学年高中数学 第一章 立体几何初步章末复习提升学案 新人教B版必修2文档格式.docx

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体　积

圆柱

S侧＝2πrh

V＝Sh＝πr2h

圆锥

S侧＝πrl

V＝

Sh＝

πr2h＝

πr2

圆台

S侧＝π（r1＋r2）l

（S上＋S下＋

）h

＝

π（r

＋r

＋r1r2）h

直棱柱

S侧＝Ch

V＝Sh

正棱锥

S侧＝

Ch′

Sh

正棱台

（C＋C′）h′

球

S球面＝4πR2

πR3

（2）在处理有关体积问题时可以利用等体积变换法.

当所给三棱锥的体积套用公式时某一量（面积或高）不易求出时，利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面，可以转换为底面面积和高都易求的方式来计算.

（3）补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法.由台体的定义知，在某种情况下，我们可以将台体补全成锥体来研究其体积.

（4）割补法：

在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时，经常要用到割补法，割补法是割法与补法的总称.补法是把不熟悉的（或复杂的）几何体延伸或补加成熟悉的（或简单的）几何体，把不完整的图形补成完整的图形，如长方体、正方体等.割法是把复杂的几何体切割成简单的几何体或体积易求的几何体.割与补是对立统一的，是一个问题的两个方面.

4.球与其他几何体形成的组合体问题

球与其他几何体组成的组合体通常在试题中以相切或相接的形式出现，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系），从而将空间问题转化成平面问题.

5.线线关系

空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种.两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况.

（1）证明线线平行的方法

①线线平行的定义；

②基本性质4：

平行于同一条直线的两条直线互相平行；

③线面平行的性质定理：

a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b；

④线面垂直的性质定理：

a⊥α，b⊥α⇒a∥b；

⑤面面平行的性质定理：

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.

（2）证明线线垂直的方法

①线线垂直的定义：

两条直线所成的角是直角，在研究异面直线所成的角时，要通过平移把异面直线转化为相交直线；

②线面垂直的性质：

a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；

③线面垂直的性质：

a⊥α，b∥α⇒a⊥b.

6.线面关系

直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三种.

（1）证明直线与平面平行的方法

①线面平行的定义；

②判定定理：

a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α；

③平面与平面平行的性质：

α∥β，a⊂α⇒a∥β.

（2）证明直线与平面垂直的方法

①线面垂直的定义；

②判定定理1：

⇒l⊥α；

③判定定理2：

a∥b，a⊥α⇒b⊥α；

④面面平行的性质定理：

α∥β，a⊥α⇒a⊥β；

⑤面面垂直的性质定理：

α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.

7.面面关系

两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种.

（1）证明面面平行的方法

①面面平行的定义；

②面面平行的判定定理：

a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，a∩b＝A⇒α∥β；

③线面垂直的性质定理：

垂直于同一条直线的两个平面平行，即a⊥α，a⊥β⇒α∥β；

④基本性质4的推广：

平行于同一平面的两个平面平行，即α∥γ，β∥γ⇒α∥β.

（2）证明面面垂直的方法

①面面垂直的定义.

②面面垂直的判定定理：

a⊥β，a⊂α⇒α⊥β.

8.证明空间线面平行或垂直需注意的三点

（1）由已知想性质，由求证想判定.

（2）适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一.

（3）用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论.

9.“升降维”思想

用降维的方法把空间问题转化为平面或直线问题，可以使问题得到解决.用升维的方法把平面或直线中的概念、定义或方法向空间推广，可以从已知探索未知，是“学会学习”的重要方法.

平面图形的翻折问题的分析与解决，就是升维与降维思想方法的不断转化运用的过程.

题型一　三视图与直观图

三视图和直观图是空间几何体的不同表现形式，空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质.由空间几何体可以画出它的三视图，同样，由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化.

例1　将正方体如图

（1）所示截去两个三棱锥，得到如图

（2）所示的几何体，则该几何体的左视图为（　　）

答案　B

解析　还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线.D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线.

跟踪演练1　若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（　　）

解析　所给选项中，A、C选项的主视图、俯视图不符合，D选项的左视图不符合，只有B选项符合.

题型二　几何体的表面积与体积

几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常遇到的问题，如制作物体的下料问题、材料最省问题、相同材料容积最大问题，都涉及表面积和体积的计算.特别是特殊的柱、锥、台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用，对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在轴截面、底面圆的作用.割补法、构造法是常用的技巧.

例2　如图所示，已知三棱柱ABCA′B′C′，侧面B′BCC′的面积是S，点A′到侧面B′BCC′的距离是a，求三棱柱ABCA′B′C′的体积.

解　连接A′B，A′C，如图所示，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥.

设所求体积为V，显然三棱锥A′ABC的体积是

V.

而四棱锥A′BCC′B′的体积为

Sa，

故有

V＋

Sa＝V，即V＝

Sa.

