AB+CD=AD+BC.,O,证明：

AB、BC、CD、DA与O分别相切与点E、F、G、H，,E,F,G,H,AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.,AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.,AB+CD=AD+BC.,例2为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：

将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径,解析：

欲求半径OP，取圆的圆心为O，连OA，OP，由切线性质知OPA为直角三角形，从而在RtOPA中由勾股定理易求得半径,在RtOPA中，PA5，POA30，,Q,解：

过O作OQAB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.,AP、AQ为O的切线，AO为PAQ的平分线，即PAOQAO.,又BAC60，PAOQAOBAC180，PAOQAO60.,即铁环的半径为,PA、PB是O的两条切线，A,B是切点，OA=3.,

（1）若AP=4,则OP=;,

（2）若BPA=60,则OP=.,5,6,练一练,小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：

裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？

互动探究,问题1如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？

最大的圆与三角形三边都相切,问题2如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？

（1）如果半径为r的I与ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？

（2）在ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？

已知：

ABC.求作：

和ABC的各边都相切的圆.,作法：

1.作B和C的平分线BM和CN，交点为O.2.过点O作ODBC.垂足为D.3.以O为圆心，OD为半径作圆O.,O就是所求的圆.,做一做,1.与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.,2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.,3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.,I是ABC的内切圆，点I是ABC的内心，ABC是I的外切三角形.,知识要点,问题1如图，I是ABC的内切圆，那么线段OA，OB,OC有什么特点？

互动探究,问题2如图，分别过点作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为E、F，G，那么线段IE、IF、IG之间有什么关系？

IE=IF=IG,知识要点,三角形内心的性质,三角形的内心在三角形的角平分线上.,三角形的内心到三角形的三边距离相等.,IA，IB，IC是ABC的角平分线，IE=IF=IG.,例3如图，ABC中，B=43，C=61，点I是ABC的内心，求BIC的度数.,解：

连接IB，IC.,A,B,C,I,点I是ABC的内心，,IB，IC分别是B，C的平分线，,在IBC中，,例4如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱.圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径.,该木模可以抽象为几何如下几何图形.,C,A,B,r,O,D,解：

如图，设圆O切AB于点D，连接OA、OB、OD.,圆O是ABC的内切圆,AO、BO是BAC、ABC的角平分线,ABC是等边三角形,OAB=OBA=30o,ODAB，AB=3cm，,AD=BD=AB=1.5（cm）,OD=ADtan30o=（cm）,答:

圆柱底面圆的半径为cm.,例5ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.,想一想：

图中你能找出哪些相等的线段？

理由是什么？

B,解:

设AF=xcm，则AE=xcm.,CE=CD=AC-AE=9-x（cm），BF=BD=AB-AF=13-x（cm）.,由BD+CD=BC，可得（13-x）+（9-x）=14，,AF=4（cm），BD=9（cm），CE=5（cm）.,方法小结：

关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.,解得x=4.,比一比,三角形三边中垂线的交点,1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的内部,三角形三条角平分线的交点,1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB3.内心在三角形内部,1.求边长为6cm的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径.,解：

如图，由题意可知BC=6cm,ABC=60，ODBC，OB平分ABC.,OBD=30，BD=3cm,OBD为直角三角形.,内切圆半径,外接圆半径,练一练,变式：

求边长为a的等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R的比.,sinOBD=sin30=,2.设ABC的面积为S，周长为L，ABC内切圆的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？

A,B,C,O,c,D,E,r,3.如图，直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边为c，则其内切圆的半径r为_（以含a、b、c的代数式表示r）.,解析：

过点O分别作AC，BC，AB的垂线，垂足分别为D，E，F.,F,则AD=AC-DC=b-r,BF=BC-CE=a-r,因为AF=AD，BF=BE，AF+BF=c,所以a-r+b-r=c,所以,当堂练习,20,4,110,（3）若BIC=100，则A=度.,

（2）若A=80，则BIC=度.,130,20,3.如图，在ABC中，点I是内心，

（1）若ABC=50，ACB=70，BIC=_.,（4）试探索：

A与BIC之间存在怎样的数量关系？

120,4.如图所示，已知在ABC中，B90，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：

DEOC.,证明：

连接OD，AC切O点D，ODAC，ODC=B=90.在RtOCD和RtOCB中，ODOB，OCOCRtODCRtOBC（HL），DOC=BOC.OD=OE，ODE=OED，DOB=ODE+OED，,BOC=OED，DEOC,方法二：

证明：

连接BD，AC切O于点D，AC切O于点B，DC=BC，OC平分DCB.OCBD.BE为O的直径，DEBD.DEOC,5.如图，ABC中，I是内心，A的平分线和ABC的外接圆相交于点D.求证：

DIDB.,证明：

连接BI.I是ABC的内心，BAD=CAD，ABI=CBI，CBD=CAD，BAD=CBD，BID=BAD+ABI，IBD=CBI+CBD，BID=IBD，BD=ID,切线长,切线长定理,作用,图形的轴对称性,原理,提供了证线段和角相等的新方法,辅助线,分别连接圆心和切点；连接两切点；连接圆心和圆外一点.,三角形内切圆,运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.,有关概念,内心概念及性质,应用,课堂小结,见学练优本课时练习,课后作业,