初等数论 第三章 同余.docx

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初等数论第三章同余

第三章同余

§1同余的概念及其基本性质

同余性质在算术中的一些应用。

一、检查因数的方法

1、一整数能被3（或9）整除的充分必要条件是它的十进位数码之和能被3（或9）整除。

证明只需讨论正整数即可。

任取

，则a可以写成十进位的形式：

2、设正整数

，则7（或11或13）|a的充分必要条件是7（或11或13）|

证明因为7×11×13=1001。

例3a=5874192能被3和9整除。

例4a=435693能被3整除，但不能被9整除。

例5a=637693能被7整除；a=75312289能被13整除。

二、弃九法（验算整数计算结果的方法）

例6设a=28997，b=39495，P=ab=1145236415，检查计算是否正确。

解令

则

（*）

若（*）不成立，则P≠ab，故在本题中，计算不正确。

注

（1）若（*）不成立，则计算不正确；但否命题不成立。

（2）利用同样的方法可以用来验证整数的加、减运算的正确性。

§2剩余类及完全剩余系

推论m个整数作成模m的一个完全剩余系的充分必要条件是它们对模m两两不同余。

例如，下列序列都是模m的完全剩余系：

§3简化剩余系与欧拉函数

§4欧拉定理·费马定理