跟踪演练2　某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A.16＋8πB.8＋8π

C.16＋16πD.8＋16π

答案　A

解析　将三视图还原为原来的几何体，再利用体积公式求解.

原几何体为组合体：

上面是长方体，下面是圆柱的一半（如图所示），其体积为V＝4×

2×

2＋

π×

22×

4＝16＋8π.

题型三　空间中的平行关系

在本章中，空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面与面的平行，其中三种关系相互渗透.在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；

而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理.特别注意，转化的方法总是由具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，要遵循规律而不局限于规律.如下图所示是平行关系相互转化的示意图.

例3　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？

若存在，请确定点F的位置；

若不存在，请说明理由.

解　当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：

如图连接AC和BD交于点O，连接FO，那么PF＝

PB.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点.

∴OF∥PD.又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD，∴OF∥平面PMD.又MA綊

PB，∴PF綊MA.∴四边形AFPM是平行四边形.∴AF∥PM.又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD.∴AF∥平面PMD.又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC.∴平面AFC∥平面PMD.

跟踪演练3　如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点.

（1）求证：

BC⊥平面PAC；

（2）设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：

QG∥平面PBC.

证明　

（1）由AB是圆O的直径，得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.

（2）如图，连接OG并延长交AC于点M，

连接QM，QO，由G为△AOC的重心，得M为AC中点.

由Q为PA中点，得QM∥PC，

又O为AB中点，得OM∥BC.

因为QM∩MO＝M，QM⊂平面QMO，MO⊂平面QMO，BC∩PC＝C，BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，

所以平面QMO∥平面PBC.

因为QG⊂平面QMO，所以QG∥平面PBC.

题型四　空间中的垂直关系

空间垂直关系的判定方法：

（1）判定线线垂直的方法：

①计算所成的角为90°

（异面直线所成的角）；

②线面垂直的性质（若a⊥α，b⊂α，则a⊥b）.

（2）判定线面垂直的方法：

①线面垂直定义（一般不易验证任意性）；

②线面垂直的判定定理（a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c＝M⇒a⊥α）；

③平行线垂直平面的传递性质（a∥b，b⊥α⇒a⊥α）；

④面面垂直的性质（α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α）；

⑤面面平行的性质（a⊥α，α∥β⇒a⊥β）；

⑥面面垂直的性质（α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ）.

（3）面面垂直的判定方法：

①根据定义；

②面面垂直的判定定理（a⊥β，a⊂α⇒α⊥β）.

例4　如图，在△ABC中，AC＝BC＝

AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点.

GF∥平面ABC.

（2）求证：

平面EBC⊥平面ACD.

（3）求几何体A－DEBC的体积V.

（1）证明　如图，取BE的中点H，连接HF，GH.

因为G，F分别是EC和BD的中点，所以HG∥BC，HF∥DE.

又因为四边形ADEB为正方形，

所以DE∥AB，从而HF∥AB.

所以HF∥平面ABC，HG∥平面ABC.

又因为GH∩HF＝H，

所以平面HGF∥平面ABC.

所以GF∥平面ABC.

（2）证明　因为四边形ADEB为正方形，所以EB⊥AB.

又因为平面ABED⊥平面ABC，

所以BE⊥平面ABC.所以BE⊥AC.

又因为CA2＋CB2＝AB2，

所以AC⊥BC.

又因为BE∩BC＝B，

所以AC⊥平面BCE.

又因为AC⊂平面ACD，

从而平面EBC⊥平面ACD.

（3）解　取AB的中点N，连接CN，因为AC＝BC，

所以CN⊥AB，且CN＝

AB＝

a.

又平面ABED⊥平面ABC，

所以CN⊥平面ABED.

因为C－ABED是四棱锥，

所以VC－ABED＝

SABED·

CN＝

a2·

a＝

a3.

即几何体A－DEBC的体积V＝

跟踪演练4　如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°

，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点.

EF⊥平面BCG；

（2）求三棱锥D－BCG的体积.

附：

锥体的体积公式V＝

Sh，其中S为底面面积，h为高.

解　

（1）由已知得△ABC≌∠DBC，因此AC＝DC.

又G为AD中点，所以CG⊥AD；

同理BG⊥AD；

因此AD⊥平面BCG.

又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.

（2）在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB延长线于O.

由平面ABC⊥平面BCD，知AO⊥平面BDC.

又G为AD中点，因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半.

在△AOB中，AO＝AB·

sin60°

，所以

VD－BCG＝VG－BCD＝

×

S△DBC×

h＝

BD×

BC×

sin120°

.

1.研究空间几何体，需在平面上画出几何体的直观图或三视图，由几何体的直观图可画它的三视图，由三视图可得到其直观图，同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决.

另外，圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图、化空间为平面的方法得到的，求球的切接问题通常也是由截面把空间问题转化为平面问题来解决.

2.转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为

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